Tensor product of modules over csp-rings.pdf 1. Введение Через Z и Jp мы обозначаем кольцо целых чисел и кольцо целых p-адических чисел соответственно; ■ - символ конца доказательства или его отсутствия. Пусть L - некоторое бесконечное множество простых чисел. Для числа p е L зафиксируем кольцо Rp, которое совпадает либо с Jp, либо с некоторым кольцом вычетов Z IpkZ (для разных p число k > 0 может быть разным). Обозначим K = П Rp и T = @Rp с K ; peL peL очевидно, что T - идеал кольца K. Назовём csp-кольцом всякое содержащее T подкольцо R кольца K, такое, что факторкольцо R0 = R IT есть поле. Если L совпадает с множеством всех простых чисел и Rp = Jp при всех p, а R0 изоморфно полю рациональных чисел Q, то соответствующее csp-кольцо (оно определено однозначно) называют кольцом псевдорациональных чисел. Это кольцо было независимо введено в работах Фомина [1] и Крылова, Пахомовой и Подберезиной [2] для исследования ряда важных классов смешанных абелевых групп. Позже Крылов предложил рассматривать csp-кольца (как обобщение кольца псевдорациональных чисел). Зиновьев [3] дал описание инъективных модулей над csp-кольцами; в работах [4] и [5] автором были получены структурные теоремы для проективных модулей над такими кольцами. В настоящей статье полностью описаны чистые подмодули и плоские модули над произвольным csp-кольцом R. Напомним основную терминологию, касающуюся чистых подмодулей. Определение. Подмодуль B правого S'-модуля A называется: - чистым (говорят также «чистым в смысле Кона»), если для каждого левого S-модуля F индуцируемый естественным вложением модуля B в A гомоморфизм B ®S F ^ A ®S F является мономорфизмом; - n-чистым, если B n Ax = Bx при всех x е S. Известно, что каждое прямое слагаемое модуля является чистым и n-чистым подмодулем; для n-чистой подгруппы (абелевой) группы используется и термин Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (соглашение № 075-02-2020-1479/1). Тензорное произведение модулей над csp-кольцами 57 «сервантная подгруппа». Из того, что кольца Z и Jp являются областями главных идеалов, можно вывести (см. [6]) следующее утверждение: Теорема 1. а) Подгруппа абелевой группы чиста в том и только в том случае, когда она сервантна (т.е. п-чиста). б) Если A есть Jp-модуль, то его подмодуль B чист в том и только в том случае, когда B пpkA = pkB для всех к > 0 (т.е. когда B является п-чистым подмодулем). ■ Для p e L кольца Rp и их единичные элементы ep естественным образом отождествляются с соответствующими идеалами и идемпотентами кольца R, в этом случае Rp = Rep. Заметим, что кольцо Rp (p е L) допускает ровно одну модульную структуру как над самим собой, так и над кольцом R; поэтому в дальнейшем мы рассматриваем все Rp как R-модули, не оговаривая это дополнительно. Если A - модуль над R, будем писать A0 = A /AT и Ap = Aep для p е L (заметим, что это согласуется с обозначениями R0 и Rp). Очевидно, Ap является Rp-модулем при любом p е L0, где L0 = L u{0}. Для всякого R-модуля A можно рассматривать точную последовательность R-модулей 0->AT->A->A0->0, (1) при этом справедливы равенства AT = A^eP =@Aep =@Ap . (2) peL peL peL Утверждения следующей леммы устанавливаются непосредственно. Лемма 2. Пусть A - модуль над кольцом R. Тогда: а) A = Ap ѲA(1 - ep) для любого p e L; б) для любых различных p, q e L0 выполнено (Ap)q = 0; в) (A0)0 = A0 и для любого p e L выполнено (Ap)p = Ap; г) A = 0 в том и только в том случае, когда Ap = 0 для всех p e L0. ■ Напомним, что если дан кольцевой гомоморфизм е: S > Е, то каждый правый (левый) Е-модуль G можно рассматривать как правый (левый) S-модуль, полагая gs = ge(s) (соответственно sg = e(s)g) при всех g e G, s e S. Отсюда вытекает, что для любых правого и левого модулей A и