A method of boundary states in a solution to the first fundamental problem of the theory of anisotropic elasticity with .pdf Детали из современных материалов, такие, как эластомеры, поликристаллические металлы, керамика, а также композитные материалы, обладающие значительной анизотропией свойств, применяемые в конструкциях, механизмах и машинах, часто пребывают в сложных условиях нагружения. На тело, находящееся в таких условиях, действуют поверхностные и массовые силы. Определение напряженно-деформированного состояния тел от совокупности таких воздействий, а также в силу анизотропии упругих свойств материала, составляет актуальную научную задачу. Массовые силы рассматривались в работах различного направления механики. Например, в работе [1] установлена зависимость между критическим состоянием твердого тела, предшествующим разрушению, и взаимным влиянием угловых и линейных деформаций друг на друга, что сопровождается высвобождением их внутренней энергии. В работе [2] представлено численно-аналитическое решение плоской задачи теории упругости с использованием метода взвешенных невязок в форме метода граничного решения. Найдены распределения напряжений и смещений в упругом теле, подверженном действию заданной системы объемных сил и заданных напряжений или смещений на границах. Авторами [3] рассмотрена задача о напряженно-деформированном состоянии твердого тела с учетом ползучести и находящегося под действием объемных сил. В [4] исследовались вынужденные деформации в виде суммы воздействий поверхностных и объемных сил. В работе [5] с использованием фиктивных расчетные схем, основанных на эквивалентности воздействий в механике деформируемого твердого тела, получены напряженно-деформированные состояния для балки на двух опорах, находящейся под действием массовых сил; вращающегося тонкого круглого диска; плотины треугольного поперечного сечения, находящейся под действием объемных фильтрационных сил. В работе [6] представлены задачи теории упругости с заданными объемными и поверхностными силами в функциональных энергетиче- 1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Липецкой области в рамках научного проекта № 19-41-480003 "р_а". Метод граничных состояний в решении первой основной задачи 97 ских пространствах тензоров напряжений и деформаций; методом ортогональных проекций решены конкретные задачи. Объемные силы рассматривались и в механике разрушения [7]: дается решение задачи механики разрушения о зарождении трещин в металлическом круговом диске под действием объемных сил. Авторами [8] для перемещений получено условие эквивалентности поверхностных и объемных сил с использованием вариационного уравнения Лагранжа. Оценке вклада гравитационных сил в возмущение напряженно-деформированного состояния упругого полупространства, вызванное шаровой неоднородностью упругих свойств, расположенной на некоторой глубине посвящена работа [9]. В [10] приведено построение поля перемещений для изотропного упругого тела, ограниченного концентрическими сферами и находящегося под действием осесимметричных нестационарных объемных сил. В работе [11] показано влияние силы тяжести на деформированное состояние идеальнопластического пространства, ослабленного цилиндрической полостью, а в [12] получены точные аналитические решения задач о равновесии толстостенных трансверсально-изотропных составных сфер с жестко закрепленной границей и находящихся под действием массовых сил и внутреннего давления. Для анизотропного стержня с одной плоскостью упругой симметрии решена задача кручения с помощью метода граничных состояний [13]. Обратный метод определения напряженно-деформированного состояния изотропных упругих тел от действия непрерывных непотенциальных массовых сил приведен в работе [14]. Метод граничных состояний с участием объемных сил для изотропной среды применен авторами [15]. В [16] разработана методика получения полнопараметрических решений для анизотропных тел, где возникновение фиктивных массовых