Интегральное представление решений одного обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения Левнера - Куфарева | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/3

Интегральное представление решений одного обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения Левнера - Куфарева

Рассматривается вопрос о построении интегрального представления решений обыкновенного специального дифференциального уравнения и дифференциального уравнения в частных производных, являющегося вторым дифференциальным уравнением Левнера - Куфарева в частном случае. Вводится новый метод исследования, в основе которого - установление уравнения связи между составляющими компонентами дифференциальных уравнений и введенными аналитическими функциями. Дается интегральное представление решений рассматриваемых дифференциальных уравнений, являющееся альтернативой построения решений в виде различных рядов.

Integral representation of solutions of an ordinary differential equation and the Loewner-Kufarev equation.pdf Рассмотрен метод интегрального представления решений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, в котором правая часть является многочленом специального вида, и решений дифференциальных уравнений в частных производных, в которых правая часть является многочленом второго порядка. Статья состоит из двух разделов. В первом излагается суть метода исследования, основанного на введении произвольных аналитических функций и указании связи между введенными функциями и составляющими компонентами (коэффициентами) дифференциального уравнения. Реализация уравнения связи состоит в указании выражения введенных функций в терминах коэффициентов исходного дифференциального уравнения. Приводятся разные варианты реализации уравнения связи, которые могут быть использованы в различных приложениях. Полученные результаты используются во втором разделе, посвященном рассмотрению дифференциального уравнения Левнера - Куфарева с квадратичной правой частью, в настоящее время мало исследованного [1-8]. Заметим, что класс функций Базилевича и различные его модификации могут быть получены из второго уравнения Левнера - Куфарева с линейной правой частью, в то время, как в данной статье рассматривается уравнение с квадратичной частью, что является существенным обобщением. Метод интегрального представления решений дифференциальных уравнений, изложенный в статье, является альтернативой построения решений в виде различных рядов. Интегральное представление решений одного обыкновенного дифференциального уравнения 29 1. Исследование обыкновенного дифференциального уравнения вида W + a0 wn = 0 , n e N 1.1. Общее уравнение связи. Общая теорема Пусть a0 = a0 (z), a1 = a1 (z) - аналитические в области D с С функции. Запишем дифференциальное уравнение w' + a0 + a1wn = 0, n e N, (1.1) в виде kw' + a0-Ѳ + (1 - k)w' + alwn +Ѳ = 0, (1.2) где k = k(z), Ѳ = Ѳ(z) - некоторые аналитические в области D с С функции. Для простоты изложения в дальнейшем будем опускать аргумент z. Заметим, что в результате приведения подобных слагаемых в уравнении (1.2) получим выражение (1.1). Введем обозначения ь1 =jkdz, b2=j ak0 dz. (1.3) Приравняем нулю первые три слагаемых в (1.2): kw' + a0 - Ѳ = 0 , (1.4) а также последние три: (1 -k)w' + alwn + Ѳ = 0 . (1.5) Из (1.4) следует , , Ѳ a0 1 k k (1.6) а также, с учетом (1.3), w = wj = bj - b2 + Cj, c = const. (1.7) Из (1.5) получаем , , 0 + a1wn w = w2 =--. 2 1 - k (1.8) Считая, что w{ = w2, приравняем правые части в (1.6) и в (1.8): Ѳ a0 Q + alw’n k k 1 - k Преобразуем последнее выражение (Ѳ - a0 )(1 -k) = -k0 - kalw2L . Откуда следует Ѳ- a0 + a0 k = -kalw'n или w n 2 a0 (1 - k) - Ѳ ka1 1 a1 -Ѳ + a kk О.В. Задорожная, В.К. Кочетков 30 а также, с учетом (1.3), W2 = - (-b1+ b2 - a0 ) a и W2 =(^01 (-b1+ b2- a0 ) . (1.9) Считая, что Wi в (1.7) равно W2 в (1.9), имеем b1- b2 + c = ^~ (-b1 + b2- ao )j" или -b| + b2 - a0 = a1 (b1 - b2 + c1 )n. (1.10) Уравнение (1.10) назовем уравнением связи между коэффициентами a0, a1 дифференциального уравнения (1.1) и введенными функциями Ѳ и к. Объединяя вышеизложенное, сформируем утверждение. Утверждение 1 (общее). Пусть функции a0 (z), a1 (z), Ѳ(z), к(z): 1) являются аналитическими в области D с С функциями; 2) удовлетворяют уравнению связи (1.10) в D с С -b1 + b2 - a0 = a1 ( - b2 + С1 )П . Тогда функция w( z) в (1.7) . . г Ѳ c a0 w(z) = I - dz - I - dz + c1, c1 = const, J к J к удовлетворяет дифференциальному уравнению (1.1): w' + a0 + a1wn = 0, n e N . 