Об одном классе 3-хороших колец формальных матриц | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/5

Об одном классе 3-хороших колец формальных матриц

Исследуются кольца формальных матриц со значениями в данном кольце и с матрицей множителей, состоящей из 0 и 1. При указанных ограничениях кольцо формальных матриц может быть представлено как расщепляющееся расширение одного своего нильпотентного идеала с помощью произведения обычных колец матриц, а вопрос об обратимости формальной матрицы сводится к вопросу об обратимости обычных матриц над кольцом. При некоторых дополнительных условиях, наложенных на матрицу множителей, удается воспользоваться известной теоремой Хенриксена и доказать, что всякий элемент кольца формальных матриц представляет собой сумму трех обратимых элементов этого кольца. В конце мы приводим примеры таких колец формальных матриц порядка 4 и 5.

On a class of 3-good formal matrix rings.pdf В [1] и [2] рассматривался класс колец формальных матриц, для которых было описано строение их групп автоморфизмов. В данной статье показано, что кольца формальных матриц этого (и даже в некотором смысле более широкого) класса будут 3-хорошими. Пусть к - натуральное число, к > 2. Напомним [3], что элемент кольца называется к-хорошим, если он представим в виде суммы к обратимых элементов этого кольца; кольцо называют к-хорошим, если все его элементы к-хорошие. Изучению колец, которые аддитивно порождаются своими обратимыми элементами, посвящено большое количество работ. Хороший обзор исследований по этой теме дан в статье [4]. Далее R - произвольное ассоциативное кольцо с единицей, M(n, R) - кольцо всех (n х п)-матриц над R. 1. Кольца формальных матриц Изучению произвольных колец формальных матриц также посвящено множество работ (см., например, [1, 2, 5-12]). Понятия формальной матрицы и кольца формальных матриц берут свое начало в работах японского математика К. Мориты. В 1958 году в статье [8] он ввел объект, который позже был назван контекстом Мориты. Контекст Мориты - это набор (R, M, N, S, ф, ф), состоящий из произвольных колец R и S, бимодулей RMS и S NR и определенным образом связанных между собой бимодульных гомоморфизмов ф и ф. Морита пришел к нему при изучении кон-травариантных функторов D1 и D2 между категориями модулей Mod-R и Mod-S, таких, что выполняются условия D1D2 и IdMod-R и D2 D1 и IdMod.S (позже им было 1 Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для молодых ученых - докторов наук МД-108.2020.1. Ц.Д. Норбосамбуев, Е.А. Тимошенко 56 доказано, что на самом деле это функторы Hom). Контексты Мориты интересны и сами по себе, и как очень полезный инструмент обобщения в теории колец. Эта тема заслуженно привлекает внимание алгебраистов уже более полувека. Подробнее с историей развития данного направления исследований можно познакомиться в обзорной статье [9]; в ней же можно найти ссылки на наиболее важные работы по теме. По данному контексту Мориты всегда можно построить кольцо матриц вида K = называемое кольцом контекста Мориты или кольцом формальных матриц. Понятия формальной матрицы и кольца формальных матриц естественным образом можно расширить на случай произвольного порядка > 2. Нас интересует лишь один частный случай - кольца формальных матриц со значениями в данном кольце R. Впервые такие кольца появились в работе П.А. Крылова [7]. Они устроены следующим образом. Пусть K - кольцо формальных матриц порядка n > 2 (см. [5, 6]), в котором все стоящие на главной диагонали кольца Rb R2, ..., Rn совпадают c некоторым кольцом R, а в качестве Rt -Rj -бимодулей Mj берется R-R-бимодуль rRr. Далее, пусть q>yk: R®RR^R, где i,j,k e {1, 2, ..., n}, - бимодульные гомоморфизмы, определяющие K (в произвольных кольцах формальных матриц отображение фу* представляет собой гомоморфизм Mj ®R M]k ^ Mik). Обозначим sijk = ф^ (1®1) для любых i,j,k e {1, 2, ..., n}. Тогда х оy = ф^(х®у) = хф^(1®1)у = xsijky (здесь мы считаем, что элементы х и у стоят в своих матрицах в позициях (i,j) и (j, k) соответственно). Справедливы также равенства xsijk = ф^(х®1) = ф^ (1® х) = Sjkх, т.