F над Е мы можем задать канонический эпиморфизм A ®S F > A ®Е F, переводящий все элементы a ®S f в элементы a ®Е f (здесь a e A и f e F). Известно [7], что если гомоморфизм S> Е сюръективен, то указанный канонический эпиморфизм будет изоморфизмом при любых A и F. Замечание 3. Обе абелевых группы A ®S F и A ®Е F по определению являются факторгруппами одной и той же свободной абелевой группы (свободным базисом которой служит множество A х F ). Таким образом, инъективность канонического эпиморфизма A ®S F > A ®Е F эквивалентна равенству A ®S F = A ®Е F. 2. Условия равенства тензорного произведения нулю Замечание 4. Для произвольного p e L0 в силу существования гомоморфизма колец R > Rp всякий R^-модуль естественным образом превращается в R-модуль. При этом ввиду сюръективности данного гомоморфизма тензорные произведения двух произвольных Rp-модулей над R и над Rp совпадают (см. замечание 3). Предложение 5. Пусть A и F - модули над R, и пусть ap: Ap ®RF > A ®RF, где p e L, - гомоморфизм, индуцируемый естественным вложением модулей Ap >A, Е.А. Тимошенко 58 а гомоморфизм а0: A ®R F > A0 ®R F индуцируется естественным эпиморфизмом A > A0. Тогда: а) ap является мономорфизмом при всехp e L; б) при всех p e L выполнено (A ®R F )p = Im ap; в) Ker a0 = (A ®RF)T; г) при всех p e L0 выполнено (A ®R F )p = Ap ®R F = Ap ®R Fp. Доказательство. Утверждение а) следует из того, что Ap - прямое слагаемое (и, значит, чистый подмодуль) модуля A, еслиp e L. б) Пусть p e L. Для произвольных элементов a e Ap и/e F в R-модуле A ®RF выполнено a ®R/ = aep ®R/ = (a ®R/)ep e (A ®R F )ep, откуда получаем, что модуль Im ap содержится в модуле (A ®RF)ep = (A ®RF)p. Обратно, если a e A и/e F, то (a ®R/)ep = aep ®R/ e Im ap. Тем самым доказано, что (A ®R F)p c Im ap, а значит, справедливо равенство (A ®R F)p = Im ap. в) Рассмотрим точную (см., например, [8]) последовательность AT®rF --A ®rF a° > A0 ®rF->0, (3) индуцированную последовательностью (1). Ввиду (2) мы имеем (A ®r F )T = 0(A ®r F) p =0 Im a p = Im a = Ker a0. peL peL г) Из утверждений а) и б) следует, что (A ®R F )p = Im ap = Ap ®R F. Поскольку последовательность (3) точна, то выполнено (A ®RF)0 = (A ®RF) / (A ®RF)T = (A ®RF) / Ker a0 = A0 ®RF. Наконец, для любого p e L0 имеем (A ®R F )p = ((A ®R F )p)p = (Ap ®R F )p = Ap ®R Fp, что завершает доказательство предложения. ■ Учитывая лемму 2, приходим к такому результату. Теорема 6. Для R-модулей A и F эквивалентны следующие условия: 1) A ®RF = 0; 2) A ®R Fp = 0 при всех p e L0; 3) Ap ®RF = 0 при всехp e L0; 4) Ap ®R Fp = 0 при всех p e L0. ■ Кроме того, из леммы 2 и предложения 5 следует, что для любых R-модулей A и F и любых различныхp, q e L0 выполнено Aq ®RFp = Aq ®R (Fp)q = Aq ®R 0 = 0. С учётом замечания 4 и условия 4) теоремы 6 вопрос о равенстве A ®R F нулю сводится теперь к вопросу о том, при каких условиях равно нулю тензорное произведение в категории модулей над кольцом S, равным Jp, Z /pkZ или R0. Известен следующий факт (через t(G) обозначаем периодическую часть группы G): Лемма 7. Для модулей U и V над кольцом S = Jp справедливы утверждения: а) если t(U) = U = pUф 0, то U®S V = 0 тогда и только тогда, когда выполнено p(V/t(V )) = V/t(V ); б) если t(U ) = U фpU, то U®S V = 0 тогда и только тогда, когдаpV = V; в) если t(U ) ф Uи t(V) ф V, то U®S Vф 0. ■ Напомним, что в ситуации S = Z /pkZ категория S-модулей совпадает с категорией ^-ограниченных абелевых групп; поскольку кольцевой гомоморфизм Jp > S сюръективен, то (см. замечание 3) тензорное произведение двух S-модулей будет одним и тем же над кольцом Jp и над кольцом S. С учётом леммы 7 и того факта, что для любого ненулевого S-модуля G выполнено t(G) = G ф pG, получаем такое утверждение: U ®S V = 0 тогда и только тогда, когда U = 0 или V = 0. Ясно также, Тензорное произведение модулей над csp-кольцами 59 что указанная эквивалентность остаётся верной и в том случае, когда S является полем. Приведённые рассуждения вместе с теоремой 6 и леммой 7 дают полный ответ на вопрос, когда для R-модулей A и F справедливо равенство A ®R F = 0. 