1.2. Реализация уравнения связи (1.10) при n = 2, c = 0 путем ввода выражения a0 - a0 Уравнение связи (1.10) при n = 2, c1 = 0 перепишем в виде -b1 + b2 - a0 = a1 (b12 - 2b1b2 + b2 ) + a0 - a0 . (1.11) Применительно к уравнению (1.11) введем систему соотношений a0 = 2a1 • b1 • b2 ; (1.12) -b1 = a0 + a1b12 ; (1.13) b2 = -a0 + a1b^ . (1.14) Из (1.12) следует b2 = a0 . 2ab (1.15) Интегральное представление решений одного обыкновенного дифференциального уравнения 31 Подставим (1.15) в (1.14): 1 a0 Ь{ 2b1 2a1 bf = -ao + a. 2 a, (1.16) Заменяя в (1.16) выражение -b{ выражением в правой части (1.13), перепишем выражение в (1.16) в виде 1 -2b~ )( ao + a1b12 ) 2a1b12 = -a0 + a, 2 a, 1 1J. Приведем подобные и умножим на 2bj2 обе части последнего выражения: ^=o. 2a1 3aob12+f ao іbi+ Обозначив A = '2 6 3 4o I 6ao (1.17) укажем корни последнего квадратного уравнения -f^l WA ь+=- 6ao (1.18) (1.19) b1 =■ -I | -4A a1 6ao Из (1.18), (1.19) и (1.15) имеем b+=_aL °2 ~ 2a1b1+ (12o) b2 = a o 2a1b1 (1.21) Утверждение 2. Пусть функции b1+, b+ определяются по формулам (1.18), (1.2o), а функции b- , b- - по формулам (1.19), (1.21) при условии (1.16), (1.11). Тогда функции w+ = b+ - b+ и w = b1 - b2 удовлетворяют уравнению (1.1). О.В. Задорожная, В.К. Кочетков 32 1.3. Реализация уравнения связи (1.10) при n = 2, Cj = 0 путем ввода выражения g (z )-g (z) Введением выражения g(z) - g(z) уравнение связи (1.10) перепишется в виде -bj + Ь'2- а0 = а (b1 - 2*1*2 + й22) + g(z) - g(z) = 0 . (1.22) Применительно к уравнению (1.22) введём систему соотношений а0 = 2а1Ь1Ь2 ; (1.23) -Ь[= g + ^Ь2; (1.24) Ь2 =- g + abl. (1.25) Из (1.23) следует Ь 2 а0 2а1Ь1 (1.26) Подставим (1.26) в (1.25): I а0 I J_ 2а1) Ь1 Заменяя в (1.27) выражение шем выражение в (1.27) в виде а0 Ь1 2а1 Ь2 g + а12а1 (1.27) -Ь[ выражением в правой части (1.24), перепи- / (іЛ _L + а0(g + а1Ь12) = + fl± = 0 12а1) Ь 2аД2 4а1 Ь12 Умножим обе части последнего выражения на 2Ь12 и приведем подобные: а + 2g)Ь21 +|-° I Ь --2^(а0 - 2g) = 0 Обозначив - = Р(z), B = р'2 + 2р^2 -4g2), укажем корни последнего квадратного уравнения -р+4^ Ь+ = 1 2(а0 + 2 g) - р '-4в 2(а0 + 2 g) Ь1- = Из (1.29), (1.30) и (1.26) имеем Ь+ = -Р- ; 2Ь,+ Ь- = 2Ь1+ (1.28) (1.29) (1.30) (1.31) (1.32) Интегральное представление решений одного обыкновенного дифференциального уравнения 33 Утверждение 3 (основное). Пусть g(z) - произвольная аналитическая в D с С функция. Тогда при обозначениях (1.28 - 1.32) функции W+ = bj+ - Ь;+ (1.33) и м>- = Ь1-- Ь- (1.34) удовлетворяют уравнению (1.1) при n = 2, c1 = 0 . 1.4. Реализация условий связи (уравнения связи) при n = 2, c Ф 0 Напомним, что реализация уравнения связи состоит в выражении дополнительных функций Ѳ, к через коэффициенты а0, а1 или в указании связи (зависимости) коэффициентов а0 , а1 между собой. При n = 2, c Ф 0 выражение в (1.10) перепишется в виде (с добавлением выражения а0 - а0) -Ь[ + Ь'2 - а0 = а1(Ь1 + Ь2 + с1 - 2Ь1 ■ b2 + 2Ь1 ■ с1 - 2b2 q) + а0 - а0 = 0 . (1.35) В случае (1.35) положим -а0 - с2а1 = -а1 ■ 2Ь1 ■ Ь2 ; (1.36) -Ь[ = а1Ь12 + 2афс + а0 ; (1.37) Из (1.36) следует Ь 2 Ь2 = аф^ - 2а1Ь2с1 - а0 . а0 + с12а1 2а1Ь1 а Ь1 где а = а0 + с2 а1 2а1 (1.38) (1.39) Пусть функции Ь1, Ь2 в (1.3) удовлетворяют уравнениям (1.37) и (1.38) соответственно. Подставим (1.39) в (1.38) и1 Ut U, 0 • - а -- = а,--2а, - с - а 1 ь2 1 ь2 1Ь 1 В последнем уравнении производную -Ь1' заменим выражением в правой части (1.37): а' а . ,2~, . а2 а --1--(а. ■ Ь + 2аас, + а0) = а.--2а, - с - а0 . h и2У 1 1 1 1 1 1 J.2 1 а 1 0 Обе части последнего выражения умножим на b2 и приведем подобные Ь12(а1а + а0) + Ь1(а' + 4а1ас1) -а1а2 +аа0 = 0. (1.40) 34 О.В. Задорожная, В.К. Кочетков 2 В9 Коэффициент при b1 обозначим через - и преобразуем его: 2 Р2 3а0 + ас ,Р2 = 3а0 + ajCj2 . Коэффициент при b1 обозначим через - и преобразуем его: 2 Рі > л 1 - = а + 4а ас1 = - 2 1 1 2 ^ ~ ~ ~2 ^ + 4с1(а0 + а1с-2) V а1 J I 2 Л Рі = V U1 J + 4с1(ао + а^2). 