Nonlinear waves and "negative heat capacity" in a medium with competitive sources.pdf В современной математической физике важное место занимают волновые уравнения с нелинейными источниками (уравнения Клейна - Гордона). Такие источники позволяют моделировать сложные явления в различных областях естествознания. В данной работе для определенности будем говорить о процессах волнового теплопереноса в системе «среда - источник энергии». Волновые задачи являются важным элементом динамической теории неравновесных состояний вещества [1]. Гиперболическое уравнение теплопроводности, получаемое с помощью вариационных принципов [2, 3] и учитывающее конечную скорость распространения тепловых возмущений, имеет вид дт д 2 тЛ - + Ydt dt2 = X дт дх2 -+qu (1) где t - время; х - декартова координата; т = T -T0 есть отклонение температуры Т от ее отсчетного значения T0 = const; с - объемная теплоемкость; X - коэффициент теплопроводности; у - время релаксации теплового потока; qv - мощность внутренних источников и стоков энергии; скорость распространения тепловых возмущений равна w = (X/су)1/2. Физические аспекты обоснования уравнения (1) изложены в [4]. Частным случаем модели (1) является волновое уравнение д 2т dt2 д2 т = w2-- + ku(T,x,t), дх (2) где kv = qv/(су); с,у - const. Это уравнение характеризует быстрые процессы, в которых волновой механизм переноса тепла преобладает над диффузионным: уд/дt >> 1. Основные предпосылки данной работы состоят в следующем: 1. Можно выделить два вида знакопеременных источников qv = qv(T). Пусть qD (T = T!) = 0 , где Т1 - пороговая температура, при переходе через которую Нелинейные бегущие волны и «отрицательная теплоёмкость» 65 функция qv(T) меняет знак. Источник технического происхождения (далее для краткости tech-источник) обладает следующими свойствами: он положителен в области «высоких» температур Т > Т1, где происходит подвод тепла, и отрицателен в области «низких» температур Т< Т1, где тепло отводится, например вследствие теплообмена между элементом технического устройства и окружающей средой. Таким образом, (dqn/dT )T=Ti > 0 . Источник, типичный для биологической ткани (далее для краткости bio-источник), обладает свойствами, отличающими его от объектов неживой природы [5] . Такой источник выполняет уравновешивающую роль компенсатора: в области «высоких» температур Т> Т1 идет теплоотвод qv < 0; в области «низких» температур Т< Т1 происходит тепловыделение qv > 0 в биоткани. Значит, в этом случае наклон функции источника при пороговой температуре отрицателен: (dqJ dT )T=T 1 < °. 2. Неклассическое явление «отрицательной теплоемкости» (ОТ) состоит в том, что подвод/отвод тепла дает снижение/рост температуры. Обзор экспериментальных и теоретических работ по этой проблеме и примеры ОТ в задачах конвекции стратифицированных двухкомпонентных жидкостей в поле силы тяжести даны в [6] . Некоторые нелинейно-волновые аспекты явления ОТ представлены в [7]. Будем рассматривать автомодельные решения волнового уравнения, применяя аргумент типа «бегущая волна»: T = t(Z) , Z= x'- Mt, x' = x / w , (3) d 2 t = kv dZ2 M2 -1 где M = N/w - тепловое число Маха; N - скорость перемещения волны Z = °, x° = Nt, N> 0; N, w - const. Процесс «дозвуковой» при M21. Таким образом, переход «дозвук»-^-«сверхзвук» означает инверсию знака правой части (3). Предметом исследования является случай, когда К(т ,Z) = (m2 - l)[f (t)-g (t,Z)], g = tQ2 (Z), (4) причем Q 2(Z = 0) > 0, Q2 ^0 при Z^±®. Далее источник tQ 2 называем сосредоточенным, потому что при всех конечных t(Z) его воздействие проявляется главным образом в окрестности волны Z = 0. Кроме того, мы рассматриваем пример периодической зависимости Q 2(Z) от волновой координаты. Источник f(т) нелинеен по температуре и может быть знакопеременным. Цель работы: 1) построить функции Q 2(Z), f(т), допускающие точное аналитическое решение волновой задачи; 2) изучить конкурентное взаимодействие сосредоточенного и нелинейного источников (4) и указать примеры существования ОТ. Алгоритм построения решения Возьмем за основу дифференциальное уравнение для неизвестной функции Ѳ = Ѳ(С): d 2Ѳ d Z2 F2 (Z) + dF (Z)' dZ _ (5) Здесь F(Z) - произвольная функция. Одно из частных решений этого уравнения имеет вид [8] О.Н. Шабловский 66 Ѳ = То exp J F (Z)d Z T0 = const. (6) Выполним преобразование F = iQ, Ѳ = Ѳ1+/Ѳ2 и тогда, выделяя в (5) действительную и мнимую части, получим систему уравнений d 2Ѳ1=-Q2^-Ѳ2 dQ d Z 2 =-Q2ѳ2 +Ѳ1 dQ, dZ dZ2 1 dZ (7) которой удовлетворяют функции Ѳ1 = T0cosJ, Ѳ2 = T0sin/, dJ/dZ = Q. Очевидно, что здесь 02Q = - d01/dZ, Ѳ1Q = d02/dZ. Переобозначим Ѳ1^т и запишем первое уравнение (7) в виде () d2т ^2 1 dQ dт -- = -tQ +---- dZ2 QdZ dZ Аналогичным образом можно поступить с уравнением для Ѳ2; новых результатов это не дает. В уравнении (8) примем связь 1 dQ d т w ч ---- = f (т), Qd Z d Z J W которая означает переход к источнику вида (4); см. также (3). С учетом решения x = x0cos J , dJ/d Z= Q (9) получаем (-т0 )sin J(d2 jjdZ2) = f (т). Теперь возьмем f (T) = (To-t2)D(T). (10) В итоге имеем дифференциальное уравнение для функции J = J(Z): ■ =-т0D sin J, D = D (x = x0cos J). d2 J dZ2 (11) Выбор отдельных частных зависимостей D(T) дает возможность получить точные решения уравнения (11). А это значит, что решение (9) будет удовлетворять уравнению (3) с источником (4), (10). Таким образом, в данном классе решений влияние сосредоточенного источника на градиент температуры описывается формулой (dх/dZ)2 = (х° -х2)Q2. Конкуренция источников f и g наблюдается там, где эти функции одного знака; на рисунках области конкуренции отмечены звездочкой. При анализе ОТ-ситуаций рассматриваем температурные интервалы, где конкуренция отсутствует. Кроме того, учитываем, что дт/dt = -NdT/dZ, N > 0. При фиксированном x имеем аномальный температурный отклик среды, если в этой точке dT/dZ > 0,т.е. дт/dt < 0 и k > 0 либо dx/d,Z < 0 и к < 0. Области, где существует явление ОТ, отмечены на рисунках черным треугольником. Решения на основе уравнения синус-Гордона Обсудим варианты, когда (11) можно представить в виде уравнения синус-Гордона, определяющего автомодельное решение J = J(Z): d2 J dZ 2 =-т0 D0 sin BJ, (12) Нелинейные бегущие волны и «отрицательная теплоёмкость» 67 где D0 - положительная постоянная; B > 1 - целое число. Далее применяем известные частные решения [9] этого уравнения: если т0 < 0, то (13) J(Z) = (4B)arctgE, E = exp(^/-x0D0B); если т0 > 0, то J(Q) = (-n/B) + (4B)arctgE, E = exp(^/x0D0B). (14) Из этих формул легко получаем функцию Q 2(Z) сосредоточенного источника. Укажем отдельные примеры точных решений вида (9). Пусть B = 1, D(t) = D0, х = ±х0 ( - 6E2 + E4 + E2) ; здесь верхний и ниж ний знаки «±», а также выражения E(Z) соответствуют (13) и (14). Функции источников такие: f (т) = (т2 -х2 )D0 , Q2 (Z) = +16X0D0Е2/(1 + Е2 ) > 0, где Q2 ^ 0 при Z ^ ±®. Схематическое изображение нелинейного источника показано на рис. 1, а для т0 < 0. При т0 > 0 решение обладает аналогичными свойствами. В данном случае решение имеет структуру уединенной волны: Z ^ ±да, т ^ т0, t(Z = 0) = -т0; выпуклость линии т(0 обращена вверх, рис. 1, b. Функция t(Z) - знакопеременная: т = 0 при Z = Сь Z = Сг = -Сь где E = Е2 (Z = Z1 ) = 3 - 2V2 , E2 = Е2 (Z = Z2 ) = 3 + 2ѵ/2. Своеобразие ситуации в том, что именно при Z = 0 достигает максимума функция Q 2(Z), и в этой точке обращается в ноль нелинейный источник. Конкуренция источников f > 0 и g > 0 наблюдается в интервале [0, -т0). Таким образом, формирование уединенной волны происходит под влиянием преобладающего воздействия сосредоточенного источника. После перемены знака функции t(Z) конкуренция отсутствует (f > 0, g < 0), и профиль волны выравнивается. Нетрудно видеть, что ОТ-ситуация наблюдается в сверхзвуковом/дозвуковом режиме слева/справа от возвышения волны, рис. 1. т Рис. 1. Решение (9), (12) при B = 1, т0 < 0: а - функция нелинейного источника; b - уединенная волна; * - область конкуренции источников; ▲ - область существования «отрицательной теплоемкости»;---функция источника в сверхзвуковом (М2>1) режиме;-функция источника в дозвуко вом (М2 Z\\ > 0 при t е |^0,t1), где t1 = (x1-0)/N есть конечное время, в течение которого волна проходит расстояние х - 0. Пусть B = 2, D = 2D0 cos J , f (т) = 2D0т(т0-т2)/т0 . (15) При т0 < 0 решения (9), (13) имеют кинк-структуру: т(0 монотонно возрастает слева направо от т0 до (-т0), причем t(Z = 0) = 0, рис. 2. Конкуренция источников отсутствует: f > 0, g < 0 при те(т0,0); f < 0, g > 0 при те( 0, -т0), рис. 2, а. ОТ-ситуация существует при М 2>1 в области решения, соответствующей нижней (левой) части кинка; при М 21 нелинейный источник имеет вид, характерный для биоткани: подвод/отвод тепла происходит в «холодной»/«горячей» температурных областях. Рис. 2. Решение (9), (12) при B = 2, т0 < 0: а - функция нелинейного источника; b - кинк-структура. Обозначения такие же, как на рис. 1 Fig. 2. Solution (9), (12) for B = 2, т0 < 0: (a) nonlinear source function; (b) kink structure. Notations are the same as for Fig. 1 При т0 > 0 из (9), (14) получаем уединенную волну: те (0,т0], t(Z^±®)^0, t(Z = 0) = т0. График функции f(т) (он здесь не приводится) обращен выпуклостью вверх: имеется конкуренция, f > 0, g > 0 при те(0, т0), см. (15). В заключительной части статьи будет дан пример физической интерпретации этого решения: движение фазовой границы кристаллизации переохлажденного расплава. Пусть B = 3, D = D0 (4cos2 J -1) , f (т) = D0 (т^ -т2 )^4 (т2 /т2 )- Ц . При т0 < 0 решение имеет кинк-структуру т е (т0, -т0 /2), причем t(Z = 0) = т0/2. Температурный интервал (т0/2, 0), на котором происходит конкуренция источников f < 0, g < 0, располагается между двумя интервалами (т0, т0/2) и (0,-т0/2), где конкуренция отсутствует, рис. 3. ОТ существует в сверхзвуковом и дозвуковом режимах, соответственно в левом и правом интервалах. При т0 > 0 ситуация аналогична случаю B = 2: в условиях конкуренции источников f > 0, g > 0 формируется уединенная волна при те(т0 /2, т0 ], t(Z^±®)^ т0/2, t(Z = 0) = т0. Такие же качественные результаты получаются для B = 4, B = 5. Нелинейные бегущие волны и «отрицательная теплоёмкость» 69 Рис. 3. Решение (9), (12) при B = 3, т0 < 0: перемежаемость областей с отсутствием и наличием конкуренции источников. Обозначения такие же, как на рис. 1 Fig. 3. Solution (9), (12) for B = 3, т0 < 0: alternating regions with and without source competition. Notations are the same as for Fig. 1 Решения на основе двойного уравнения синус-Гордона В (11) возьмем D = D0+D1t, D1 > 0 и получим - J = -т0 D0sin J - Т°D sin 2 J . (16) d Z 2 Воспользуемся известными частными решениями [9] этого двойного уравнения синус-Гордона. Нелинейный источник f(т) имеет вид (10). Если т2 Dj2 > D° , то т = т0 (1 -S2 )/(1 + S2 ) , S2 = D22th2ZD3, (17) D22 = (°D1 + D°/(т°D - D°) > 1, D3 ^/т02D? - DQ /(D) , Q2 (Z) = ( т° D + d° f/ Dj (ch2ZD3 + D22sh2ZD3 )2 Параметры задачи оцениваются следующим образом: 1) т° > 0, D° > 0, tDi>D0, тда < 0, |тш| < т°; 2) т° < 0, D° < 0, t°D1 0, |т°| > тш > 0, где тм = т(С^±®). Решение имеет вид уединенной волны, функция т(0 - знакопеременная; t(Z = 0) = т0. При т0 < 0 имеем те[т°, тш), выпуклость линии f (т) 0 имеем т е (тш, т° ], выпуклость линии f (т)>0 обращена вверх. Условия появления ОТ-ситуации такие же, как для варианта B = 1: см. (12) и рис. 1. Если в (16) D° > т° Dj2, то решение выглядит так: т = т° (1-S2 )/(1 + S2 ) , ^2 = D2tg°ZD5, (18) D2 = (D° +т°Д /(D° -т°Д) > 1, D5 =ylD2 -т°D2/((D), Q2 (Z) = (D° +т°Д )2 ГД (cos2 ( + D° sin2 2 ZD5) О.Н. Шабловский 70 Параметры задачи оцениваются следующим образом: 1) т0 > 0, D0 > 0, D0 > ТоА; 2) т0 < 0, D0 < 0, D0 < t0D1. Качественные свойства функции fr) такие же, как для предшествующего решения (17). Решение (18) представляет собой цуг волн. Например, для т0 > 0 имеем: т = т0 при Ср5 = пп0; т^(-т0) при CDs = лп0±(л/2), где п0 = 0, ±1, ±2,... . Функция т(0 - знакопеременная, рис. 4; т = 0 при tg2ZD5 = (1/ D42 )< 1. Каждая отдельная волна располагается по отношению к аргументу D на интервалах (-п/2, п/2), (п/2, 3п/2) и т.п. Явление ОТ наблюдается в течение конечного промежутка времени в «холодной» области т е (-т0,0)на вос-ходящем/нисходящем участках отдельной волны при сверхзвуковом/дозвуковом режиме. Рис. 4. Решение (18): цуг волн при т0 > 0 Fig. 4. Solution (18): wave chain for т0 > 0 Для т0 < 0 график t(Z) получается из рис. 4 переворотом на 180° вокруг горизонтальной оси. В этом случае имеем ОТ-ситуацию в «горячей» области на нис-ходящем/восходящем участках отдельной волны при сверхзвуковом/дозвуковом режиме. В (11) возьмем D =[cos(J/2)-т]/[т0 cos(J/2)] и получим d2J „ . J . т -= 2m sin--sin J. dZ2 2 Это уравнение имеет точное решение [10]: (19) J = 4arctgu ,u =[(1 -m)/m]1/2/cos (ЫТ - m ) , 0 0 , Wj2 = aj2та , (22) а, a1 - const, Z = (x/w0)-t, w0 = N, где а - положительное четное число. Здесь и далее верхний/нижний знаки соответствуют положительной (^/отрицательной (n) производной d(w2)/dт. Уравнение (2) принимает вид d2т/dZ2 = + w0kjw2 . (23) О.