Исследование некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка со степенно-логарифмической особенностью в ядре | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/4

Исследование некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка со степенно-логарифмической особенностью в ядре

Для одного класса интегро-дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка со степенной и логарифмической сингулярностью в ядре, в классе функций, обращающихся в нуль с определённой асимптотикой, найдены интегральные представления многообразия решений через произвольные постоянные. Использован метод представления интегро-дифференциального уравнения второго порядка в виде произведения двух интегро-дифференциальных операторов первого порядка. Для этих одномерных интегро-дифференциальных операторов в случаях, когда корни характеристических уравнений являются вещественно разными, вещественно равными и комплексно-сопряженными, найдены обратные операторы. Выяснено, что присутствие степенно-логарифмической особенности в ядре действует на число произвольных констант в общем решении. Это число, в зависимости от корней соответствующих характеристических уравнений, может достигать девяти. Найдены случаи, когда данное интегро-дифференциальное уравнение имеет единственное решение. Использованный метод можно применять для изучения модельных и немодельных интегро-дифференциальных уравнений со степенно-логарифмической особенностью более высоких порядков.

Investigation of some classes of second order partial integro-differential equations with a power-logarithmic singularit.pdf К рассмотрению интегро-дифференциальных уравнений приводят многие задачи прикладного характера из области математической биологии, теоретической экологии [1], финансовой математики, эконометрики [2] и других разделов современной науки. Например, задача моделирования рассеивания и роста популяции, задача Вольтерра о крутильных колебаниях [1], задача Прандтля о расчёте крыла самолёта [3, 4], задача об изучении кинетического уравнения Больцмана [5], задача разрешимости интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике [6] и т.д., приводят к изучению интегро-дифференциальных уравнений. В современности многие стохастические процессы с вероятностными скачками, например стохастические процессы Леви описываются интегро-дифференциальными уравнениями [7]. Помимо важнейшей прикладной стороны вопроса, не меньший интерес представляет математическое построение основ составляющей проблематики. Особое внимание следует уделить исследованию различных случаев вырождения, например вырождения коэффициента при старших производных, сингулярности и сверхсингулярности ядра изучаемого уравнения и т.д. Изучению подоб- Исследование некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений 41 ных объектов в регулярном случае посвящена обширная библиография [8 - 18]. Однако исследованию особых или сингулярных случаев в мировой литературе уделено мало внимания, поэтому список соответствующей литературы в этом направлении достаточно беден. В данной работе излагается исследование одного класса интегро-дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка типа Вольтерра со степенной и логарифмической сингулярностью в ядре. Подобные уравнения, но только в одномерном случае, были исследованы в работах [19-22]. Хочется продолжить этот цикл работ и построить фундаментальные теории для сингулярных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. Здесь привлекается аппарат представления общего интегро-дифференциального уравнения в виде произведения двух интегро-дифференциальных операторов первого порядка, один из которых содержит только степенную сингулярность, а другой - только логарифмическую. Однако важно заметить, что понятие сингулярности со стороны отдельных авторов понимается по-разному. Например, можно понимать это в смысле главного значения по Коши. Здесь для исследования привлекается аппарат теории аналитических функций [23]. Также можно понимать сингулярность в смысле обращения в нуль определителя матрицы главного оператора в уравнении. Для исследования таких