Algorithmization of solving dynamic edge problems of the theory of flexible rectangular plates.pdf Динамический расчёт гибких пластин используется при проектировании корпусов судов, самолетов, ракет и других технических объектов, которые наряду с достаточной прочностью должны иметь наименьший вес, достигающийся путем применения облегченных пластин и снижения запаса прочности. В данной работе на основе метода конечных разностей разрабатывается вычислительной алгоритм решения динамических краевых задач теории гибких пластин. В связи с этим методы динамического расчёта пластин как в классической линейной постановке, так и в геометрической нелинейной постановке задачи постоянно усовершенствуются. В настоящей работе рассматриваются следующие вопросы: 1. Построение единой вычислительной схемы решения краевых задач динамического расчёта гибких прямоугольных пластин с использованием нелинейной теории Лява. 2. Разработка автоматизированной системы динамического расчета гибких пластин. 3. Апробация построенной автоматизированной системы. 4. Использование напряженно-деформированного состояния гибких пластин. Проблема создания автоматизированной системы решение задач теории упругости и пластичности впервые была поставлена в монографии В.К. Кабулова [1], где сформулированы основные задачи алгоритмизация и указаны пути их машинного решения. Задача алгоритмизации решается в четыре этапа. На первом в зависимости от геометрических свойств объекта и физических свойств материала выбирается расчётная схема конструкции. Второй этап связан с выводом исходных дифференциальных уравнений и соответствующих им граничных условий. Выбор вычислительного алгоритма и численное решение полученных уравнений составляет третий этап исследований. Четвертый этап завершается анализом полученных численных результатов, описывающих напряженно-деформированное состояние рассматриваемой конструкций. А. Юлдашев, Ш. Т. Пирматов 144 При этом построение вычислительного алгоритма для численного решения сформулированных краевых задач представляет собой основной этап алгоритмизации. В соответствии с проведенным анализом проблем, возникающих при автоматизации расчета тонкостенных элементов конструкций машиностроения, целесообразно остановиться на нелинейной динамической расчетной схеме гибкой однородной изотропной линейно-упругой оболочки произвольной формы, при описании движения которой учитываются как влияние сдвигов, так и инерции вращения. Такая модель даст возможность расчета в рамках единой достаточно гибкой и быстродействующей схемы широкого класса динамических процессов, происходящих в разнообразных по форме и не слишком сильно ограниченных по толщине пластинках и оболочках, которые составляют заметную часть элементов конструкций. Различные варианты динамических дифференциальных уравнений движения пластин достаточно хорошо разработаны и апробированы. Очевидно, что при создании системы автоматизированного расчёта не имеет особого смысла построение отдельных алгоритмов для расчёта плоских пластин. В настоящей работе рассматриваются уравнения движения гибких прямоугольных пластин. Уравнения приводятся к удобной для вычислений безразмерной форме. Описываются конечно-разностные схемы, используемые для преобразования уравнений движения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, по схеме Рунге-Кутты. 