On the lower bound in the problem of approximate reconstruction of functions by values of the Radon transform.pdf Важную роль при проведении экспериментов (физических, химических, технических и т.п.), требуют выяснения вопросы типа: «Где разместить измерительные приборы (в каких точках снимать информацию)?; как по полученным данным приближенно описать весь процесс (построение интерполяционной формулы)?; какими приборами и в каком количестве пользоваться?; где эти приборы расставить и как переработать полученные экспериментальные данные?» и т.д. Математическую основу подобного рода проблем составляет постановка задачи, впервые предложенная в 1996 году в работе [1] и окончательно сформулированная в течение 1996-2003 гг. в работах [2-8] под названием «Компьютерный (вычислительный) поперечник» (далее, К(В)П), с применением на отдельных конкретизациях. Например, в случае Tf = f общая задача в определении Компьютерного (вычислительного) поперечника есть задача восстановления функций. Конкретизация числовой информации в виде функционалов и алгоритмов их переработки порождает многочисленные постановки задач, исследованию которых посвящен ряд работ (см. например, [1-10] и имеющуюся в них литературу). Наиболее изученной является случай функционалов - значений функций в точках. Здесь основная проблема заключается в построении сеток, оптимальных в том или ином смысле. К таковым относятся сетки, предложенные Коробовым[11], Фроловым[12], Смоляком[13] и Шерниязовым[14]. Разумеется, помимо значений в точках, можно привлекать и другие функционалы. И здесь наиболее изученными являются тригонометрические коэффициенты Фурье (см. также работу авторов [10], где использовались коэффициенты Фурье по системе Хаара). В данной работе, в продолжение уже известных точных порядковых оценок погрешности восстановления функции, исследуются аппроксимативные возможности других конкретных вычислительных агрегатов - значений преобразований Радона. Обзор основных сведений о преобразовании Радона может быть найден в монографиях [15-20]. Одной из первых работ по приближению функций на основе значений их некоторых преобразований Радона является работа Марра [21]. В ней найдено 1 Данное исследование финансируется Комитетом по науке Министерства образования и науки Республики Казахстан (грант № AP05132938) Об оценке снизу в задаче приближенного восстановления функций 25 значение наилучшего приближения преобразования Радона алгебраическими многочленами. В работе [22] решается задача нахождения «интерполяционного» многочлена (т.е. имеющего те же преобразования Радона, что и интерполируемая функция) с минимальной 72-нормой. В работе [23] решается задача о возможности построения интерполяционных многочленов, в том же смысле что и в [22], для гармонических функций и получена оценка сверху их погрешностей на некотором классе гармонических функций. Отметим также серию работ [24-30, и имеющуюся в ней литературу] об аппроксимации функций, которая близка к данной тематике. Здесь представлены результаты в виде оценки снизу для погрешности восстановления функций из пространств Соболева и Коробова по значениям их преобразований Радона, полученные в ходе реализации грантового проекта МОН РК №AP05132938 «Преобразование Радона в задачах дискретизации». Постановка задачи и необходимые определения Сформулируем конкретизированную постановку задачи, в рамках которой получены соответствующие результаты. Пусть даны нормированные пространства X и 7 числовых функций, определенных на множествах QX и QY соответственно. Пусть F с X и Tf: F ^ Y . Для каждого целого положительного N выбирается набор функционалов l(N) = (l1,...,lN), lj(•): F ^ C (j = 1,...,N) и функция 9n(ti,...,tn;У):cN xQi ^ c. Каждую функцию Tf e Y будем приближать в метрике Y функцией 9n (li( f x.