3. Плоские модули и чистые подмодули Предложение 8. Пусть A, B, F - некоторые R-модули, причём B - подмодуль модуля A, и пусть гомоморфизмы Pp: Bp ®RF > B ®RF, Xp: Bp ®RF > Ap ®RF, где p e L, и гомоморфизм X: B ®RF > A ®RF индуцированы соответственно естественными вложениями модулей Bp > B, Bp >Ap и B >A. Справедливы следующие утверждения: а) Ker X = 0p p (Ker X p); peL б) X является мономорфизмом в том и только в том случае, когда Xp является мономорфизмом при всех p e L. Доказательство. а) Легко показать, что B n AT = BT, а значит, можно задать естественное вложение модуля B0 = B/BT в модуль A0 = A /AT; это вложение обозначим через ц. Пусть X0: B0 ®RF > A0 ®RF есть гомоморфизм, индуцированный вложением ц, а а0: A ®RF > A0 ®RF и p0: B ®RF > B0 ®RF - это гомоморфизмы, индуцированные естественными эпиморфизмами A > A0 и B > B0. Диаграмма B ®rF Ptl > B0 ®rF i i A ®rF a° > A0 ®rF (вертикальные отображения - X и X0) коммутативна, так как и гомоморфизм X0p0, и гомоморфизм a0X переводят каждый элемент b ®R f где b e B и f e F, в элемент (b + AT) ®Rf. Заметим, что |a(B0) - подпространство ^-пространства A0, а значит, |a(B0) служит для A0 прямым слагаемым (и как Ro-пространство, и как R-модуль). Следовательно, |a(B0) - чистый подмодуль R-модуля A0, а X0 - мономорфизм. Пусть y e Ker X, тогда ввиду предложения 5 имеем y e Ker(a0X) = Ker(X0Р0) = KerP0 = (B ®R F)T = 0 Impp . peL Поэтому для подходящего конечного подмножества X с L справедливо равенство y = S р p (yp), где yp e Bp ®R f. peX Пусть ap: Ap ®RF > A ®RF - это гомоморфизм, индуцируемый естественным вложением Ap >A. Зафиксируем p e X и рассмотрим коммутативную диаграмму 0 -> Bp ®rF Pp > B ®rf i i 0 -> Ap ®rF ap > A ®rF (вертикальные отображения - Xp и X; строки диаграммы являются точными ввиду предложения 5). Так какypep = yp, то y = ^ рp (ypep) = ^ рv (yp )ep ; отсюда peX peX 0 = X( y)ep = X( yep) = X(Pp( yp)ep) = X(Pp( ypep)) = X(Pp( yp)) и, следовательно, yp e Ker(Xpp) = Ker(apXp) = Ker Xp (при любомp e X). Е.А. Тимошенко 60 Тем самым мы доказали, что справедливо включение Ker p (Ker X р). (4) pGb Стоящая в правой части (4) сумма является прямой (поскольку прямой является сумма подмодулей Im Pp с B ®R F по всем p из L). Верно и обратное включение, так как PP(Ker Xp) = PP(Ker(apXp)) = pP(Ker(Xpp)) с Ker X для любого p е L. Утверждение б) сразу вытекает из а) в силу инъективности гомоморфизмов вР при всехp е L. ■ С учётом замечания 4 и условия 4) теоремы 9 вопрос об инъективности гомоморфизма B ®R F ^ A ®R F, индуцированного естественным вложением модулей B ^A, сводится к аналогичному вопросу для Rp-модулей. Теорема 9. Пусть A, B, F - некоторые R-модули, причём B с A. Эквивалентны следующие условия: 1) гомоморфизм B ®R F ^ A ®R F инъективен; 2) гомоморфизм Bp ®RF ^ Ap ®RF инъективен для всехp е L; 3) гомоморфизм B ®RFp ^ A ®RFp инъективен для всехp е L; 4) гомоморфизм Bp ®R Fp ^ Ap ®R Fp инъективен для всех p е L. Доказательство. Эквивалентность 1) и 2) уже установлена в предложении 8. Поскольку справедлива импликация 1) ^ 2), то из инъективности гомоморфизма B ®R Fp ^ A ®R Fp для какого-то p е L немедленно следует, что инъективен также гомоморфизм Bp ®R Fp ^ Ap ®R Fp - а это даёт нам импликацию 3) ^ 4). 