е. Sjk - центральный элемент кольца R. В итоге мы получаем, что х о у = sijk ху. Далее, несложно убедиться в том, что sUj = 1 = s^ для любых i,j e {1, 2, ..., n}. Полагая х = у = z = 1 в соотношении ассоциативности х о (у о z) = (х о у) о z, получаем, что s,ji ■ Sjki = Sijk ■ Siki для всех i,j, k, l e {1, 2, ., n}. Полученные равенства (1) siij = 1 = sijj и siji ■ sjki = sijk ■ ski будем называть основными тождествами. Пусть теперь Е = {s1jk | i,j, k = 1, 2, ..., n} - некоторое множество центральных элементов кольца R, удовлетворяющих равенствам (1). Для произвольных индексов i,j,k e {1, 2, ..., n} можно задать бимодульный гомоморфизм ф^ : R®RR^R, полагая х о у = ф jk (х ® у) = sijkху. Указанные гомоморфизмы определяют кольцо формальных матриц порядка n. Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между кольцами рассматриваемого вида и множествами центральных элементов, удовлетворяющих основным тождествам (1). Подобные кольца формальных матриц называем кольцами формальных матриц со значениями в данном кольце R. Будем обозначать их через M(n, R, Е); множество Е будем называть системой множителей кольца M(n, R, Е), а сами элементы sijk - множителями кольца M(n,R, Е). Легко убедиться, что если кольцо R коммутативно, то M(n, R, Е) представляет собой R-алгебру. Для произвольных матриц A = (aj) и B = (bj) из M(n, R, Е) имеем n AB = с = ^ где с]] = £ j^ij . ij k=1 Об одном классе 3-хороших колец формальных матриц 57 Если все множители Sjk равны 1, то, как несложно видеть, получается кольцо обычных матриц M(n, R). Полагая k = і в основных тождествах (1), мы получаем равенство Sj = Sj ■ Sjil. Значит, Sjij = SjiI ■ spi и поэтому Sji = Sjj. Теперь, взяв l = j в тождествах (1), получаем Sjkj = Spk ■ Sikj. Следовательно, Spi = Sup ■ Sp. Таким образом, справедливы соотношения Sji = Sjj = Spl ■ Sjil = Si ■ Syi. Из них можно при помощи перестановки индексов получить следующие тождества: Siji = Sjij = Sijk ■ Sjik = Skij ■ Skji, Sjkj = Skjk = Sjki ■ Skji = Sijk ■ sikj, (2) Skik = Siki = Skij ■ Sikj = Sjki ■ Sjik. Если Sp и Spkj - неделители нуля, то, исходя из (2), элементы Spik и Spki тоже будут неделителями нуля, а значит, Skik - неделитель нуля. Таким образом, справедлив следующий факт: Лемма 1. Для множителей Sp, Sjkj- и Skik (где i,j, k e {1, 2, ..., n}) из системы E имеет место ровно одна из следующих возможностей: 1) все три элемента - неделители нуля; 2) какие-то два из трех элементов - делители нуля, а третий - неделитель нуля; 3) все три элемента - делители нуля. ■ С данным кольцом формальных матриц M(n, R, Е) мы можем связать матрицу множителей S = (Sp). Из (2) следует, что матрица S является симметрической. 2. Один класс 3-хороших колец формальных матриц над данным кольцом В работах [1] и [2] был выделен один класс алгебр формальных матриц, у которых оказалось возможным дать описание их групп автоморфизмов. Это достигалось за счет того, что алгебра формальных матриц представлялась как расщепляющееся расширение нильпотентного идеала I с помощью прямой суммы обычных колец матриц. Ниже мы рассмотрим близкий класс колец формальных матриц, отказавшись от требования коммутативности R и ограничения I ■ I = 0. Существует несколько способов получения систем множителей из уже имеющихся для колец формальных матриц со значениями в данном кольце. Приведем один такой способ. Пусть Е = {Spk | i,j, k = 1, 2, ., n} - система множителей кольца формальных матриц К = M(n, R, Е), а т - произвольная подстановка на множестве {1, 2, ., n}. Как определить действие подстановки т на системе множителей Е так, чтобы получившееся множество оказалось системой множителей для некоторого кольца K' ? Для матрицы А = (aj из кольца K = M(n, R, Е) положим тА = (ат(,)т( ^); таким образом, мы считаем, что в матрице тА в позиции (i,j) стоит элемент ат(і)т( j). Далее рассмотрим