Effect of relaxation processes on the shock wave focusing in a gas suspension cloud.pdf Движение ударных волн и их взаимодействие с неоднородностями (областями, отличными по плотности и/или температуре от окружающей среды) встречается при решении прикладных задач в технологических процессах импульсного нанесения порошковых покрытий, анализа взаимодействия ударных волн с заградительными дисперсными образованиями, прогнозирования последствий аварий при взрывах на угольных шахтах, изготовления ракетных двигателей на твердом топливе и др. Возникающее при этом течение сопровождается структурно-сложными ударно-волновыми конфигурациями с рефракцией скачка уплотнения на границе раздела сред, фокусировкой ударных волн и развитием неустойчивости на контактной поверхности. Взаимодействию ударной волны в газах с различными показателями адиабаты, молекулярного веса и температуры посвящены теоретические [1-3] и экспериментальные [4-6] работы. Преломление скачка уплотнения на границах раздела различных конфигураций с учетом релаксационных процессов в газах изучен в [7]. Пространственные эффекты при взаимодействии ударной волны с продольным каналом газа пониженной плотности рассмотрены в [8]. C одной стороны, преломление скачка уплотнения на границе раздела неоднородных по плотности газовзвесей качественно согласуется с аналогичными явлениями в газах повышенной плотности. С другой стороны, наличие частиц в газе может приводит к «аномальным» эффектам, например формированию ударноволновой структуры на дозвуковом (по несущему газу) режиму течения [9-11]. В работах [12, 13] изучено ускорение облака частиц из плексигласа и бронзы в спутном потоке за ударной волной и показано существенное влияние объемной концентрации частиц. Авторами [14, 15] рассмотрено влияние начальной геометрии и угла поворота облака на дисперсию частиц. В [16] численно в рамках односкоростной и одно-температурной постановки задачи исследовано распространение плоской сильной ударной волны по воздуху, содержащему цилиндрическое облако кварцевой пыли малой концентрации. Д.В. Садин, Б.В. Беляев, В.А. Давидчук 122 Настоящая работа является продолжением исследований структурно-сложных релаксирующих течений газовзвесей и посвящена изучению возможностей численного моделирования влияния релаксационных процессов при изменении размеров дисперсных частиц на фокусировку ударной волны в облаке газовзвеси. Постановка задачи Для математического описания ударно-волновых процессов в неравновесных по скоростям и температурам смесях двухкомпонентного газа и твердых монодисперсных частиц выпишем законы сохранения в следующем виде [17, 18]: f- + Vd G + B (V d F ) = H (q), (1) q = [ Pl2 , P2 , PlV^ P2 V2 , P2e2 , P\\E\\ +P2K2 ] G = [V1, Pl2 [ P2 V2 , Pl V1V1, P2 V2 V2 , P2e2 V2 , PlE1 V1 + P2K2 V2 ] , F = [0,0,0,p,p,0,p(alVl +a2v2 ) , H = [0,0,0,-F^,F^,QT,-QT ]T , Vd = diag(V-,V-,V-,V,V,V-,V-) , B = diag[1,1,1,a1,a2,1,1] , P1 = P11 +P12 , P; = P;аг- (i = 1,2) , a1 +a2 = 1 , E1 = e1 + vj2 /2, K2 = v^/2 . Здесь и далее индексы 1 и 2 внизу относятся соответственно к параметрам несущей и дисперсной фаз, а вторые индексы - к компонентам газа; V - оператор Гамильтона. Через a;, р° , р; , v;, Et, e;, p обозначены объемная доля, истинная и приведенная плотности, вектор скорости, полная и внутренняя энергии единицы массы i-й фазы, давление газа; F^, QT - соответственно вязкая составляющая силы межфазного взаимодействия и мощность теплообмена между газом и частицами в единице объема; t - время. Для замыкания системы (1) используем уравнения состояния идеального совершенного газа, аддитивности и термической равновесности его компонентов, а также несжимаемых твердых частиц: p = (1(ф)- OpI^ y (ф) = £, = Cp1Ф + Cp2 (1 -Ф) 1 cv сѵ1ф + сѵ2 (1-ф) ’ = c2T2, {c2, p2} = const, где cv1, cp1, cv2, cp2 = const - удельные теплоемкости при постоянном объеме и давлении для соответствующих газов; с2 - теплоемкость частиц; Tt - температура i-й фазы; у1 - показатель адиабаты смеси газов; ф = р11 / р1 - массовая доля первого компонента. Метод решения Метод решения основан на расщеплении уравнений (1) по физическим процессам [18]: + B[VdF]0 = H(q(0)), ^ ~q(0) +[VdG] = 