Axiom of Ф-holomorphic (2r+1)-planes for generalized Kenmotsu manifolds.pdf Почти контактные метрические многообразия на протяжении длительного периода являются предметом активного исследования во всем мире. Особый интерес представляет изучение почти контактных метрических многообразий, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных (2r + 1)-плоскостей [1-9], а также исследование почти контактных метрических многообразий точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. Например, доказано, что выполнение аксиомы Ф-голоморфных (2r + 1)-плоскостей для сасакиевых и косимплектических многообразий равносильно точечному постоянству их Ф-голоморфной секционной кривизны [1, 2]. Интересным классом почти контактных метрических многообразий, изучению геометрии которого посвящено большое число исследований, является класс многообразий Кенмоцу. Полученные результаты свидетельствуют о ключевой роли этих многообразий в геометрии почти контактных метрических многообразий. Значительно меньше информации имеется о многообразиях, являющихся обобщениями многообразий Кенмоцу. В данной работе исследуются обобщенные многообразия Кенмоцу, удовлетворяющие аксиоме Ф-голоморфных (2г+1)-плоскостей. Также выделены для изучения два класса обобщенных многообразий Кенмоцу, мы называем их Ф-голо-морфными и Ф-параконтактными обобщенными многообразиями Кенмоцу. Основной целью работы является доказательство следующих теорем. Теорема 1.4. Ф-голоморфные обобщенные многообразия Кенмоцу совпадают с классом почти контактных метрических многообразий, получаемых из точней-ше косимплектических многообразий каноническим конциркулярным преобразованием точнейше косимплектической структуры. Абу Салеем Ахмад, А.Р. Рустанов, С.В. Харитонова 6 Теорема 1.6. Ф-параконтактное обобщенное многообразие Кенмоцу является специальным обобщенным многообразием Кенмоцу II рода. Теорема 2.5. Односвязное обобщенное многообразие Кенмоцу удовлетворяет аксиоме Ф-голоморфных (2г+1)-плоскостей тогда и только тогда, когда оно канонически конциркулярно одному из следующих многообразий: 1) CP"xR; 2) C"xR; 3) CH"xR, снабженных канонической косимплектической структурой. Работа организована следующим образом. В первом пункте даются необходимые сведения о геометрии почти контактных метрических многообразий, определяются обобщенные многообразия Кенмоцу, для последних приводится полная группа структурных уравнений. Для более подробных сведений мы отсылаем читателя к работам [10-15]. Далее получено аналитическое выражение тензора Ф-голоморфной секционной кривизны обобщенных многообразий Кенмоцу точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. Затем определяются подклассы Ф-голоморфных и Ф-параконтактных обобщенных многообразий Кенмоцу и исследуется их локальное строение. Во втором пункте изучается аксиома Ф-голоморфных (2г+1)-плоскостей для обобщенных многообразий Кенмоцу и рассматривается полная классификация односвязных обобщенных многообразий Кенмоцу, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных (2г+1)-плоскостей. 1. Ф-голоморфные и Ф-параконтактные обобщенные многообразия Кенмоцу Пусть М - гладкое многообразие, размерности (2n+1), X(M) - 0ю-модуль гладких векторных полей на многообразии М. В дальнейшем все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются гладкими класса С. Определение 1.1 [6]. Почти контактной структурой на многообразии М называется тройка (п, §, Ф) тензорных полей на этом многообразии, где п - дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, £ - векторное поле, называемое характеристическим, Ф - эндоморфизм модуля X(M), называемый структурным эндоморфизмом. При этом 1) п(0 = 1; 2) п°Ф = 0; 3) Ф© = 0; 4) Ф2 = -id+n®t (1.1) Если, кроме того, на М фиксирована риманова структура g = (•, •), такая, что (ФХ,ФУ) = (X,Y)-п(X)п(У), X,Y £ X(M), (1.2) то четверка (п, §, Ф,g ={•,•)) называется почти контактной метрической (короче, АС-) структурой [6]. Многообразие, на котором фиксирована почти контактная (метрическая) структура, называется почти контактным (метрическим (короче, AC-)) многообразием [6]. Кососимметричный тензор Q(X, Y ) = (X, ФУ), X,Y £ X(M), называется фундаментальной формой АС-структуры [6]. Пусть М - AC-многообразие, размерности (2n+1), X(M) - Сю-модуль гладких векторных полей на многообразии М. В модуле X(M) внутренним образом определены два взаимно дополнительных проектора m = п®| и l = id - m = -Ф2 [6]; таким образом, X(M) = L 0 M , где L = Im (Ф) = ker (п) - контактное распределение или первое фундаментальное распределение, dimL = 2n ; M = Im(m) = ker(Ф) = L(£) - линейная оболочка Аксиома Ф-голоморфных (2г+1)-плоскостей для обобщенных многообразий Кенмоцу 7 структурного вектора или второе фундаментальное распределение, l и m - проекторы на подмодули L и M соответственно. Распределения L и M инвариантны относительно Ф и взаимно ортогональны, Ф2 =-id , {ФХ,Ф= (X,Y), X,Y е X(M), где Ф = Ф|L , следовательно, {ф |р,gp|j - эрмитова структура на пространстве L \\р , здесь реМ. Комплексификация X(M)C модуля X(M) распадается в прямую сумму собственных подпространств структурного эндоморфизма Ф, данные подпространства отвечают собственным значениям Ѵ-1, -Ѵ-1 и 0 соответственно: X(M)C = дф-1 Ѳ D-^-1 Ѳ Д° . Причем проекторами на слагаемые Dф-1 и этой прямой суммы будут соответственно эндоморфизмы [6]: Л = ст° l = -- --2(2 + л/-іф) и п = стоl = 2^-ф2 +/-Іф), где ст= 1 (id-лГ-Іф), ст = -2(id W-ІФ) . Отображения стр : Lp дф”1) и стр : Lp D-^-) являются изоморфиз мом и антиизоморфизмом соответственно эрмитовых пространств. Поэтому к каждой точке реМ2и+1 можно присоединить семейство реперов пространства Tp(M)C вида ^ ^ Si - Sn, e^,..., ) , где Sa =^стр (ea К Sa = '^2СТ р (ea ), S0 =% р ; {ea} -ортонормированный базис эрмитова пространства Lp .Такой репер называется А-репером [6]. Используемые здесь и далее индексы i, j, k... принимают значения от 0 до 2n, индексы a, b, c, d... - значения от 1 до n, и будем считать a = a + n , a = a, 0 = 0 . Матрицы компонент тензоров Фр и gp в И-репере имеют вид (0 0 0 > (1 0 0 > 0 V-lIn 0 , (gj )= 0 0 In , (1.3) V 0 0 -J-1In J V 0 In 0 j К )= где Іп - единичная матрица порядка п. Совокупность таких реперов определяет G-структуру на М со структурной группой {1}xU(n), представленной матрицами (1 0 0 ^ вида A 0 гдеAeU(n) [6]. Эта G-структура называется присоединенной [6]. Еще раз заметим, что пространство присоединенной G-структуры состоит из комплексных реперов, т.е. реперов комплексификации соответствующих касательных пространств. Поэтому, даже имея дело с вещественными тензорами, мы, говоря об их компонентах на пространстве присоединенной G-структуры, подразумеваем компоненты комплексных расширений этих тензоров. Также комплексный тензор является комплексным расширением вещественного тензора тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно оператора комплексного сопряжения. Будем называть такой тензор вещественным. Абу Салеем Ахмад, А.Р. Рустанов, С.В. Харитонова 8 Поскольку Ф и g - тензоры типов (1,1) и (2,0) соответственно, их компоненты на пространстве расслоения всех реперов над М удовлетворяют уравнениям d ф + фк Ѳк - Фк Ѳк = ф),к ик , dg. - g. Ѳк - gtk Ѳк = gjk и (1.4) где {со1}, (ѳ‘} - компоненты форм смещения и форм римановой связности без кручения V соответственно; (ф1. к}, (gj к} - компоненты ковариантного дифференциала Ф и g в этой связности соответственно. Более того, в силу определения римановой связности Vg = 0 и, значит, glhk = 0. () С учетом (1.3) и (1.5) соотношения (1.4) на пространстве присоединенной G-структуры можно записать в форме [6] ь,к ф£к = о, ф-к = о, Ф0,к = о, ѳ| ^ 1 фа ик ѳ& = ^ 1 фа ик -:-ф,г ,_и , Ѳь =--:-фьки , за w-гф а,к и ^ ик,Ѳ0 =-4-1ф!ккоок, Ѳ0а = -л/-1ф0 ок Ѳ0 ик, Ѳ0а =Ѵ=Іф°°к ик, (1.6) -а,кш ' з1, +ѳ( = 0, ѳ0 = 0. 1 - ’ 0 Кроме того, заметим, что в силу вещественности соответствующих форм и ф1 к = ф- -, где t ^ t - оператор комплексного сотензоров и1 = и1 , Ѳ. = Ѳ1 1к ~ 1,к '■ пряжения. Рассмотрим первую группу структурных уравнений римановой связности dю1 = -Ѳ. ли1 . При i = 0 (1.7) на пространстве присоединенной G-структуры для почти контактного метрического многообразия с учетом (1.3) (1.6) примет вид dи0 = -Ѳ0 ли1 = -Ѳ0 ли0 -Ѳа лиа -Ѳ*- лиа = (1.7) = Ѵ-1ф0 кик лиа ^-Гф!-кик ли = =V- 1ф а 0и° лиа+ѵ- 1ф а ьиь лиа+ Ѵ-Гф0 ''ь и ли - -4-Іф(іпи° лиа -4-1ф({ьиь лиа -/-1ф0 "ь и ли = =ѵ-1ф а,0и0 лиа +v-№ а,ьиь лиа w-1 (ф0аЬ+ф °а )иь лиа - -1-1фіа0и

Скачать электронную версию публикации