0 УЧ ПТГЛТГТТ! Ж ТГЛЛЛП в0 Коэффициент при Щ обозначим через и преобразуем его: р^ = 1 (а0 + а1с2 )(а0 - а1с2 ) = 1 а02 - gj с4 2 = 2 2а = ; ’ . 2 а, Откуда имеем в0 =- 2 2 4 а - а с 2а2 Умножая на 2 обе части выражения в (1.40), с учетом (1.41), (1.42) перепишем выражение в (1.40) в виде Р2 'b12 +P1b1 +р0 = °. Обозначив в = Р12-4в2-в0, укажем корни последнего квадратного уравнения ь+ = -р1 +4в -р1 -4в 2в2 b1 =■ 2в2 (1.41) (1.42) (1.43) и (1.43), (1.44) (1.45) С учетом (1.35) и (1.45) укажем b+ и b2 : , + _ а а b2 = , + , b2 = b+ b- 11 Утверждение 4. При обозначениях (1.35) - (1.46), функции w+ = b+ - b+ и w = b1 - b2 удовлетворяют дифференциальному уравнению (1.1) при n = 2, с1 ф 0 . Интегральное представление решений одного обыкновенного дифференциального уравнения 35 2. Второе дифференциальное уравнение в частных производных Левнера - Куфарева с квадратичной правой частью Обозначим: С - класс регулярных и однолистных в E = {z: |z| < 1} функций p(z), отображающих E на область, расположенную в правой полуплоскости; С(T) - множество функций p(z, t), принадлежащих классу С при каждом фиксированном t е T = [0; +то) = {t: t > 0}. В геометрической теории функций комплексного переменного хорошо известны первое и второе дифференциальные уравнения Левнера - Куфарева, последнее из которых имеет вид ^ = p(z, t), p(z, t) е C(T). Ft В данном параграфе рассматривается второе дифференциальное уравнение Левнера - Куфарева в случае p( z, t) = p2 (z )t2 + pi (z )t + p0 (z), где pi (z) е C, i = 0,2, t > 0 . Решение F(z, t) дифференциального уравнения z_FL F p2 (z)t2 + pi( z)t + p0( z) (2.1) будем искать в виде F(z,t) a (z )t + b( z) c( z )t +1 (2.2) Дифференцируя функцию F(z,t) в (2.2) по z, получим F’„ = b2( z)t2 + b1( z )t + b0 (ct+1)2 где b2 = a’c - ac’; b1 = a' + b’c -bc'; b0 = b’. (2.3) (2.4) (2.5) Частная производная F't , с учетом (2.2), равна , a - bc Ft = 2 . (ct +1)2 Рассмотрим отношение вышеизложенных частных производных: zF[ zb2 2 zb zb0 -- t2 t + -, F’t m mm (2.6) где m = a - bc . (2.7) О.В. Задорожная, В.К. Кочетков 36 Обозначив через p2(z),px(z),p0(z) коэффициенты при t2,t1,t0 в (2.6), с по следующим преобразованием, получим систему уравнений (2.8) (2.9) (2.10) z (a' c - ac') = p2m ; z(a' + b'c - bc') = pm ; zb' = p0m . С помощью операции интегрирования разрешим уравнение (2.8) относительно a: 2 где • p2 m dz + c2 , с2 = const, 2 2 ’ 2 (2.11) (2.12) а уравнение (2.10) разрешим относительно b : b = u0, где ■p0 m dz + c0 , c0 = const. (2.13) (2.14) Подставляя (2.11) - (2.14) в (2.9), перепишем его в виде z f c' (U2 - U0) + c f +101 ]]= pm . (2.15) zc z С учетом (2.11) - (2.14) выражение (2.7) перепишется в виде m = c(u2 - u0). Откуда следует m u2 - U0 = . c Используя (2.11) - (2.14), продифференцируем обе части в (2.16) (2.16) m \\ m -I = “У : c ) c где Y = p2 cp0 zc z Интегрируем последнее дифференциальное уравнение fy(z)dz с3 = const . Подставив (2.16) в (2.15), преобразуем его в виде уравнения Риккати сч El - £l c+El c2 = 0. Полагая найдем с = e(z)w , d = e'(z)w + e(z)w'. (2.17) (2.18) (2.19) Интегральное представление решений одного обыкновенного дифференциального уравнения 37 С учетом (2.19) имеем e'( z) w + e( z) w' + - --e( z)w +-e2 (z )w2 = 0 z z z (2.20) и w'+--■*- + w ( - -L)+ -. e( z )w~ = 0. ze(z) ^ e(z) z ) z С целью простоты исследования и приведения дифференциального уравнения (2.20) к виду дифференциального уравнения, рассмотренного в пункте 1.3 первого раздела, приравняем к нулю выражение при w e( z) Последующим его интегрированием, получим е'(z) - рі = 0 e(z) = c4 exp \\-dz с4 = const. (2.21) С учетом (2.21), выражение в (2.20) перепишется в виде дифференциального уравнения w' + a0 + axw2 = 0, где a0 = -2 , aL = - e(z), ze(z) z интегрирование которого рассмотрено в первом разделе в пункте 1.3. Определив w+ , w- , используя (2.21), по формуле (2.19) определим c+ , С , затем m+ , пГ находим по формуле (2.17). Последовательно определяем остальные составляющие a+ , a~, b+, b~ , F + , F~ . Развернутую запись вышеуказанных составляющих в статье не приводим в силу их громоздкости.