уравнений привлекается аппарат распределения Соболева - Шварца, центральное место в которых занимает конструкция фундаментальной оператор-функции - аналога фундаментального решения [24, 25]. В наших исследованиях понятие сингулярности понимается в смысле сингулярности интеграла по Лебегу или сингулярности интеграла в обычном смысле Римана [21, 22]. Постановка задач и их решение Через R обозначим область R = {(x, y): a < x < b, c < y < d}. Соответственно обозначим Tj = {(x,y): a < x < b, y = c} и Г2 = {(x,y): x = a, c < y < d}. В области R рассмотрим сингулярное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка вида Is + u'lcy (x y)+} т^т Uy y )dt+J K2( y)2) v'xixs )d a (t - a) c (S - C) x dt hJ-^ J (t - a) c (s - c) K3(x, t,y,s) u (t, s)ds = f (x, y), (1) где Kj(x,t) = p1 + p2 \\x-a I - ядро, имеющее степенную особенность; V t - a J K2(y, s) = q1 + q2 lnI --c I - ядро, имеющее логарифмическую особенность; V s - c J K3 (x, t, y, s) = K1 (x, t) K2 (y, s) - ядро, имеющее степенно-логарифмическую особенность; f (x, y) - заданная функция в области R , U (x, y) - искомая функция. Через С^2 [a, b; c, d], или просто , обозначим класс таких функций U (x, y), которые имеют производные первого порядка по обеим переменным и С.К. Зарифзода, Р.Н. Одинаев 42 смешанную производную второго порядка и в точке (a, c) обращаются в нуль с асимптотическим поведением U (х, у) = о [(х - a )Yl (у - с )ъ ] , Yj >5^ Y 2 >S2, и решение уравнения (1) будем искать в этом классе. Для решения однородного уравнения (1) прежде всего представим его в виде д_ дх U'y (х, у)+f ^ У’ f U (х, s)ds с (S - С) +1^2 иу (t, y)+f , (t - a) K2( у, s) (s - c)2 U (t, s)ds dt=0 или в виде произведения двух линейных интегро-дифференциальных операторов первого порядка вида П а ЛCU (х, у ) = 0, (2) д г где п а (о=д-+| _-()dt и Лу(•)=-*-/[КІМ (t - af{> с () ду f (s - с)2 д + f Kj( х, t) дх (■)ds . Теперь, частное решение этого уравнения будем искать в виде U (х, у) = (х - a)Х (у - с)ц , где Х и ц - постоянные числа. Подставляя эту функцию в левую часть уравнения (2) для определения X и ц, получим следующее характеристическое уравнение: J _ Л = 0, (3) Х+^ + - Р2 Х-1 Х-2 q1 ц + -- + q2 ц-1 (ц-1)2 только с тем ограничением, что X и ц строго должны удовлетворять условиям X > 2 , ц > 1. Эти условия определяют класс функций Су , в которых нужно искать решение уравнения (1). Видно, что характеристическое уравнение (3) распадается на два алгебраических уравнения третьего порядка вида и Х+^ + ^ = 0 q1 ц + -- + Х-1 Х-2 q2 (4) ц-1 (ц-1) 2 = 0 (5) и поэтому в зависимости от корней этих алгебраических уравнений решение уравнения (2) получим в следующем виде: I. Пусть корни характеристических уравнений (3) и (4) являются вещественными и разными. Тогда формально общее решение однородного уравнения (2) имеет вид U (ху) = ХХ(х- a)Х' (у-с)цj сс, i=1 j=1 где с, Cj (i, j = 1,3) - произвольные постоянные числа. Исследование некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений 43 Далее, используя метод вариации произвольных постоянных решение неоднородного уравнения (1) легко находим в таком виде: 3 3 U(xy) = SS(x-a)Xi (y-cV °ici +(na) (Лy) f i=1 i=1 = £+[[ [ c3y ^ c2 , c3y f (Xy У )] (6) где обратные операторы (na) и (лу ) соответственно определяются из следующих равенств: (па)) (•) = -“VJ Д1 (Х1 -2)Х1 - 1)f+д2 (2 - 2)(Х2 - 1)f-- г 2 0 а _ t - a t - a + Д3 (Х3 - 2)(Х3 -1) (ЛУ і \\ Д1 (Н1 -1)2 2 | У - С s - С x - a t - a H1 (•)dt, + Д2 (н2 1) 2 I У - С s - c н2 + Д3 (н3 1) H3 (•)ds, где 2 I У - С s - С 1 1 1 1 1 1 Д0 = Х1 X 2 Х3 іі о >< Х1 Х 2 Х3 1 1 1 1 1 1 Х1 - 2 X 2 - 2 X 3 - 2 Х1 -1 X 2 -1 Х3 -1 Д1, Д2, Д3 и Д1, Д2, Д3 - соответственно алгебраические дополнения элементов последней строки определителя Д0 и Д0. Заметим, что необходимым условием для того, чтобы однородное уравнение (2) имело нетривиальное решение, являются условия X > 2, н > 1. Поэтому если, например, выполняются условия Х1 < 2 < X2 < Х3 и н1 1, a2 > 1. Исследование некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений 47 С другой стороны, из характеристического уравнения (4) и (5) видно, что в случае