Н. Шабловский 72 Если кѵ = к1ита sin Вт ; &U , В - const, то (23) превращается в уравнение синус-Гордона, определяющее бегущие «звуковые» волны т = t(Z), см. формулы (12) -(14). Отметим, что в этом случае источник к„(т) колеблется по т с нарастающей амплитудой - по резонансному типу. Возможны и другие варианты частных зависимостей ки(т), позволяющие преобразовать (23) к уравнению с известными точными аналитическими решениями. Изучим два примера, для которых (23) отличается по структуре от уравнения синус-Гордона. В соответствии со знаком производной d(w2)/dT будем говорить о (р) и (п) средах. Уединенная «звуковая» волна: т = т0 /(1+ В12 Z2); т0, В - const, т0 > 0; те (0, т0 ]; (24) kUp),(n) =±к2т2+“[(4т/3)-Т0]т2 , к2 = 6a?B,2/w02 . Здесь а? - параметр среды; В2 - параметр источника. Источники kUp),(n) (т) - знакопеременные, и на периферии волны (Z^±®) имеем т^-0, w2 ^ w?, к^^-0, (dkjdx)^0. Возвышение волны, т.е. максимум функции t(Z), формируется в точке Z = 0, где t(Z = 0) = To > 0. Для (^)-среды на возвышении имеем кЦр) > 0 , dкЦ, р)/d т > 0 ; сам источник обладает fech-свойствами. Для (п)-среды на возвышении имеем к^ < 0 , d^^/dт 0, а кривизна линии t(Z) равна K (Z = 0) = ки р),(п)| ^ = 2т0 В2. 1 'w2 2 В данном примере она не зависит от ax и определяется шириной температурного интервала т0 и параметром источника В12 . Рис. 6. Нелинейная среда (22), d(w2)/dT < 0: объемные источники энергии, действующие в биологической ткани; - • - • - источник, возбуждающий уединенную волну (24); -источник, возбуждающий знакопеременный кинк (25) Fig. 6. Nonlinear medium (22), d(w2)/dT < 0: volumetric energy sources acting in the biological tissue: - • - • -the source of sole wave (24);-the source of alter nating kink (25) Нелинейные бегущие волны и «отрицательная теплоёмкость» 73 (25) Знакопеременный кинк: т = т0 thBjZ ; іо, B1 - const, т0 > 0; k(pUn) =±k2 x1+“ (T0 -x2 )/t2 , = 2af tfl w02 , т e (-то, T0). Аналогично только что рассмотренной уединенной волне, здесь для (р)-среды/(п)-среды имеем fech-источник/й/о-источник, рис. 6. В центральной точке кинка Z = 0, т = 0, dz/dZ = т0В1, kUp),(n) = 0, k-p),(n)/dт = 0. Отметим корреляцию между наклоном функции источника в невозмущенных состояниях (Z^-±®) и наклоном кинка в его центральной точке: ' k( p),(n) ^ ѵ dT V = _ 4w12 (т = т0) Z dтч 2 + т2 w02 Vd Z, = _ 4B и!2(т = т0) _ 2 w0 t,0^0 v ^Z=0 Здесь отношение w2(t = t0)/W дает количественную характеристику нелинейных свойств среды в интервале температур (-т0,т0). Фазовая граница кристаллизации Обсудим физическую интерпретацию решения (9), (14), (15) при т0 > 0. Пусть линия Z = 0 есть фазовая граница кристаллизации однокомпонентного чистого расплава, переохлажденного до температуры T* 0, М2 0, D0 > 0, (26) Q(Z) = 2ЕуІ2т0Д0/(1 + Е2), te(0,Т0], kU = kU + kU , k+=(1 - M 2 ) g > 0, k-=(M 2 -1) f < 0, f = 2D0т(т0-т2)/т0 , g = tQ2 = 2D0тѴт0 . Возьмем T0 = T„ и тогда т^^-+®) = 0, а переохлаждение расплава равно т^ = 0) = Tc-T* = т0 > 0. Параметр D0 характеризует взаимодействие сосредоточенного источника k+ (выделение теплоты фазового перехода) и теплоотвода k-, обеспечивающего переохлажденное состояние расплава. Укажем размерность этого параметра: [D0] = [q0/(T2су)] = [^(t2T)], где [qD] = [q/x], q - удельный тепловой поток. Ясно, что при таком упрощенном подходе источник k+ «размазывает» по Z подробности взаимодействия границы кристаллизации с жидкой фазой. По отношению к координате x определим толщину слоя перехода от т = т0 к т = 0 как дробь Ax = yi^r/arlmax = wT0/|dт/dC|max , О.Н. Шабловский 74 где знаменатель дроби есть максимальное значение модуля производной dx/dZ при Z е [0, да). Расчеты показывают, что Дх = (2 + Ѵ2) w/[(i W2 )Ѵ2Га ]. Таким образом, баланс энергии на фазовой границе можем записать в виде q+(Z = 0) Дх = LN , (27) где LN есть тепловой поток, обусловленный выделением кристаллизационного тепла; L - теплота фазового перехода единицы объема вещества. Левая часть формулы (27) - это количественная оценка теплового потока, который создается сосредоточенным источником при Z = 0; q+ = k+ /(cy). После аналитических преобразований, основанных на решении (26), из (27) получаем N/w = M = (ѴГ+4Г -1)/(2>/r), (28) где Г = 4D0X т0/ (w L ) - положительный безразмерный параметр. В физическом отношении основной интерес представляет зависимость скорости фазовой границы от переохлаждения: N = N(t0). Известные в литературе (см. [11] и указанную там библиографию) данные о высокоскоростной кристаллизации глубоко переохлажденных (до 300 К) расплавов чистых металлов говорят о том, что функция N(t0) монотонно возрастающая, dNldx0 > 0, и при не слишком больших переохлаждениях удовлетворяет условию выпуклости: d2 n/ d т 2 > 0 . Например, для чистого никеля оба эти свойства выполнены при 0 < т0 < 150 К. Из формулы (28) ясно, что условие монотонного роста выполняется при всех Г > 0, а из условия выпуклости следует ограничение Г < 0.06. Это означает, что для данного решения тепловое число Маха не превосходит 0.23. Числовые расчеты, проведенные на основе этой оценки, показывают, что для никеля формула (26) имеет физический смысл при т0 < 57 К. Заключение Для волнового уравнения с источниками построены новые решения типа бегущей волны. Результаты изложены в терминах теории теплопереноса. Рассмотрены два типа нелинейных источников, различающихся характером тепловыделе-ния/теплоотвода в «горячей» и «холодной» температурных областях. Например, источник, характерный для биологической ткани, в отличие от источника технического происхождения, выделяет тепло при низких температурах. Представлены примеры аномального температурного отклика среды: подвод/отвод тепла дает снижение/рост температуры (так называемая «отрицательная теплоемкость»). Дан пример нелинейной среды, допускающей точное аналитическое описание волновой задачи при воздействии источника, который зависит от температуры по резонансному типу: его колебания происходят с нарастающей амплитудой. Для задачи о фазовой границе кристаллизации переохлажденного расплава получена физически содержательная зависимость скорости роста кристалла от переохлаждения.

Скачать электронную версию публикации