Pseudo-minimality and ruled surfaces.pdf Постановка задачи С конструированием, изготовлением и эксплуатацией параболических рефлекторов связаны (кроме прочего) следующие задачи. 1. Выкраивание сетеполотна (имеется в виду не только вырезание плоских листов сетеполотна и соединение их между собой, но и схема прикрепления сетеполотна к несущим конструкциям). Оптимизация выкраивания понимается как минимизация (интегральная) отклонения отношения метрических форм поверхностей, точечное соответствие которых и есть модель прикрепления сетеполотна к тыльной и фронтальной сетям. Эта конструкция последовательно строилась автором (совместно с А.В. Соломиной) в работах [1-3]. Псевдоминимальность и линейчатые поверхности 19 2. Моделирование формы сетеполотна, подверженного так называемому «матрасному эффекту», который сопровождает раскрытие зонтика: прогиб ткани внутрь купола. Решение этой задачи для изотропного сетеполотна, прикрепленного к соседним рёбрам осесимметричного рефлектора, предложено в [6]. В основу положены уравнения равновесия тонкой упругой оболочки. Работы автора 2016-2017 годов призваны распространить моделирование на ортотропные материалы, а также на области, границы которых могут быть заранее не указаны. Это привело к понятию «псевдоминимальной поверхности» - попросту поверхности с постоянным отношением главных кривизн. Это отношение выражается через экстремальные значения коэффициентов растяжения упругого материала в двух ортогональных направлениях (для ортотропного материала). Первое применение указанной конструкции (в ограниченном смысле) приведено в работе [5], где, по примеру [6], давалась оценка формы сетеполотна лепестка осесимметричного рефлектора, но для ортотропного материала, и путем построения поверхности, для которой условие псевдоминимальности выполнено вдоль линии симметрии (осевой линии) точно, а на лепестке в целом приближённо. Отметим, что алгоритм конечно-элементного моделирования псевдоминимальной поверхности разработан в [7]. Пусть сетеполотно ортотропно и коэффициент его растяжения в радиальном направлении равен коэффрад, а вдоль окружностей, ортогональным радиусам коэффокр . В статье [8] введен коэффициент ортотропности сетеполотна L J КОэффрад 12 t КОэффокр , ' В работе [9] определена псевдоминимальная поверхность веса L как гладкая поверхность, главные кривизны которой k1 и к2 связаны (в случае упорядоченности) соотношением k1 + Lk2 = 0 при L = const. Если же нет оснований для упорядочения, то говорим об ослабленном условии псевдоминимальности в виде (k1 + Lk2)(Lk1 + k2 ) = 0. (1) Пусть gn, g12, g22 - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности 2 , а b11 ,b12 , b22 - коэффициенты второй квадратичной формы. Тогда ослабленное условие псевдоминимальности веса а запишется в виде [9] L(2b12 g12 - g11b22 - b11g 22 ) + (1 - L) (b11b22 - b12)(g11g 22 - g12) = °. Введем в рассмотрение безразмерный показатель псевдоминимальности с весом L, а именно g(M ѵ)= (2b12g12 - g11b22 - b11g22) (1 - L) (b12 - b11b22)(g11g 22 - g12) L Существенную роль будет играть выражение (2) f (u V )= (2Ь12 g12 - g11b22 - b11 g22 ) (b12 - b11b22)(g11g22 - g12) М.С. Бухтяк 20 Ясно, что поверхность псевдоминимальна (с указанным весом), если 5( u, v ) = 0. (3) В предлагаемой работе решаются два вопроса. Первый: для каких линейчатых поверхностей выполнено условие (3). Второй: для каких линейчатых поверхностей линии уровня функции (2) внутренним образом связаны с данной поверхностью. Этот вопрос подлежит уточнению, что и будет проделано. Интерес к линейчатым поверхностям обусловлен (кроме прочего) тем вниманием, которое уделяется им в строительстве и архитектуре. Вполне адекватное суждение по этому вопросу можно получить благодаря капитальной монографии трёх авторитетных специалистов [10]. Стоит отметить, что детальное описание частных классов поверхностей сопровождается основательными ссылками на источники сведений о применениях в строительстве и механике. В диссертации З.