0, (2) X v 7 X где x - шаг по времени; k - индекс временного слоя; (0), (1) - этапы расщепле- Влияние релаксационных процессов на фокусировку ударной волны в облаке газовзвеси 123 ния; [-]0 - оператор центральной разности; [-]^° - TVD-реконструкция потоков путем взвешенной линейной комбинации противопоточной и центральной аппроксимаций конвективных членов с ограничителями потоков [19]. На предварительном этапе используется адаптивная искусственная вязкость TVD-типа [20] как скалярная добавка к давлению газа [19]. Обозначив в (2) пространственный разностный оператор L (q), используем двухшаговый TVD-метод Рунге-Кутты: q(1) = q* +tL(q*), q*+' = 0.5(q* + q(1)) + 0.5tL(q(1)). (3) Разностная схема (3) с настраиваемыми диссипативными свойствами - CDP2 (Customizable Dissipative Properties) - имеет второй порядок точности по пространству и времени на гладких решениях [21]. Схема CDP2 является K-устойчивой [22], т.е. условия устойчивости не зависят от интенсивности межфазных взаимодействий и размеров сетки. Число Куранта для всех задач в настоящей работе принято CFL = 0.4 . Валидация метода Характерными чертами рассматриваемого явления являются различия плотности и скорости распространения звука в окружающей среде и в неоднородности, приводящие к преломлению скачка уплотнения, перестройке течения и фокусировки ударной волны. Для подтверждения вычислительных свойств схемы CDP2 рассмотрим широко применяемый тестовый пример взаимодействия ударной волны в воздухе с пузырем газа R22 [4]. Плоская ударная волна с числом Маха 1.22 распространяется в канале с поперечным размером 8.9 см, заполненный воздухом с показателем адиабаты yt = 1.4 плотностью р10 = 1.225 кг/м3. Через некоторое время ударная волна встречает цилиндрический пузырь диаметром 5 см газа R22 (показатель адиабаты у2 = 1.249, газовая постоянная R2 = 91 Дж/(кг-К), плотностью р20 = 3.863 кг/м3). Давление в обоих газах одинаковое - p10 = p20 =101325 Па. Задача решалась на равномерной сетке до оси симметрии с шагом 600 ячеек на радиус пузыря. Краевые условия: отражения - на оси симметрии и стенках; на входе - параметры за падающей ударной волной; выходные условия - экстраполяция параметров. Шлирен-изображения градиента плотности газа в последовательные моменты времени представлены на рис. 1. Момент времени отсчитывается от прихода падающей ударной волны на левый край пузыря. Численные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными [4]. На приведенных расчетных изображениях воспроизводятся тонкие детали ударно-волновой картины прохождения скачка уплотнения, его отражения от границы раздела сред, преломления, дифракции и фокусировки поперечных волн. Малая численная диссипация схемы позволяет выявить развитие неустойчивости Кельвина - Гельмгольца вдоль контактной границы. Сравнение с расчетами других авторов [23, 24] подтверждает работоспособность (малую численную вязкость, монотонность и точность) схемы CDP2 для данного класса задач. Рассмотрим также тестовую одномерную задачу фокусировки ударной волны в слое мелкодисперсной смеси: преломление ударной волны на границе раздела сред и отражения прошедшей в газовзвесь волны от стенки. В начальный момент Д.В. Садин, Б.В. Беляев, В.А. Давидчук 124 Рис. 1. Шлирен-изображения градиента плотности газа в последовательные моменты времени: a -111.2; b -202.2; c -249.2; d -307.2; e -401.2;f-472.2 |is Fig. 1. Schlieren-images of the gas density gradient at successive time instants: (a) 111.2, (b) 202.2, (c) 249.2, (d) 307.2, (e) 401.2, and f) 472.2 |is c времени ударная волна с числом Маха 3 движется слева направо по воздуху с давлением р0 = 101325 Па и температурой Т0 = 293 К. На расстоянии 0.4 м расположен неподвижный слой смеси воздуха при указанных параметрах со взвешенными сферическими частицами диаметром d = 0.1 мкм, плотностью р2 = 2650 кг/м3 и объемной долей а2 = 0.0015 . Начало координат x = 0 совпадает с левой границей слоя, а справа в точке x = 1 м находится стенка. Задача для ограниченного интервала времени t > 0 имеет точное предельное равновесное автомодельное решение [18], к которому сходится решение (1) при уменьшении диаметра частиц d ^ 0. На рис. 2 для