сил являлось следствием применения метода Пуанкаре. Метод граничных состояний относится к разряду энергетических методов. C помощью метода минимизации полной энергии деформации, решена задача по определению напряженно-деформированного состояния, возникающего при осадке жесткопластической тонкой квадратной заготовки [17]. В работе [18] в осесимметричной постановке с помощью непрямого метода граничных состояний показано решение уравнения Лапласа, а в [19] рассмотрены задачи контакта без трения трансверсально-изотропного цилиндра в условиях одновременного действия массовых и поверхностных сил. В рамках настоящей работы предполагается развитие энергетического метода граничных состояний на класс краевых задач теории упругости с массовыми силами для трансверсально-изотропных тел вращения. Особенность искомого упругого поля состоит в том, что его след одновременно удовлетворяет заданным условиям на границе и внутри области, т. е. массовым силам, а не представляет собой сумму отдельных полей в задаче эластостатики и в задаче определения напряженно-деформированного состояния от действия массовых сил. 1. Постановка задачи Рассматривается равновесие трансверсально-изотропного тела, ограниченного одной или несколькими коаксиальными поверхностями вращения под действием осесимметричных (не зависящих от угла Ѳ в цилиндрической системе координат r, Q, z ) поверхностных усилий pv = {pr, pz} и массовых сил X = {R, Z}, симметрично распределенных относительно оси вращения z (рис. 1). Д.А. Иванычев 98 z p, г Рис. 1. Трансверсально-изотропное тело вращения Fig. 1. A transversely isotropic body of revolution Решение поставленной задачи может быть проведено простым путем: сначала решить краевую осесимметричную задачу механики от внешних сил, приложенных к поверхности тела, затем отдельно решить задачу по определению упругого состояния от массовых сил, а полученные упругие поля сложить. Однако в этом случае сложно проводить анализ полученного результата исходя из теорий прочности и жесткости. Возникает необходимость дискретно корректировать граничные условия в краевой задаче, что составляет непростую и трудоемкую задачу, особенно если граница тела частично или полностью защемлена. Например, естественно, что напряжения внутри тела, находящегося под действием сил инерции со свободной границей, отличаются от напряжений в том же теле с защемленной границей, вопрос состоит в том, каким образом происходит это перераспределение. Целью работы является развитие метода граничных состояний на класс краевых осесимметричных задач теории упругости для анизотропных тел, в которых упругое поле от массовых сил не просто суммируется с полем от внешней уравновешенной нагрузки, а входит в состав решения, позволяя получить то самое перераспределение напряжений от влияния граничных условий. Ее достижению отвечает система взаимосвязанных процедур: корректная постановка, обезразмери-вание, выбор метода решения с построением определяющей теории, решение конкретных задач. 2. Определяющие соотношения В случае осесимметричной деформации тела вращения точки перемещаются лишь в меридианных плоскостях и компоненты напряженно-деформированного состояния не зависят от угла Ѳ , т.е. напряжения тгѲ, тгѲ и деформации угѲ , угѲ равны нулю. Для однородного трансверсально-изотропного упругого тела в цилиндрических координатах имеют место следующие соотношения [20]. Дифференциальные уравнения равновесия: zr dz dr da _ дт z дт zr dar -- + -- + z- + ^~ + Z = 0. r (1) z + zr dz dr r Метод граничных состояний в решении первой основной задачи 99 (2) (3) Соотношения Коши: dw du u dw du 8z =^T ’ 8r =^T ’ 8ѳ=~; Yzr =^~ + ~r~ dz dr r dr dz Обобщенный закон Гука: 8 z = e [ z-v z (CTr +CTe)]; 1 t л v z 8r =-к -vr CTe) - - CT z; 1 vz 1 80=- (CT0-VrCTr ) -- z ; Yzr = zr ■ Er Ez Gz Здесь u, w - компоненты вектора перемещений u вдоль оси r и z соответственно; 8r, 8Ѳ, 8z, у zr - компоненты тензора деформаций; ar, стѳ , az, Tzr - компоненты тензора