Ключевые слова

конформные отображения, однолистные функции, интегральные представления решений, дифференциальные уравнения

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Задорожная Ольга ВладимировнаКалмыцкий государственный университет им. Б.Б. Городовиковакандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и анализаovz_70@mail.ru
Кочетков Владимир КонстантиновичКалмыцкий государственный университет им. Б.Б. Городовиковакандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и анализаkvk1106@mail.ru
Всего: 2

Ссылки

Матвеев П.Н. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений: учебное пособие. СПб.: М.: Краснодар: Лань, 2008. 330 с.
Задорожная О.В., Кочетков В.К. Практический метод интегрального представления решений однородного дифференциального уравнения второго порядка // Инновационные исследования как локомотив развития современной науки: от теоретических парадигм к практике»: эл. сб. науч. ст. по матер. XX Междунар. научно-практич. конф. М.: НИЦ МИСИ, 2019. С. 23-28. URL: http://conference-nicmisi.ru/innovatsionnye-issledovaniya-kak-lokomotiv-razvitiyasovremennoj-nauki-ot-teoreticheskih-paradigm-k-praktike.html
Ильяшенко Ю.С., Яковенко С.Ю. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Т. 1. М.:МЦНМО, 2013. 428 с.
Задорожная О.В., Кочетков В.К. Альтернативные методы интегрируемости обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения первого порядка с полиномиальной частью // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2019. Т. 16. № 2. С. 6-14. https://doi.org/10.31429/vestnik-16-2-6-14
Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Изд-во Том. ун-та,, 2001.220 с.
Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. М.: МЦНМО, 2009. 672 с.
Базилевич И.Е. Об одном случае интегрируемости в квадратурах уравнения Левнера-Куфарева // Матем. сб. 1995. Т. 37. № 3. С. 471-476.
Деревенский В.П. Полиномиальные дифференциальные уравнения первого порядка над матричными косыми рядами // Изв. вузов. Математика. 2014. № 9. C. 3-16.
Задорожная О.В., Кочетков В.К. Структура интегралов второго дифференциального уравнения Левнера - Куфарева в частном случае // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 55. C. 12-21. DOI: 10.17223/ 19988621/55/2.
Задорожная О.В., Кочетков В.К. Некоторые методы исследования интегрируемости обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка специального вида // Математика и математическое моделирование. 2019. № 2. С. 48-62. https://doi.org/10.24108/mathm.0219.0000177
 Интегральное представление решений одного обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения Левнера - Куфарева | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/3

Интегральное представление решений одного обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения Левнера - Куфарева | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/3