комплексно-сопряженных корней должны выполняться условия X + 2at =3 и ц + 2а2 = 2. (14) Отсюда, так как условия (13) и (14) несовместимы, следует, что однородное уравнение (2) в этом случае тоже имеет только нулевое решение, а неоднородное уравнение (2) имеет единственное решение вида (12). Для сходимости интегралов в обратные операторы (п ) и (Лу ) от функции f (х,у) в точке (a,c) требуем следующую асимптотику: f (х,у) = о|^(х-a)Y7 (у-c)8 J , у7 > max(X, at}-1, у8 > max(ц, a2}-1. (15) В этом случае тоже при выполнении условие (15) полученное решение (12) принадлежит классу С^1 и оно удовлетворяет уравнению (1). Таким образом, имеет место следующая теорема: Теорема 3. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (1) ядра Кь К2 и К3 такие, что корни характеристических уравнений (4) и (5) являются комплексносопряженными. Кроме того, пусть функция f (х, у )е С(R) и в точке (a, c), f (a, c) = 0 с асимптотическим поведением (15). Тогда неоднородное уравнение (1) в классе функций U(х, у) е С^ , обращающихся в нуль в точке (a, c), всегда разрешимо и его единственное решение даётся при помощи формулы (13). Пусть вместо условия (13) выполняется одно из условий: 1) X < 2, а1 > 2 и ц < 1, а2 > 1; 2) X < 2, а1 > 2 и ц > 1, а2 < 1; 3) X > 2, а1 < 2 и ц < 1, а2 > 1; 4) X > 2, а1 < 2 и ц > 1, а2 < 1; 5) X < 2, а1 < 2 и ц < 1, а2 > 1; 6) X < 2, а1 < 2 и ц > 1, а2 < 1; 7) X > 2, а1 < 2 и ц < 1, а2 < 1; 8) X < 2, а1 > 2 и ц < 1, а2 < 1; 9) X < 2, а1 < 2 и ц < 1, а2 < 1. В этих случаях также легко определим дефектные числа оператора П ха Лу : 1) dimKer(пxaЛу ) = 4 ; 2) dimKer(пaЛу ) = 2 ; 3) dimKer(пxaЛу ) = 2 ; 4) dimKer (п a Лу ) = 1; 5) dimKer (п xa Лу ) = 0; 6) dimKer (п a Лу ) = 0; С.К. Зарифзода, Р.Н. Одинаев 48 7) dimKer (пхаЛус ) = 0; 8) dimKer (пхаЛус ) = 0; 9) dimKer (п^Лус ) = 0. Отсюда видно, что в пяти случаях однородное уравнение (1) имеет только тривиальное решение, а неоднородное уравнение (1) имеет единственное решение. В остальных случаях однородное уравнение (1) имеет нетривиальные решения, и поэтому общее решение неоднородного уравнения (1) содержит произвольные константы. Замечание 1. Соответствующие теоремы легко можно получить в других возможных случаях корней характеристических уравнений (4) и (5), т.е., например: 1) корни уравнения (4) являются вещественно разными, а корни уравнения (5) являются вещественно равными; 2) корни уравнения (4) являются вещественно разными, а корни уравнения (5) являются комплексно-сопряженными; 3) корни уравнения (4) являются вещественно равными, а корни уравнения (5) являются вещественно разными и т. д. Примеры Приведём примеры: Пример 1. Рассмотрим следующий пример: UX(x, У ) + Jf тзт dt + J t - a J (t - a)2 1 1 i I У - c - +-ln1 3 27 U'x{x s) ds + s-c JJ (s-c)2 x x - a dt (t - a)' 1 1 1 I У - c - +-ln1 ' 3 27 U (t, s) s - c JJ (s - c)2 ds = (x - a)2(y - c). (16) Решение. Составим характеристическое уравнение: I 1 1 4 Ц + = 0 . К-1 К-2 27 Ц-1 (ц-1)2 То есть характеристическое уравнение имеет два Отсюда (К -1)3 |ц-3j = 0 . 2 трёхкратных корня К = 1, ц = 3. Таким образом, так как условия К > 2, ц > 1 не выполняются, то согласно пункту II, однородное уравнение (16) имеет только тривиальное решение, а неоднородное уравнение имеет единственное решение, которое даётся по формуле x - a t - a U (x У ) = -{ lnix-a 1-1 t - a У - c j 3 s - c il„21]_2lnI У-c 1+1 18 I s - c J 3 I s - c (t - a)2(s - c)ds. Легко можно проверить, что найденное решение удовлетворяет уравнению (16). Исследование некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений 49 -; (x, у)+} x +1 -30 +12 Пример 2. Рассмотрим другой пример: 30 +12 f x a 1 Uу(- ^2)d,+1 [-4 + 6ln f у - c l] _ 11 - a )_ (t - a) I L C s - c )J J (s -c)2 x - a dt -4 + 6ln У - c UX(xs) ds + t - a ) J (t - a) s - c )J (s - c) -( ’ 2 ds = (x - a)6 (y - c)3. (17) Решение. Характеристическое уравнение в этом случае примет такой вид: 30 12 X--+ - = 0, Ц- Х-1 Х-2 Ц-1 (ц-1)2 или (Х-3)(Х-4)(Х + 4)(ц + 2)(ц2 -4ц + 5) = 0 . Отсюда имеем такие корни: Х1 = -4, X2 = 3, Х3 = 4, ц = -2, ц2 3 = 2 ± i. Видно, что для этих корней выполняются условия Х1 < 2