напряжений; R, Z - компоненты вектора массовых сил X вдоль соответствующей оси; Ez и Er - модули упругости соответственно в направлении оси z и в плоскости изотропии; v z - коэффициент Пуассона, характеризующий сжатие вдоль оси r при растяжении вдоль оси z; vr - коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие в плоскости изотропии при растяжении в этой же плоскости; Gr и Gz - модули сдвига в плоскости изотропии и перпендикулярной к ней. 3. Метод решения Для решения первой основной задачи теории упругости прибегнем к понятиям метода граничных состояний (МГС) [21]. МГС является энергетическим методом решения задач уравнений математической физики. Он показал свою эффективность в решении краевых задач теории упругости, как для изотропных, так и для анизотропных сред, в решении задач термоупругости, гидродинамики идеальной жидкости, динамики (колебаний) изотропных тел и др. Основу метода составляют пространства внутренних Н и граничных Г состояний: \\г,^з^; Г = {Уі,Y2,Yз,■■■,Yк -} ■ () Внутреннее состояние определяется наборами компонент вектора перемещений, тензоров деформаций и напряжений: 5к = {uk, 8^, 4 }■ (5) Воспользуемся при построении решения основных задач механики уравнением Клапейрона [22], [23]: J Xu dV + JpuvdS - J ai}-8ijdV = 0 , (6) V S V где p и uv - векторы поверхностных усилий и перемещения точек границы. Скалярное произведение в пространстве Н внутренних состояний выражается через внутреннюю энергию упругого деформирования (отсюда и принадлежность Д.А. Иванычев 100 метода к классу энергетических). Например, для 1-го и 2-го внутренних состояний тела, занимающего область V: &, ^) =14 j , () V причем в силу тождества Бетти: &,%2) = (^2,5і) =/е1,-^jdV = jela)jdV . V V Граничное состояние yk , в отличие от традиционного уk = {uk, pk }, определяемого в [21], будем формировать наборами компонент вектора перемещения точек границы uvi, поверхностными усилиями pi и массовыми силами Xi (X) = R, X2 = Z ). Последнее условно в силу того, что массовые силы не относятся к элементу поверхности тела: Yk = {икщ, pk,Xk }; pk = ajUj; i, j = 1,2, (8) где Hj - компонента нормали к границе. В пространстве граничных состояний Г согласно (6) скалярное произведение выражает работу внешних сил по поверхности тела S и работу массовых сил на перемещениях ui внутренних точек тела, например для 1-го и 2-го состояний: (Y), Y2) = | p)u2ndS + jXjufdV, (9) S V причем в силу тождества Бетти и соотношения Клапейрона Ob Y 2 ) = (Y 2 , Y)) = j p)uVndS + j X)ui2 dV = j pfulidS + j Xfu1dV . S V S V В случае гладкой границы и в силу единственности решения задач линейной теории упругости оба пространства состояний являются гильбертовыми и сопряжены изоморфизмом. Каждому элементу £/k еН соответствует единственный элемент yk е Г, причем это соответствие взаимно-однозначное: ^k о yk . Это позволяет отыскание внутреннего состояния свести к построению изоморфного ему граничного состояния. Основную сложность формирования решения в МГС составляет конструирование базиса внутренних состояний, который опирается на общее или фундаментальное решение для среды; также возможно использование каких-либо частных или специальных решений. Здесь предлагается несколько иная методика конструирования базиса внутренних состояний, которая изложена ниже. Для формирования определяющих соотношений базисы пространств состояний необходимо проортонормировать. Ортонормирование базиса пространства Н осуществляется по разработанному рекурсивно-матричному алгоритму ортогона-лизации [24], где в качестве перекрестных скалярных произведений принимается (7). Алгоритм основан на процессе Грама - Шмидта, переписанном в форме, использующей лишь перекрестные скалярные произведения элементов исходного базиса, которые сведены в матрицу Грама. Если в процессе ортогонализации на k-м шаге встречается некоторый элемент базиса внутренних состояний £/k , алго- Метод граничных состояний в решении первой основной задачи 101 ритм на этом шаге выдаст 0 (нулевое), если этот элемент является линейной комбинацией элементов £/1, ..., ^к - . Для сохранения ортогональности выходных элементов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм делает проверку на нулевые элементы и исключает их. На их место идут следующие элементы исходного базиса внутренних состояний и процесс повторяется. Ортонормированный базис Г редуцируется из ортонормированного базиса внутренних состояний при использовании (8) и (1). Окончательно, проблема сводится к разрешающей системе уравнений относительно коэффициентов Фурье, разложения искомых внутреннего £, и граничного Y состояний в ряд по элементам ортонормированного базиса: ад ад ^ = E ск %к ; Y = S скYк к=1 к=1 или в развернутом виде ад ад ад Рг =Ё скРІ; ui =Ё ckui; сту =Ё ск4; еУк=1 к=1 к=1 Z Ск г* ; Xг =Х СкХІ . (10) к=1 к=1 В случае первой основной задачи, где заданы массовые силы X = {^, Z} и усилия на границе p = {pr, pz}, коэффициенты Фурье с* определяются из выражения ск =JXulcdV + JputdS, (11) V S где ик и ut - вектор перемещения в к-м базисном элементе базиса внутренних (5) и граничных (8) состояниях соответственно. Тестирование коэффициентов Фурье осуществляется подстановкой одного из базисных элементов с соответствующими ГУ в качестве заданного, при этом должны выполняться условия сп = 1, п - номер тестируемого элемента, остальные коэффициенты Фурье должны равняться нулю. 4. Формирование базиса внутренних состояний Авторами [20] с помощью метода интегральных наложений установлена зависимость между пространственным напряженным и деформированным состоянием упругого трансверсально-изотропного конечного тела без полостей и определенными вспомогательными двумерными состояниями, компоненты которых зависят от двух координат z и у (переменных). При установлении зависимости используется следующий прием. Упругое тело, напряженное состояние которого требуется изучить, рассматривается как часть некоторого бесконечного цилиндра с осью п, параллельной образующей цилиндра. С телом связана система координат rzѲ . Меридианное сечение тела совпадает с плоскостью поперечного сечения бесконечного цилиндра с осями координат zy (направление п ^ плоскости zy, ось z общая для тела и цилиндра). Предполагается, что цилиндр находится в некотором двумерном напряженном состоянии не Д.А. Иванычев 102 меняющемся вдоль образующей. Компоненты этого состояния upl, up1, apl , apl, af , ap определяют плоскую деформацию цилиндра в плоскости zy. Эти же компоненты определяют напряженное состояние заданного упругого тела, так как оно является частью цилиндра. Для того чтобы получить пространственное напряженное состояние тела, рассматривается ряд цилиндров, отличающихся направлением образующей или углом поворота относительно оси z. Последовательно представляя тело вырезанным из каждого такого цилиндра при т (т - число цилиндров), образуется ряд напряженных состояний, суперпозиция которых и дает суммарное трехмерное состояние. Если напряженное состояние каждого цилиндра в процессе поворота не меняется, то трехмерное состояние тела будет осесимметричным, не зависящим от координаты Ѳ . Например, для компоненты вектора перемещения w трехмерного состояния имеет место выражение 1 w = - m X (Uzf ) к • к=1 При переходе к пределу при т сумма заменяется интегралом. При последующей замене переменой интегрирования, окончательно связь между перемещениями осесимметричной деформации и плоской деформации соответствующего цилиндра имеет вид [20] -r ,Р1 =dy. y -I- 1T J ,pl ■\\]r2 - =dy, v = 0 . (12) y В работе [25] приведены выражения для напряжений осесимметричного состояния через напряжения плоского вспомогательного состояния. Для построения поля перемещений плоских вспомогательных состояний воспользуемся системой многочленов yaze, которую можно поместить в любую позицию вектора перемещения upl (y, z), образуя некоторое допустимое состояние upl ={{y“ze,0},{0,y“ze}} . Перебор всевозможных вариантов в пределах а+р

Скачать электронную версию публикации