О проективно инертных подгруппах вполне разложимых групп конечного ранга | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/6

О проективно инертных подгруппах вполне разложимых групп конечного ранга

Пусть группа G есть конечная прямая сумма групп без кручения Gi ранга 1. Доказано, что каждая проективно инертная подгруппа группы G соизмерима с некоторой вполне инвариантной подгруппой тогда и только тогда, когда все Gi не делятся ни на одно простое число р, причем у различных подгрупп Gі и Gj их типы равны либо несравнимы.

On projectively inert subgroups of completely decomposable finite rank groups.pdf Все группы, если специально не оговорено, предполагаются абелевыми. Через E(G) обозначается кольцо эндоморфизмов группы G. Подгруппы H, K группы G называются соизмеримыми (обозначение H ~ K), если обе факторгруппы (K + H)/H и (K + H)/K конечны. Соизмеримость является отношением эквивалентности. Если ф е E(G), то подгруппа H < G называется ф-инертной, если H соизмерима с H + фН. Если H ф-инертна для всякого ф е E(G), то H называется вполне инертной. Подгруппу Н < G, п-инертную для всякой проекции п группы G, назовем проективно инертной. Проективно инертные подгруппы образуют более широкий класс групп, чем вполне инертные подгруппы. Так, в неразложимой группе всякая ее подгруппа проективно инвариантна. Вполне инертные подгруппы абелевых групп изучались в [1-5]. Подгруппа, соизмеримая с некоторой вполне инертной подгруппой (в частности, с вполне инвариантной подгруппой), сама является вполне инертной [1, следствие 2.10]. В [2], соответственно и в [3], показано, что всякая вполне инертная подгруппа свободной группы и р-группы, разложимой в прямую сумму циклических групп, соизмерима с некоторой вполне инвариантной подгруппой; делимые группы таким свойством в общем случае не обладают [1]. Различным вопросам инертности в теории групп посвящена статья [6]. Лемма 1. Для подгруппы Н группы G следующие условия эквивалентны: 1) Н проективно инертна; 2) Н ~ пН + (1 - п)Н для всякой проекции п группы G; 3) Н ~ (A П Н) Ѳ (B П Н) для всякого прямого разложения G = A Ѳ B группы G. Доказательство. Эквивалентность 1) » 2) справедлива ввиду равенства пН + (1 - п)Н = Н + пН. 1) ^ 3) Поскольку (пН + Н)/Н = пН/(пН П Н), то пН П Н~ пН, аналогично (1 - п)Н П Н~ (1 - п)Н. Поэтому (пН П Н) + ((1 - п)Н П Н)) ~ пН + (1 - п)Н = = Н + пН ~ Н. Теперь следует учесть, что пН П Н с A П Н и (1 - п)Н П Н с B П Н. 3) ^ 1) Пусть п - проекция и ^G) = A, (1 - ^G = B. По условию Н~ (A П Н) Ѳ (B П Н). Поскольку B П Н с Н, то Н ~ (A П Н) + Н. Осталось заметить, что A П Н имеет конечный индекс в пН. Действительно, условие А.Р. Чехлов, О. В. Иванец 64 H ~ (A П H) Ѳ (B П H) означает, что почти все элементы подгруппы H содержатся в (A П H) Ѳ (B П H), но тогда почти все элементы %H содержатся в A П H. Из доказательства импликации 3) ^ 1) леммы 1 следует, что справедливо Замечание. Если H - проективно инертная подгруппа группы G = A Ѳ B, то A П H ~ пИ, где п - проекция группы G на A. Отметим следующие простые свойства. 1. Подгруппа, соизмеримая с некоторой проективно инертной подгруппой (в частности, с проективно инвариантной подгруппой), сама является проективно инертной. В связи с этим свойством представляет интерес вопрос изучения классов групп, в которых все проективно инертные подгруппы соизмеримы с проективно инвариантными подгруппами. 2. Если H - проективно инертная подгруппа группы G, то для любых проекций пь..., пп группы G подгруппа H + п1 (H) + ■ ■ ■ + nn(H) соизмерима с H. 3. Если H - проективно инертная подгруппа группы без кручения G, то n(H) с H* для всякой проекции п группы G, где H - чистая оболочка подгруппы H в G. В частности, подгруппа H* является проективно инвариантной в G. Это свойство вытекает из того, что подгруппа HJH факторгруппы G/H совпадает с ее периодической частью. 