трех характерных моментов времени приведены распределения плотности смеси, давления и скорости, отнесенные к соответствующим начальным величинам за ударной волной (pt, р1) и скорости звука в газе (а0) перед ней. Здесь пунктирные кривые - численные решения на сетке с шагом h = 1 мм, а сплошные - точные автомодельные решения (рис. 2, a-f). После взаимодействия падающей ударной волны с левой границей газовзвеси c реализуется распад разрыва с прошедшим в слой s1 и отраженным s2 скачками уплотнения (рис. 2, a-c). Точные значения давления и плотности в сжатом слое газовзвеси составляют Р(1) / Рі = 1 70269 и р(1) / р1 = 10.8511. После прохождения слоя смеси газа с частицами происходит отражение ударной волны от стенки s3 и ее движение в обратном направлении навстречу границы разрыва сред c (рис. 2, d-f). При этом существенно повышается давление р(3) / р1 = 18.2186 и плотность смеси p(3) /p1 = 72.2291. Автомодельные значения скоростей D1, D2,, D3 и Dc распространения разрывов s1, s2, s3 и с, рассчитанные по соотношениям из [18], приведены в табл. 1. Влияние релаксационных процессов на фокусировку ударной волны в облаке газовзвеси 125 р / pj a 4 0 u / a0 c 0.2 0.4 x/l 1.00 P /Pj 1.00 x/l :/ a0 f x/l x/l Рис. 2. Распределения относительных значений плотности смеси, давления и скорости в последовательные моменты времени: (a-c) - 1; (d-f) - 2.18; (g-) - 2.5 мкс. Пунктирные кривые - расчет, а сплошные - точные автомодельные решения (a-), расчет на измельченной сетке (g- ) Fig 2. Distributions of relative values of the mixture density, pressure, and velocity at successive time instants: (a-c) 1, (d-f) 2.18, and (g-i) 2.5 ps. The dashed lines are the calculated results; the solid lines are the exact self-similar solutions (a-), calculations on a refined grid (g-) Т аблица 1 Автомодельные значения скоростей распространения разрывов, м/с D, А D3 Dc 601.559 51.5927 - 95.4303 539.793 При взаимодействии отраженной от стенки ударной волны с контактной границей c возникает очередной распад разрыва со скачком уплотнения ѵ4 и волной разрежения г. На рис. 2, g-i показаны профили параметров течения в поздний момент времени после ряда отражений волны разрежения от стенки и контактного Д.В. Садин, Б.В. Беляев, В.А. Давидчук 126 разрыва. Ввиду отсутствия автомодельного решения для этого момента времени для сравнения выбран расчет на измельченной сетке h = 0.5 мм (рис. 2, g-i: сплошные кривые). Численные результаты хорошо согласуются с точными решениями. Схема CDP2 демонстрирует возможности при разрешении деталей преломления ударной волны, ее фокусировки с возникновением пиковых профилей распределения параметров. Результаты расчета Исследуется двумерная задача распространения плоской ударной волны с числом Маха 3 в воздухе и ее взаимодействия с цилиндрической областью газовзвеси радиусом r = 1 м [16]. Начальные условия соответствуют приведенной выше одномерной тестовой задаче. Исходное положение ударной волны, отсчитываемое от левой границы облака газовзвеси, х0 = -1 м. Расчеты выполнены на равномерной сетке с шагом h = 1/600 м. Граничные условия заданы на оси симметрии -отражения; слева (входные) - параметры за падающей ударной волной; выходные условия - экстраполяция параметров. На рис. 3 приведены шлирен-изображения градиента плотности смеси в характерные моменты времени для различных размеров частиц от 0.1, 10, 50, 100 мкм. Пунктирной линией показано начальное положение границы газовзвеси. При взаимодействии исходного скачка уплотнения s0 с границей облака газовзвеси с0 возникает распад разрыва с прошедшей sb отраженной s2 ударными волнами и комбинированным разрывом (скачком пористости) c между ними. Течение для достаточно мелких частиц d = 0.1 мкм является практически равновесным по скоростям и температурам фаз (рис. 3, a и b). Скорость звука и ударной волны в смеси меньше, чем в окружающем воздухе s0. Это приводит к формированию известной ударно-волновой структуры (двойное преломление фон Неймана) с тройной точкой tr и системой сопряженных волн s0-s\\- s3- s4. Фронт огибающей волны s0 обгоняет скачок уплотнения внутри облака . Поперечные волны и тройная точка движутся к оси симметрии и в