множество {ь’т(,-)т(| i,j,k = 1, 2, ..., n}. Можно заметить, что данное множество тоже будет системой множителей, поскольку оно удовлетворяет тождествам (1). Обозначим получившуюся новую систему множителей через тЕ. Для этой системы можно построить новое кольцо формальных матриц тК = M(n, R, тЕ). Нетрудно видеть, что сопоставление А ^ тА, где А = (a,) и тА = (ат(і)т(j)), осуществляет изоморфизм между кольцами К и тК. Далее будем рассматривать более узкий класс колец формальных матриц: нас интересуют только такие кольца К = M(n, R, Е), у которых система множителей Е может содержать лишь 1 и 0. Ц.Д. Норбосамбуев, Е.А. Тимошенко 58 Введем на множестве чисел {1,2, п} бинарное отношение «~», полагая i ~j тогда и только тогда, когда множитель siji равен единице. Из леммы 1 следует, что ситуация Sji = Sjkj = 1, skik = 0 невозможна, а значит, это бинарное отношение является отношением эквивалентности. Построим подстановку т следующим образом: в верхней строке расположим числа 1, 2, ..., п в порядке возрастания, а нижнюю строку составим из классов эквивалентности отношения «~», записанных в произвольном порядке (внутри классов входящие в них индексы располагаем также в произвольном порядке). Тогда в матрице tS = (s^/)т(к)) на главной диагонали стоят квадратные блоки, состоящие только из единиц; эти блоки находятся во взаимно однозначном соответствии с классами эквивалентности относительно «~» (порядок такого блока равен числу элементов в соответствующем классе эквивалентности). Все позиции в матрице tS вне рассматриваемых блоков заняты нулями. Сопоставление А ^ тА, где A е К, задает изоморфизм между кольцами К и тК. Таким образом, мы можем с самого начала считать, что матрица множителей S кольца K имеет указанный выше блочный вид. Пусть количество блоков на главной диагонали матрицы S равно m и эти блоки имеют порядки пь п2, ., пт. Ясно, что п + п2 + ... + пт = п. Нам понадобится следующий простой факт: Лемма 2. а) Если индексы i,j е {1, 2, ., п} таковы, что i ~ j, то Sjk = 1 = skj для всех k е {1, 2, ...,п}. б) Если индексы i,j, k е {1, 2, ..., п} таковы, что i ~ j и k не эквивалентно i и j, то справедливо равенство sikj = 0. Доказательство. Воспользуемся тождествами (2). а) Поскольку s j = 1, то с учетом первого из тождеств мы имеем sijk Ф 0 и skj Ф 0, отсюда Sjjk = 1 = skj. б) Так как 1 = sVi = s^ • Skfi, то s^- Ф 0, т.е. s^ = 1. Тогда 0 = sm = Skj • sikj = Sj ■ На главной диагонали каждой матрицы A е K мы выделим блоки A1, A2, ., Am того же порядка, что и блоки на главной диагонали матрицы S (и в той же последовательности). Тогда, как видно из пункта а) леммы 2, для всякого фиксированного v блоки Av всех матриц из К образуют кольцо обычных матриц Kv = М(пѵ, R). Через I обозначим множество всех матриц А е К, у которых описанные выше блоки Аь А2, ..., Ат целиком состоят из нулей; через L - множество всех матриц А е К, у которых все элементы, находящиеся за пределами блоков Аь А2, ..., Ат, равны 0. Легко видеть, что L - подкольцо кольца К, изоморфное прямой сумме К Ѳ К2 Ѳ . Ѳ Кт (далее будем отождествлять L с этой прямой суммой). Заметим также, что К = L ѲI, т.е. всякая матрица А е К единственным образом представима в виде суммы А = C+D, где C е L и D е I. Предложение 3. Множество I является идеалом кольца К. Доказательство. Ясно, что (I, +) является подгруппой в (К, +). Зафиксируем произвольные матрицы А = (a j) е I и X = (xj) е К. Допустим, что ХА g I. Тогда существуют индексы i,j е {1, 2, ...,п}, такие, что позиция (i,j) находится в одном из блоков А 1, А 2, . , Ат и элемент матрицы ХА, стоящий в позиции (i, j), отличен от 0. В свою очередь, это означает, что для некоторого k е {1, 2, ...,п} выполнено sik/-xikakj Ф 0. Из неравенства akj Ф 0 следует, что индексы j и k не эквивалентны. Так как i ~ j, то ввиду пункта б) леммы 2 получаем sikj = 0, что невозможно. Итак, I - левый идеал в К. Если АХ g I, то аналогичным образом показывается, что существуют индексы i,j, k