4. Если H - проективно инертная подгруппа группы G = A Ѳ B, то подгруппа A П H проективно инертна в A. Причем если ф е Hom (B.A), а а - проекция группы G, то подгруппа (A П H) + ф^ П H) + na(A П H) соизмерима с A П H, где п -проекция группы G на прямое слагаемое A. Первое утверждение этого свойства следует из того, что если A = U Ѳ V, то H~ (U П H) Ѳ (V П H) Ѳ (B П H), где A П H~ (U П H) Ѳ (VП H) и U П H = U П (A П H), V П H = V П (A П H). Далее, пусть п: G^A и Ѳ: G^B -проекции. Тогда п + пфѲ также является проекцией группы G и (п + пфѲ)((Л П Е)Ѳ(B П H)) = (A П H) + фф П H). Подгруппа (A П H) Ѳ (B П H) ввиду проективной инертности соизмерима с (A П ЩѲ^ П H) + + (п + пфѲ)((Л П H) Ѳ (B П H)), поэтому подгруппа A П H = п(^ П H) Ѳ (B П H)) соизмерима с подгруппой A П H + ф^ П H) = п(^ П H + ф^ П H)) Ѳ (B П H)). Покажем теперь, что A П H~A П H + па(A П H). Действительно, это следует из соотношений A П H~ п(И) з па(Л П H). Итак, A П H~ A П H + ф^ П H) и A П H~ A П H + m(A П H), поэтому A П H ~ A П H + ф^ П H) + па(Л П H). 5. Если проективно инертная подгруппа H группы G содержит ненулевую делимую подгруппу без кручения, то H содержит делимую часть D = D(G) группы G; а если H содержит подгруппу, изоморфную квазициклической p-группе Ж(рх), то H содержит p-компоненту группы D. Делимая часть D(H) группы H выделяется прямым слагаемым в G, G = D(H) Ѳ K. Имеем D = D(H) Ѳ (D П K). Поэтому если D(H) группа непериодическая, то она содержит прямое слагаемое, изоморфное Q. Всякая делимая группа ранга 1 является гомоморфным образом группы Q. Получаем, что для каждой делимой подгруппы D' ранга 1 группы D П K существует такой гомоморфизм ф е Hom (D(H), D'), что H П фH является подгруппой конечного индекса в D'. Делимые группы не имеют собственных подгрупп конечного индекса, поэтому D £ H. В случае подгруппы Ъ(рт) рассуждения аналогичны. О проективно инертных подгруппах вполне разложимых групп конечного ранга 65 6. Если делимая часть без кручения F группы G имеет бесконечный ранг и проективно инертная подгруппа H группы G является непериодической, то H содержит делимую часть D группы G. Имеем G = F Ѳ K и H~ (F П H) Ѳ (K П H). Поскольку всякая группа без кручения бесконечна, то из свойства 4 следует, что F П H #0 и является существенной подгруппой в F. Ввиду бесконечности ранга группа F П H имеет в качестве гомоморфного образа группу Q. Поэтому, как в свойстве 5, получаем, что D < H. Через Gp обозначим p-компоненту группы G. 7. Если G = D Ѳ R, где D = F Ѳ (Ѳ p Dp) - делимая часть группы G, F - делимая часть без кручения, Ѳр Dp -периодическая часть группы D и H - такая проективно инертная подгруппа группы G, что подгруппа H П R не является периодической, то подгруппа H П F существенна в F, причем D £ H, если ранг без кручения подгруппы H П R бесконечен. Если же подгруппа H П Rp не является ограниченной, то Dp £ H. Если подгруппа H П R не является периодической, то она содержит бесконечную циклическую подгруппу. Поскольку делимые группы инъективны, то отсюда следует, что H П D' Ф 0 для всякой делимой подгруппы без кручения D' ранга 1, в частности H П F существенна в F. Если же ранг без кручения подгруппы H П R бесконечен, то она содержит свободную группу K бесконечного ранга, всякая счетная группа является гомоморфным образом группы K; откуда следует, что H содержит каждую подгруппу ранга 1 группы D, значит, D £ H. Если группа H П Rp неограниченная, то существует эпиморфизм H П Rp^E(pm), откуда следует, что Dp £ H. Очевидно, что если A - вполне инвариантное прямое слагаемое группы G, то всякая проективно инертная подгруппа группы A будет проективно инертной подгруппой группы G. Справедливость следующего свойства также очевидна. 8. 