1. Уравнения движения прямоугольных пластин Уравнения движения без учета влияния сдвигов и инерции вращения в геометрически нелинейной постановке в форме Лава [3, 10, 11, 12] имеют вид dT dS ^ д2W -г д2W , ди дх ду ^ дх2 дхду Р дТ2 (1) dS дТ2 - д2W d2W , дѵ дх ду 1 дхду 2 ду2 д!2 - дЕ _ , дЕ + Т2^ + q =phдт- . дй+дQl+Т дЕ+2S дх ду дх2 дх ду Здесь Т1 = 2 D(_11 + H'_22), T2 = 2 D(_11 + H'_22), h h s = S = -S2 = Deu, Q1 = D дх v2 w, h2 дх - d 2 Q2 = D - V2 w, ду ди 1 f dw у дх 2 \\дх ) ди ди dw dw _ = дѵ 1 (dw Л ду дх дх ду’ 22 ду 2 \\дх) Алгоритмизация решения динамических краевых задач 145 Eh2 D =--цилиндрическая жесткость; E - модуль упругости; ц - коэффи- 12(1 -ц2) циент Пуассона; р - плотность материала; h - толщина пластин; q - внешняя нагрузка. Подставляя выражения для T1, T2, S, Q, Q2 в (1), получаем уравнения движения в перемещениях d2u д 2u д 2u ph d2 u --- = a -- + a2 -- + a3- D dt2 1 сХ2 2 -у2 3 dxdy + a4 д 2 w dx 2 - + a5 д 2 w - + a6 д 2 w ph д2 v D di =2 = b1 д 2v дХ' д2 v ■2 + b2-2 + b3 -у2 дХ ду ду U ~ " U д2 w т + Ьл--+ be--+ b. дХ ду 4 дХ2 5 дХ ду 6 & д2 v д 2 w д 2 w (2) ph д2 w _ d4w _ d4v _ d4w _ d2 w _ d2 w _ d2 w _ --т- = С-- + c2 ---- + c3-- + c4 -- + c5--+ c6 -- + qq0, D ді2 1 дХ4 2 дХ2дУ2 ду4 4 дХ2 5 дхду 6 ду2 0 где _ 12 _ 6(1 -ц) _ 6(1 + ц) a1 = -г, a2 =---, a3 =---, .2 ’ 2 .2 ’ 3 /2 h2 _ 12 dw д 2_ a4 = ----1--V2w, h2 дХ дХ _ 6(1 - ц) dw д^2_ a5 = - +-V2 w, h2 ду ду _ = 6(1 -ц) -w - = 6(1 -ц) г = 12 a6 = Г"? Гр, -1 = Гг , b2 = 7Тh2 ду h2 h2 b3 = 6(1 + ц) h2 b4 = 6(1 -ц) b5 = 6(1+ц) ^ +-- v 2 w 4 , 2 ЯТТ ’ 5 ~ h2 -у ' h2 дХ дХ - 12 dw - 2- - , - _ _ , b6 = ----1--V2w, c =-1, c2 =-2, c3 =-1, 6 h2 -у -у dv 1 ( dw ду 2[-у _ 12 I du 1 ( dw c = h I-Х+2 ІйХ ^ +ц _ 12 (du dv dw dw c5 = - (1 -ц) I - + - +-h2 [ду дХ дХ ду du 1 ( dw дХ 2 [ -Х _ 12 [dv 1 (dw)2 c = h2 I -у + 2[ду j +ц qo = 12(1 -ц2) Eh3 q = q(д, у, г). Вводя следующие безразмерные величины: (3) Х у u v w b b lb - Х = -, у = -, u =- v = - w =-, y = - , о = -, і = \\\\ph-і a b h h h a h \\ D 146 в (2) получим д 2 w dt2 c4 = 12y28^ y А. Юлдашев, Ш. Т. Пирматов d 2u dt2 д 2v dt2 = b d 2u d 2u d2 v d 2 w - + a2 -- + a3 --+ a4 dx2 dx 2 dy 2 dxdy d2 v , d2 v + Ьз d 2u d 2 w dx 2 + b2 dy -+ b4 dxdy dx2 w d 4v d4 w d2 w + a. d 2 w dxdy + b5 d2 w + ь d2 w dxdy 6 dy2 Ci ----+ Co _ _ dx4 ^'2 '2 - + a, d 2 w 6 ' dy (4) d 2 w dx2 dy2 dy4 dx2 5 dxdy + P, где a, b - длина и ширина пластины. a1 = 12(у5)2, a2 = b(1 -ц)52, a3 = b(1 + ц)у52, a4 = 12y35 a5 = 6(1 + ц)у5 dw 1 d + dx 1252 dx dw 1 ( 2 d2 w d2 w ^ Y 2^ + -r dx2 dy2 JA d 2 dy 6(1 + ц)52 dy 2 d2 w d2 w Y 2~T + ~T dx2 dy JA a6 = 6(1 -^)Y8dw, bj = 6(1 -^)y§2, b2 = 1282, b3 = 6(1 + ^)(y8)2, dy b4 = 6(1 -|a)Y28^, bc = 6(1 + |a)Y28 dy b6 = 128 dw 1 d + dy 1282 dy dw dx 6(1 + ц)82 dx Y 1 d 2 d2w d2 w ^ Y 2^ + ^ dx2 dy JA ( 2 d2 w d2 w ^ 2+ dx2 dy2 JA du y (dw' dx 281 dx , dv y ( dw + C5 = 6(1 -M.)y8| Y- + du y (dw dx 281 dx c6 = 128 dv du y dw dw dx dy 8 dx dy _ I dv y ( dw Y I--+--1 - I + W [dy 28{dy) e = qq0, q = q(x,y,z), q0 = 12(1 Ѵ)я4 E 84. (5) Система уравнений (4) решается в области G = ПхТ (Q = {0 < x

Скачать электронную версию публикации