4) ^ 3). Допустим, что гомоморфизм Bp ®RFp ^ Ap ®RFp, где p е L, является инъективным. Для произвольного q е L \\ {p} имеем Aq ®RFp = Bq ®RFp = 0. Таким образом, при всех q е L гомоморфизм Bq ®R Fp ^ Aq ®R Fp инъективен. Поскольку справедлива импликация 2) ^ 1), получаем, что гомоморфизм B ®R Fp ^ A ®R Fp также инъективен. Установим теперь эквивалентность условий 2) и 4). Зафиксируем p е L; пусть ap: Ap ®RFp ^ Ap ®RF и Pp: Bp ®RFp ^ Bp ®RF - гомоморфизмы, индуцированные вложением Fp ^ F. Рассмотрим коммутативную диаграмму 0 -> Bp ®R Fp -^ Bp ®rF i i 0 -> Ap ®RFp --^ Ap ®rF (вертикальные отображения индуцируются вложением модулей Bp ^Ap). В силу предложения 5 строки диаграммы являются точными и, кроме того, выполняется Ap ®R F = (Ap ®R F )ep = (Ap ®R F )p = Im ap, а значит, ap - изоморфизм (аналогичное утверждение верно и для Pp). Отсюда ясно, что первое вертикальное отображение будет инъективным тогда и только тогда, когда инъективно второе вертикальное отображение. ■ Теорема 10 по сути обобщает данное в работе [9] описание плоских модулей над кольцом псевдорациональных чисел. Теорема 10. Для R-модуля F эквивалентны следующие условия: 1) F - плоский R-модуль; 2) Fp - плоский R-модуль для всех p е L; 3) Fp - плоский Rp-модуль для всехp е L; 4) Fp является Rp-модулем без кручения для всех p е L, таких, что выполнено Rp = Jp, и свободным Rp-модулем для всех p е L, таких, что Rp Ф Jp. Тензорное произведение модулей над csp-кольцами 61 Доказательство. Импликация 1) ^ 2) получается из того факта, что каждый модуль Fp, где p е L, служит прямым слагаемым R-модуля F. 2) ^ 3). Пусть Fp - плоский R-модуль; зафиксируем некоторый модуль A над кольцом Rp и подмодуль B с A. Гомоморфизм B ®R Fp ^ A ®R Fp, индуцируемый естественным вложением B ^A, инъективен, откуда в силу замечания 4 следует, что Fp - плоский Rp-модуль. 3) ^ 1). Пусть A - произвольный R-модуль и B - его подмодуль. Из условия 3) и замечания 4 вытекает, что индуцированный естественным вложением модулей Bp ^Ap гомоморфизм Bp ®R Fp ^ Ap ®R Fp является мономорфизмом для всякого p е L, а значит, ввиду теоремы 9 индуцируемый вложением B ^A гомоморфизм B ®RF ^ A ®RF - тоже мономорфизм. Получаем, что F - плоский R-модуль. Эквивалентность условий 3) и 4) следует из двух хорошо известных фактов: - .Тр-модуль G является плоским тогда и только тогда, когда t(G) = 0; - модуль над кольцом Z /pkZ является плоским тогда и только тогда, когда он свободен. ■ Теорема 11. Пусть B - подмодуль R-модуля A. Тогда эквивалентны условия: 1) B - чистый подмодуль R-модуля A; 2) B n AI = BI для любого идеала I кольца R; 3) B есть n-чистый подмодуль R-модуля A; 4) Bp - чистый подмодуль Rp-модуля Ap при всех p е L; 5) Bp n Ap I = BpI для любого p е L и любого идеала I кольца Rp; 6) Bp есть n-чистый подмодуль Rp-модуля Ap при всех p е L. Доказательство. Известно, что импликация 1) ^ 2) имеет место для модулей над произвольным кольцом R (см. [6]). 2) ^ 3). Полагая I = Rr для произвольного элемента r е R, получаем требуемое равенство B n Ar = Br. 3) ^ 6). Поскольку мы договорились отождествлять Rp с идеалом кольца R, то всякий элемент х е Rp можно считать принадлежащим R. Ввиду условия 3) имеем Bp n Ap х с B n Ax = Bx = B(ep х) = Bp х; следовательно, Bp n Ap х = Bp х (включение Bpх с Bp n Apх очевидно). Импликации 4) ^ 5) ^ 6) доказываются так же, как 1) ^ 2) ^ 3). 6) ^ 4). Из условия 6) вытекает, что Bp - сервантная подгруппа группы Ap для каждого p е L. По теореме 1 получаем, что Bp - чистый подмодуль Rp-модуля Ap (как в случае Rp = Jp, так и в случае Rp ^ Jp). 4) ^ 1). Пусть F - некоторый R-модуль. Из условия 4) и замечания 4 следует, что для каждого p е L гомоморфизм Bp ®R Fp ^ Ap ®R Fp будет мономорфизмом; применяя теорему 9, получаем, что гомоморфизм B ®R F ^ A ®R F тоже является мономорфизмом. Таким образом, B - чистый подмодуль R-модуля A. ■

Скачать электронную версию публикации