В. Беляевой [11] детально прослеживаются особенности применения линейчатых поверхностей различных классов (торсы, цилиндроиды, коноиды и т. д.). О глубине проникновения линейчатой геометрии в архитектуру (хотя и косвенным образом) свидетельствует [12]: основания классификации линейчатых поверхностей, проведенной в этой статье, не слишком отвечают теоретической геометрии, но, очевидно, отлично служат тем, кто проектирует и конструирует. Свойства линейчатых поверхностей, делающие эти поверхности привлекательными для строителя, обоснованы, например, в статье [13]. Автор полагает, что характеризация ортотропных свойств упругого материала может иметь значение для конструкций, использующих линейчатые поверхности. В частности, можно поставить вопрос о реализации (в той или иной мере) свойства поверхности, сводимое к отношению главных кривизн, то есть свойство, опирающееся на поведение левой части уравнения (1). Вполне очевидно, что развёртывающаяся поверхность псевдоминимальна в тривиальном смысле с весом 0. Не вполне очевидно, но выяснится, что других псевдоминимальных поверхностей (если не считать прямой геликоид) среди линейчатых нет. Однако можно поставить другой вопрос: существуют ли линейчатые поверхности, для которых уравнение (1) выполнено вдоль линий некоторого семейства, естественным образом связанного с поверхностью, а если да, то каковы эти поверхности. Канонический репер регулюса Одномерный объект линейчатой геометрии трёхмерного пространства - регу-люс - есть однопараметрическое семейство прямых. В локальной дифференциальной геометрии его изучают (как правило) методом подвижного репера, помещая вершину репера на прямую и направляя вектор репера параллельно прямой. При этом прямая приобретает направление этого вектора. В итоге оказывается, что регулюс - однопараметрическое семейство лучей. Двумерное многообразие точек, расположенных на лучах регулюса есть линейчатая поверхность. Регулюс называется носителем этой линейчатой поверхности. Мы будем использовать методы локальной дифференциальной геометрии. Соответственно слово «прямая» может означать как прямую, так и некоторый отрезок прямой; аналогично, «параболоид» может обозначать произвольный (двумерный) кусок параболоида, и т. п. Все функции предполагаются принадлежащими тому классу гладкости, который достаточен для корректности суждений об уравнениях, связывающих эти функции. Далее, равенство F = 0 для функции F означает, что F принимает значение 0 для всех допустимых значений своих аргу- Псевдоминимальность и линейчатые поверхности 21 ментов. Отметим, что цилиндры для нашего анализа не представляют интереса по очевидной причине, отмеченной выше. Для нецилиндрического регулюса в трехмерном евклидовом пространстве ещё в 1894 году построен канонический репер, описание которого приведем по [14]. Текущий луч регулюса снабжен параллельным ему единичным вектором е3. Элементы репера - функции параметра s (длина дуги сферической индикатрисы вектора е3). Вершина репера помещена в горловую точку луча. Вектор e1 параллелен касательной к упомянутой сферической индикатрисе и ортогонален касательной плоскости в горловой точке (в общем случае). Вектор е2 ортогонален асимптотической плоскости луча. Деривационные формулы репера имеют вид dr ds de1 ds de2 ds -p(s)e2 - a(s)e3, -b( s)e2 + e3, b(s)ej, ^ = -ej. ds Геометрическая характеристика инвариантов приведена в [14]. Имея в виду линейчатую поверхность, носителем которой является наш регулюс, запишем радиус-вектор текущей точки R(s, v) = r(s) + ve3 (s). Метрический тензор (gij) v2 + p2 + a2 -a -a 1 Матрица второй квадратичной формы 1 Vv2 + p2 V dp 2 - ap - v-^- + bv ds p p 0, Запишем (2) в виде где f (s, v) m(s, v)2 7(7+7), (4) m(s, v) = pa + p 2b + bv2 dp - v- ds (5) Ради удобства функцию f (s, v) будем называть основной функцией. Случай независимости основной функции от s Геометрический смысл параметра v вполне очевиден - расстояние, отмеренное на луче в направлении вектора e3 (координата текущей точки луча в подвижном репере). Линия v = const состоит из точек, равноудаленных (в указанном смысле) от горловой линии. Потребуем, чтобы f (s, v) была постоянной вдоль линии v = const, то есть зависела от координаты v точки на луче и не зависела от М.