- 1n (f); у ), построенной по числовой информации объема N, полученной о функции f (x) посредством функционалов l1,...,lN и переработанной по правилу q>N . Пусть {(l(N), 9n )} есть множество всевозможных пар (l(N), 9N), состоящих из набора N функционалов l(N) = (l1,...,lN) и функции С1ѲN : для некоторого числа С1 > 0, для последовательности целых положительных N и для всякого вычислительного агрегата (l(N), 9n ) из Dn найдется функция f e F, для которой \\Tf (у) -9n (l1( f),...,lN (f);y )|Y > C1®N , и одновременно • Оценка сверху Sn (Dn ; f, F)Y < С2ѲN : для некоторого С2 > 0 и для всякого N из достаточно плотной (в связи с необходимостью указания конкретного вычислительного агрегата) возрастающей последовательности целых положительных чисел найдутся вычислительный агрегат (/( \\9N ) = N 2 ^2 qJ; (4) f-r+21 5n(Rn; f;Q- (U))l«(u)>> N1 2J, (5) где константы в неравенствах (3) и(5) зависит только от r, а в (4) от r и q . Данная теорема для W2r (U) при q = 2 была доказана Ф.Натеррером в [20]. Доказательство. Для доказательства оценок снизу (3) и (4), достаточно показать, что для любых N прямых p1,..., pN найдется функция g eW2r (U), у которой преобразования Радона вдоль этих прямых равны 0 и соответственно ІЫІГ°(и) llgllw2r (u ) llgILq (u ) llgllw2r (u ) r1 >> N 22 (6) » N 1 q (7) Об оценке снизу в задаче приближенного восстановления функций 29 Существование такой функции следует из оценки снизу в теореме 1 из [10]. Действительно, там было показано, что для любых линейных функционалов l1,...,l2 найдется функция f eW2r [0,1]2 , такая, что llf llw2r[0,1]2 -1, при некотором Z = (Zi, Z 2 )e[0,1]2 _ r 1 If (Z)| HI fllr[0,1]2 >> ^, _r 1_1 llflLq[o,1]2 HIfh{I)» N q. Здесь, мы в качестве функционалов l1,...,l2 возьмем значения интегралов вдоль заданных N прямых: lk (f )= j fds,(k = 1,..., N). Pk ^U Пусть функция g есть сужение f на область U . Стало быть, первое условие J gds = 0 Pk выполняется тривиальным образом. Также легко проверить и другие условия. Действительно, g eW2r (U) и для некоторого числа c = c (r) выполнено неравенство llglk(U)- c, () так как область U можно покрыть конечным числом единичных квадратов. Далее отметим, что можно считать, что Z = (Z1, Z 2) e U , так как если Z £ U, то (Z1 _ 1, Z2 _ 1) e U , это следует из несложных вычислений. Имеем 0 - Z1 -1,0 - Z2 -1 и Z2 + Z2 > 1, стало быть (Z1 _ 1 )2+(Z2 _ 1)2=2 _(2Z1 _z2 )_(2Z2 _z2 )-2 _(z2 +z2 )-1. Следовательно, при необходимости, учитывая 1- периодичность функции f получаем неравенство r1 l|g|L»(U HI HI™2» N lli“(U) \\\\J ІІГ°[0,1]2 что в совокупности с (8) дает нам выполнение неравенства (6). _ 1 1 2,2 Аналогично, в силу того, что 2 U r 1 1 » N 22 q . llgILq (u ) HI fILq Г-1,1]2 HI fILq[0,1]: что в совокупности с (8) дает нам выполнение неравенства (7). Ш.У. Ажгалиев, Ш.К. Абикенова 30 Таким образом, оценка снизу для классов Соболева доказана. Для доказательства оценки снизу погрешности восстановления функций из класса Коробова Q2, (U) покажем, что имеет место вложение W22r [0,1]' !с E2 . Действительно, пусть f е W22r [0,1]2. Тогда, используя соотношения между коэффициентами Фурье функций и ее производных, получаем X If (т1, т2)\\2 • (т\\ + т2)4Г < с , (wi,W2)eZ 2 отсюда следует, что ІЛт\\, < т+ЁЕ Далее, используя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом a + b > 2\\fab , имеем (т\\ + т2)2г > 2 • (т\\ + т2)г. Таким образом, If(т\\,т2)\\ < -2- - 1 1 1 (т • т2)г что означает справедливость вложения W2r [0,1]2 с E2 . Теперь воспользуемся оценкой снизу, полученной нами для случая восстановления из пространств Соболева. А именно, нами была построена функция g е W2r (U), которая есть сужение некоторой f е W2r [0,1]2 на область U , что в силу определения означает g е Q2, (U), и такая, что преобразования Радона вдоль этих прямых равны 0 и _ у l|g|lr » N'+2. Таким образом, получены оценки снизу для погрешности восстановления функций из классов Соболева W2r (U) и Коробова Q2 (U) и теорема доказана. Заключение В Казахстане была поставлена задача К(В)П о нахождении оптимальных порядков восстановления функций. Для многих конкретных случаев поставленная задача была решена на основе оригинальных методов построения агрегатов приближения вкупе с методами доказательств их неулучшаемости. Планируется нахождение оптимальных порядков задач восстановления функций по значениям преобразования Радона функций из различных классов. Последующая вычислительная реализация имеет весьма широкую сферу применения в науке и технике, в частности в компьютерной томографии. Основные результаты Проекта (промежуточные) периодически обсуждались на научных семинарах Института теоретической математики и научных вычислений ЕНУ им. Л.Н. Гумилева.

Скачать электронную версию публикации