Ключевые слова

характеристическое уравнение, интегральные представления, логарифмические особенности, степенные особенности, интегро-дифференциальное уравнение

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Зарифзода Сарвар КахрамонТаджикский национальный университеткандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой вычислительной математики и механикиsarvar8383@list.ru
Одинаев Раим НазаровичТаджикский национальный университетдоктор физико-математических наук, доцент, декан механико-математического факультетаraim_odinaev@mail.ru
Всего: 2

Ссылки

Сидоров Н.А., Сидоров Д.Н. О разрешимости одного класса операторных уравнений Вольтерра первого рода с кусочно-непрерывными ядрами // Математические заметки. 2014. Т. 96. № 5. С. 773-789. DOI: http://dx.doi.org/10.4213/mzm10220.
Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения типа свертки в банаховых пространствах // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2016. Т. 17. С. 77-85.
Зарипов С.К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегродифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной точкой в ядре // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 46. С. 24-35. DOI: http://dx.doi.org/10.17223/19988621/46/4.
Зарипов С.К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с логарифмической особенностью в ядре // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21. № 2. С. 236-248. DOI: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1515.
Hamoud A.A., Ghadle K.P. The approximate solutions of fractional Volterra-Fredholm integro-differential equations by using analytical techniques // Probl. Anal. Issues Anal. 2018. V. 7(25). No. 1. P. 41-58. DOI: https://doi.org/10.15393/j3.art.2018.4350.
Раджабов Н., Раджабова Л.Н., Репин О.А. Об одном классе двумерных сопряженных интегральных уравнений вольтерровского типа // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 3. С. 1-10.
Раджабов Н. Интегральные уравнения типов Вольтерра с фиксированными граничными и внутренними сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. Душанбе: Деваштич. 2007. 221 с.
Асхабов С.Н. Сингулярные интегро-дифференциальные уравнения с ядром Гилберта и монотонной нелинейностью // Владикавказский математический журнал. 2017. Т. 19. № 3. С. 11-20.
Белкина Т.А., Конюхова Н.Б., Курочкин С.В. Сингулярная краевая задача для интегро-дифференциального уравнения в модели страхования со случайными премиями: анализ и численное решение // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. № 10. С. 1812-1846.
Бураго П.Н., Эгамов А.И. О связи решений начально-краевых задач для некоторого класса интегро-дифференциальных уравнений с частными производными и линейного гиперболического уравнения // Журнал СВМО. 2019. Т. 21, № 4. С. 413-429. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.21.201904.
Бьянка К., Феррара М., Guerrini L. Асимптотический предел интегро-дифференциального уравнения, моделирующего сложные системы // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2014. Т. 78, №6. С. 49-64. DOI: https://doi.org/10.4213/ im8066.
Бесова М.И. Об одном методе решения сингулярно возмущенных краевых задач // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2019. № 2. С. 45-55.
Юлдашев Т.К. Обратная задача для одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2013. №1. С. 58-66.
Нефедов Н.Н., Никитин А.Г. Начально-краевая задача для нелокального сингулярно возмущенного уравнения реакция-диффузия // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. № 6. С. 1042-1047.
Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Задача с обратным временем для сингулярно возмущенного интегро-дифференциального уравнения с диагональным вырождением ядра высокого порядка // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2016. Т. 80, №2. С. 3-15. DOI: https://doi.org/10.4213/im8335.
Турсунов Д.А., Эркебаев У.З. Асимптотическое разложение решения задачи Дирихле для кольца с особенностью на границе // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. №1(39). С. 42-52. DOI: https://doi.org/ 10.17223/19988621/39/5.
Турсунов Д.А. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши в случае смены устойчивости, когда собственные значения имеют полюсы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. № 59. С. 16-28. DOI: https://doi.Org/10.17223/19988621/59/3.
Качалов В.И. О голоморфной регуляризации сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. Т. 57, № 4. С. 64-71. DOI: https://doi.org/10.7868/S0044466917040056.
Oton X.R. Integro-Differential Equations: Regularity Theory and Pohozaev Identities. Barcelona. 2014. 301 p.
Власов В.В., Раутиан Н.А., Шамаев А.С. Спектральный анализ и корректная разрешимость абстрактных интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике // Современная математика. Фундаментальные направления. 2011. Т. 39. С. 36-65.
Магнарадзе Л.Г. Об одном новом интегральном уравнении теории крыла самолёта // Сообщ. АН Груз. ССР. 1942. Т. 3. № 6. С. 503-508.
Годунов С.К., Султангазин У.М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // Усп. мат. наук. 1971. Т. 26. № 3(159). С. 3-51.
Векуа И.Н. Об интегро-дифференциальном уравнении Прандтля // Прикл. матем. и мех. 1945. Т. 9. № 2. С. 143-150.
Кахкцян В.М., Хачатрян А.Х. Об аналитическо-численном решении одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения, возникающего в эконометрике // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. Т. 53. № 7. С. 1108-1112. https://doi.org/10.7868/S0044466913070144.
Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.
 Исследование некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка со степенно-логарифмической особенностью в ядре | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/4

Исследование некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка со степенно-логарифмической особенностью в ядре | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/4