С. Бухтяк 22 выбора луча. Это приводит к уравнению = 0. (6) „ . 3 dm 2 dm „ 2 dp 2 dp -2 m \\- p--pv--+ 2mp - + mv - ds ds ds ds Если m = 0, то равенство p(s)a(s) + p(s)2b(s) + b(s)v2 -v^ = 0 ds должно выполняться тождественно относительно v. Тогда либо p(s) = const Ф 0 , a(s) = 0 , b(s) = 0, (7) либо p(s) = 0 , b(s) = 0 . (8) Согласно [14], в первом случае линейчатая поверхность - прямой геликоид (в локальном смысле), а во втором - плоскость (и тоже в локальном смысле). Внеся (5) в (6) и обращая в нуль второй множитель, получаем уравнение K0 + K1v + K2v2 + K3v3 + K4v4 = 0 , где K0 =-(p (s ))3 VV d-a (s ^ p(s)-a (s) d-p(s)+(d~b (s )l(p (s ))2 K1 =(p(s))2{{drp(s)lp(s)-2fd-p(s^ , K2 =-(p(s ))2 V-b (s) d-p(s)+2{ Tb (s )'l p(s)+dra (s ^, V ds V ds ) ds ) K3 = ' d2 . ds2 p(s) p(s)-( -p(s) ds K4 = -V db (s ^ p(s)+b (s) 7~p(s). V ds ) ds Обращая в нуль коэффициент K3, находим, что p(s) = c2 exp(c1s), c1, c2 = const. (9) Если c2 = 0, то и все Kt становятся нулями. Регулюс в этом случае - торс [14]. Среди главных кривизн хотя бы одна равна нулю, и условие псевдоминимальности выполнено тривиальным образом. Исключаем этот случай из рассмотрения, полагая с2 Ф 0 . (10) Заметим, что вследствие (9) имеем K1 = Cj2 с24 exp(cjs)4 . Обращение K1 в нуль с учетом (10) приводит к тому, что p(s) = const Ф 0 , Псевдоминимальность и линейчатые поверхности 23 и обращение в нуль прочих величин Kt приведёт к тому, что a( 5) = const. b(s) = const. Итак, если основная функция косого регулюса не зависит от s, то это - регу-люс с постоянными метрическими инвариантами. Данный класс регулюсов исчерпывающим образом исследован в [14]. Там же приведены вектор-функции, задающие указанные регулюсы. Именно, радиус-вектор горловой линии имеет вид r = (bp - a) cos(Bs) (bp - a) sin(Bs) (p + ab) s B2 ’ B2 ’ B b = V 1+b2, sin(Bs) cos(Bs) b 1 B ’ B ’ B)' где а направляющий вектор луча e = Для такого регулюса вместо основной функции (4) следует говорить о функции ф(Ѵ ) (ap + bp2 + bv2 ) P2 (p2 + v2 ) В случае псевдоминимальной поверхности равенство (3) выполнено при подходящей константе L . В нашем же случае аналогичное равенство обеспечивается заданием L(v), удовлетворяющей равенству ф(v) . (L(v) -1)2 = (ap + bp2 + bv2 ) L(v) p2 (p2 + v2 ) Отметим, что линейчатые поверхности, носители которых - регулюсы с постоянными инвариантами, представлены в [10], где на с. 75 приведен косой геликоид R(r,v) = {r cosv, r sinv, cv + kr}. Укажем для этого регулюса метрические инварианты a = -ck, b = k c -7, p =-7. 1 + k2 1 + k2 На рис. 1 - косой геликоид при c = 1, k = 1. Далее, на стр. 78 дано описание псевдо-развертывающегося геликоида R(u, v) = {ccosv - u sinv, csinv + u cosv, kv}. Он изображен на рис. 2, а его метрические инварианты таковы: a = -c, b = 0, p = k . В классе регулюсов с постоянными метрическими инвариантами содержатся, в частности, прямые геликоиды (при bp - a = 0, p + ab Ф 0) и однополостные гиперболоиды (при bp - a Ф 0, p + ab = 0 )[14]. Отметим, что торсы, которые здесь исключены из анализа по указанной причине, определенно важны для задач строительства, о чем можно судить по работам [15, 16, 10]. Рис. 1. Косой геликоид Fig. 1. Skew helicoid Случай постоянства основной функции вдоль луча Потребуем, чтобы f (s, v) была постоянной вдоль луча регулюса. Тогда, как видно из (4) и (5), либо m(s, v) = 0 , либо 24 М.С. Бухтяк Рис. 2. Псевдо-развертывающийся геликоид. Fig. 2. Pseudo-developable helicoid bv3 + (bp2 - ap) v - -p2 = 0 . v ! ds И в том, и в другом случае должно выполняться одно из условий {b = 0, p = 0}, { p = const, p Ф 0, a = b = 0}, и мы находимся в той же ситуации, что и для (7), (8). Именно, согласно [14], в первом случае линейчатая поверхность - плоскость (в локальном смысле), а во втором - прямой геликоид (и тоже в локальном смысле). Заключение Автор полагает, что предложенная работа (наряду с предшествующими) служит прояснению понятия псевдоминимальности применительно к линейчатым поверхностям, и надеется на внимание к этому вопросу со стороны заинтересованных лиц.

Скачать электронную версию публикации