е {1, 2, ...,п}, такие, что i ~j и sik/-aikXj Ф 0. Из aik Ф 0 вытекает, что индексы i Об одном классе 3-хороших колец формальных матриц 59 и к не эквивалентны. Поэтому в силу леммы 2 вновь имеем sikj- = 0, что приводит к противоречию. Следовательно, I - правый идеал в K. ■ Предложение 4. Справедливо равенство Im = 0. Доказательство. Допустим, что выполняется B1,B2, ..., Bm е I и B-lB2...Bm Ф 0. В силу дистрибутивности операции умножения относительно сложения найдутся индексы i0,i1, ..., im е {1, 2, ..., п}, такие, что для элементов b1,b2,...,bm е R, стоящих в матрицах B1, B2, ..., Bm в позициях (i0,і1), (і1,і2), ..., (im-1,im) соответственно, выполнено b1 о b2 о . о bm Ф 0 (тогда, в частности, при всех q е {1, 2, ., m} имеем bq Ф 0). Поскольку количество классов эквивалентности в {1, 2, ..., п} равно m, то найдутся числа u и v, для которых 0 < u < v < m и iu ~ iv. Из bv Ф 0 следует, что iv-1 не эквивалентно iv и u < v - 1. Применяя пункт б) леммы 2 к i = iu, j = iv, к = iv-1, мы получаем, что множитель w = si i ■ равен 0. Тогда bu+1 о . о bv-1 о bv = w(bu+1 о ... о bv-1)bv = 0, что противоречит условию b1 о b2 о ... о bm Ф 0. Таким образом, Im = 0. ■ Мы получили, что кольцо K представляет собой расщепляющееся расширение нильпотентного идеала I с помощью кольца L. Теорема 5. Пусть A е K и A = C+D, где C е L и D е I. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) Матрица A обратима в кольце K. 2) Матрица C обратима в кольце L. Доказательство. 1) ^ 2). Запишем A-1 = C+D', где C е L и D' е I. Заметим, что CC + (CD’+DC'+DD') = AA- = E е L (здесь E - единичная матрица). Так как L и I являются соответственно подкольцом и идеалом в K, то CD'+DC'+DD' е I и CC’ е L, а значит, CC = E. Аналогично доказывается, что C’C = E. Следовательно, C - обратимая в L матрица. 2) ^ 1). Положим B = C- -C~\\DC-1) + C~\\DC-1)2 - ... + (-1)m-1C -\\DC“1)m-1. Поскольку матрицы DC 1 и C lD лежат в I, то (DC l)m = 0 = (C lD)m и, значит, AB = AC-\\E - DC - + (DC-lf - ... + (-1)m- 1(DC ^)m-1) = = (E+DC4)(E - DC- + (DC-lf - ... + (-1)m-1(DC^f-1) = E, BA = (E - C-lD + (C-lD)2- ... + (-1)m-1(C -1D)m-1)C Л4 = = (E - C-lD + (C-lD)2- ... + (-1)m-1(C -1D)m-1)(E+C-lD) = E. Следовательно, матрица A обратима в K. ■ В прямой сумме L = K1 Ѳ K2 Ѳ ... Ѳ Km каждое Kv - это обычное кольцо матриц, Kv = M(nv, R). С учетом результатов М. Хенриксена [13] мы получаем следующее утверждение: Теорема 6. Пусть у всех колец-блоков Kv из разложения L = K1 Ѳ K2 Ѳ . Ѳ Km порядки nv строго больше единицы. Тогда K - 3-хорошее кольцо. Доказательство. Пусть A е K и A = C + D, где C е L и D е I. Поскольку все Kv являются 3-хорошими кольцами [13, теорема 3], то C = C1 + C2 + C3, где C1, C2, C3 -обратимые в L матрицы. Тогда матрицу A можно представить в виде суммы трех матриц C1, C2 и C3 + D, каждая из которых обратима в K ввиду теоремы 5. ■ Но если порядок хотя бы одного из слагаемых Kv равен 1 (т.е. когда мы имеем само кольцо R в качестве одного из блоков), то все будет зависеть от «хорошести» кольца R. Например, как показано в [10, теорема 1], если R - к-хорошее кольцо, то и кольцо K будет таковым. Ц.Д. Норбосамбуев, Е.А. Тимошенко 60 В завершение мы рассмотрим некоторые частные случаи (по-прежнему считая, что система множителей Е содержит только 1 и 0). Если K = M(n,R,Е) и множество {1, 2, ..., п} представляет собой единственный класс эквивалентности, то K совпадает с обычным матричным кольцом M(n, R) и ввиду теоремы Хенриксена является 3-хорошим для каждого п > 2. Наименьшее п, для которого возможно нетривиальное разбиение множества {1, 2, ..., п} на классы эквивалентности, каждый из которых содержит хотя бы два индекса, очевидно, равно 4. Если K = M(4, R, Е) или K = M(5,R, Е), а матрица множителей S кольца K может быть представлена в виде S = f 1 1 0 0 > 1 1 0 0 или S = 0 0 1 1 10 0 1 1V f 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0^| 1 0 0 10 0, 0 1 1 0 1 1, то по теореме 6 кольцо K является 3-хорошим.