некоторый момент времени происходит отражение от оси - фокусировка. При этом может значительно повышаться давление газа и плотность смеси. Вследствие несовпадения градиентов давления и плотности развивается неустойчивость Рихтмайера - Мешкова и вихреобразование v (рис. 3, a и b), которое в свою очередь приводит к энтропийным (малым) возмущениям в окружающем газе. С увеличением размеров частиц зоны релаксации за проходящей в облаке газовзвеси ударной волной и вторичными волнами становятся конечными. При этом для достаточно малых частиц d < 10 мкм ударная волна вырождается в волну сжатия с фронтом малой интенсивности, а тройная точка tr размывается до некоторой области сопряжения волн сжатия (рис. 3, c и d). При возрастании диаметра частиц скорость и интенсивность скачка s1 уменьшается, но остается конечной (рис. 3, e и f). При d < 50 мкм фронт прошедшей sj ударной волны отстает от поперечного ударного разрыва s3 и точки сопряжения i, поэтому фокусировка реализуется внутри облака газовзвеси в окрестности ее границы (рис. 3, a-f). Напротив, для крупных частиц d = 100 мкм скачок s3 приходит на границу облака на оси симметрии раньше, чем огибающая s0, поперечная s3 волна и точка их сопряжения i (рис. 3, g и h). При этом режим фокусировки меняется с внутреннего на внешний. Влияние релаксационных процессов на фокусировку ударной волны в облаке газовзвеси 127 Рис. 3. Шлирен-изображения градиента плотности смеси в характерные моменты времени: левая колонка - 3.8; справа -4.1 мс. Размеры частиц: a, b -0.1; c, d - 10; e, f -50; g, h - 100 мкм. Пунктирной линией показано начальное положение границы газовзвеси Fig 3. Schlieren-images of the mixture density gradient at characteristic time instants: left column corresponds to 3.8 |is.; right column, 4.1 |is. Size of particles: (a),(b) 0.1, (c),(d) 10, (e),(f 50, and (g),(h) 100 |im. A dashed line indicates an initial position of the gas suspension boundary Для подтверждения качественных закономерностей фокусировки ударной волны в облаке газовзвеси проведены расчеты продольной относительной координаты Xf и безразмерные давления pfх и pfr фокусировки, отнесенные соответственно к давлению за исходным скачком уплотнения px и давлению при прямом отражении ударной волны от стенки pr (тестовая одномерная задача фокусировки, приведенная выше). Параметры фокусировки ударной волны рассчиты- Д.В. Садин, Б.В. Беляев, В.А. Давидчук 128 вались следующим образом. На каждом временном шаге определялось наибольшее давление газа и его координата на оси симметрии. Затем из полученных дискретных значений рассчитывалось максимальное значение давления и соответствующая ему координата фокусировки: !) Pmax = max p, Xmax = argmax (p); Vx Vx 2) Pf = nvax Pmax , tmax = argnjax (Pmax ) , Xf =(Xmax(tmax) - XC ) / r ■ Vt Vt Здесь xc - координата центра цилиндрического облака газовзвеси. C увеличением размеров частиц точка фокусировки смещается к правой границе облака газовзвеси, а при d = 100 мкм находится за его пределами (внешний режим фокусировки). При этом давление фокусировки уменьшается. Максимальное его значение превышает более чем в 8 раз давление за фронтом падающей ударной волны в окружающем воздухе и составляет менее 50 % от давления прямого отражения скачка уплотнения в газовзвеси от стенки. Результаты расчетов сведены в табл. 2. Т аблица 2 Безразмерные параметры фокусировки ударной волны d = 0.1 мкм d = 10 мкм d = 50 мкм d = 100 мкм xf 0.913 0.955 0.960 1.33 pn 8.51 7.00 2.63 2.53 _f_ 0.467 0.385 0.144 0.139 Выводы В результате численного моделирования изучены особенности взаимодействия плоской ударной волны с цилиндрическим облаком газовзвеси с учетом релаксационных процессов. Установлено, что размеры дисперсных частиц оказывают существенное влияние на преломление скачка уплотнения, фокусировку поперечных ударных волн и развитие неустойчивости на границе раздела сред. Увеличение диаметров частиц при одинаковой их начальной концентрации приводит к качественным и количественным изменениям: уменьшению интенсивности фокусировки и перестройки ударно-волновой конфигурации с внутреннего на внешний режим фокусировки.

Скачать электронную версию публикации