Ключевые слова

кольцо формальных матриц, хорошее кольцо, кольцо

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Тимошенко Егор АлександровичТомский государственный университетдоктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник Регионального научно-образовательного математического центра, профессор кафедры алгебры механикоматематического факультетаtea471@mail.tsu.ru
Норбосамбуев Цырендоржи ДашацыреновичТомский государственный университеткандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры механико-математического факультетаnstsddts@yandex.ru
Всего: 2

Ссылки

Норбосамбуев Ц.Д. 2-хорошие диагональные формальные матрицы над кольцом целых чисел // Всероссийская молодежная научная конференция «Все грани математики и механики». Сборник статей. Томск: Изд. дом ТГУ, 2016. С. 6-12.
Норбосамбуев Ц.Д. Ранг формальной матрицы. Система формальных линейных уравнений. Делители нуля // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 52. С. 5-12. DOI: 10.17223/19988621/52/1.
Henriksen M. Two classes of rings generated by their units // J. Algebra. 1974. V. 31. No. 1. P. 182-193. DOI: 10.1016/0021-8693(74)90013-1.
Норбосамбуев Ц.Д. О суммах диагональных и обратимых обобщенных матриц // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 4(36). С. 34-40. DOI: 10.17223/19988621/36/4.
Loustaunau P., Shapiro J. Morita contexts // Non-Commutative Ring Theory (Lecture Notes in Mathematics, V. 1448). Springer, 1990. P. 80-92. DOI: 10.1007/BFb0091253.
Morita K. Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition // Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, Sect. A. 1958. V. 6. P. 83-142.
Крылов П.А., Туганбаев А.А. Кольца формальных матриц и модули над ними. М.: МЦНМО, 2017.
Крылов П.А. Об изоморфизме колец обобщенных матриц // Алгебра и логика. 2008. Т. 47. № 4. С. 456-463.
Srivastava A.K. A survey of rings generated by units // Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math. 2010. V. 19. P. 203-213. DOI: 10.5802/afst.1281.
Крылов П.А., Туганбаев А.А. Формальные матрицы и их определители // Фундам. и прикл. математика. 2014. Т. 19. № 1. С. 65-119.
Крылов П.А., Норбосамбуев Ц.Д. Группа автоморфизмов одного класса алгебр формальных матриц // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 53. С. 16-21. DOI: 10.17223/19988621/53/2.
Vamos P. 2-good rings // Quart. J. Math. 2005. V. 56. P. 417-430. DOI: 10.1093/qmath/ hah046.
Крылов П.А., Норбосамбуев Ц.Д. Автоморфизмы алгебр формальных матриц // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59. № 5. С. 1116-1127. DOI: 10.17377/smzh.2018.59.512.
 Об одном классе 3-хороших колец формальных матриц | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/5

Об одном классе 3-хороших колец формальных матриц | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/5