1) Пусть G = A Ѳ B. проективно инертная подгруппа H группы A является проективно инертной подгруппой группы G тогда и только тогда, когда fH - конечная группа для каждого f е Hom (A, B). В частности, если A - проективно инертное прямое слагаемое в G, то Hom (A, B)A - периодическая подгруппа в B. 2) Если B - группа без кручения, а H - существенная проективно инертная подгруппа группы A, то H будет проективно инертной подгруппой группы G = A Ѳ B тогда и только тогда, когда A - вполне инвариантное прямое слагаемое в G. Из примера 4.7 статьи [1] следует справедливость следующего интересного факта. Пример 1. Если G - группа без кручения, конечного ранга n и H < G - ее вполне разложимая однородная подгруппа ранга п, то Hявляется вполне инертной в G. Пример 2. Если G - группа без кручения, ранг аддитивной группы кольца E(G) > 1 и все ненулевые эндоморфизмы группы G суть мономорфизмы, то всякая циклическая подгруппа X группы G (будучи проективно инвариантной) не является вполне инертной. Действительно, в этом случае найдется f е E(G), такой, что nf # m-1G, где 1G -тождественный эндоморфизм группы G. Поскольку все ненулевые эндоморфизмы группы G есть мономорфизмы, то отсюда следует, что фактор-группа (X + f(X)) / X будет бесконечной. А.Р. Чехлов, О. В. Иванец 66 Пример 3. Если A - неразложимая группа и X < A, то для всякой группы B со свойством Hom (B, A) = 0 подгруппа H = X Ѳ B является проективно инвариантной в G = A Ѳ B. Действительно, если G = UѲ V, то B = (U П B) Ѳ (V П B) ввиду вполне инвариантности подгруппы B, где U П B = U или V П B = V в силу неразложимости группы A. Поэтому, если, к примеру, U П B = U, то H = U Ѳ (V П H). Лемма 3. Пусть G = Gj Ѳ.. .Ѳ Gn, %{. G^Gi - соответствующие проекции и Ht - проективно инертные подгруппы групп Gj i = j,...,n. Подгруппа H = Hj Ѳ...Ѳ Hn является проективно инертной тогда и только тогда, когда для каждого i = 1,...,n подгруппа Hi соизмерима с Hi + ni0(Hi) + ф(ѲjФ i Hj) при каждой проекции Ѳ группы G и каждом ф е Hom (ѲjФ i Gj, G). Доказательство. Необходимость. Следует из свойства 4. Достаточность. Пусть Ѳ - проекция группы G. Имеем Ѳ = +...+ ппѲ. Достаточно показать, что H ~ H + n,0(H) для каждого i = J,...,n. Данная соизмеримость является следствием соизмеримости Ht с Ht + n,0(H). Поскольку n,0(H) = nfi(H) + п,0(ѲjФ j H}), где п,0 действует на ѲjФ ,■ Hj как гомоморфизм из Hom (ѲjФ i Gj, Gi), то соизмеримость Hi с Hi + n,0(H) выполняется по условию. Следствие 4. Пусть G = Gj Ѳ...Ѳ Gn, а H- такая проективно инертная подгруппа группы G, что все подгруппы H П Gi являются вполне инертными в G. Тогда подгруппа Hявляется вполне инертной в G. Пример 4. Пусть X - свободная группа конечного ранга, Y - периодическая группа. Тогда X является вполне инертной, не проективно инвариантной подгруппой в группе X Ѳ Y. Поскольку Hom (X, Y) Ф 0, то подгруппа X не проективно инвариантна в X Ѳ Y, а поскольку образ f(X) конечен для всякого f е Hom (X, Y), то X является вполне инертной подгруппой. Пример 5. Пусть A - неразложимая редуцированная группа без кручения и X-ее свободная подгруппа конечного ранга. Тогда если B - делимая группа без кручения конечного ранга, а Y - ее существенная свободная подгруппа, то X Ѳ Y является проективно инертной, но не проективно инвариантной подгруппой группы G = A Ѳ B. Доказательство. Подгруппа X является проективно инвариантной в A, а Y вполне инертной в B. Для всякого ф е Hom (A, B) фактор-группа (X + ф(У)) /X конечна как конечно порожденная периодическая группа. Поэтому по свойству 4 подгруппа XѲ Y является проективно инертной в G. Пусть f: A^B - такой гомоморфизм, что f(x) 2, Gi = Gj при ij = 1,...,n, то всякая проективно инертная подгруппа H группы G является вполне инертной. Доказательство. Пусть f е E(G), ni: G^Gi- проекции. Тогда f = nf +...+ nf Далее, если Ht = H П Gi, то достаточно показать соизмеримость Ht с Hi + nfH) + лД©jФ i Hj). Соизмеримость Ht с Ht + nf©jФ i Hj) есть следствие леммы 3, а соизмеримость Hi с Ht + %fHt) следует из изоморфизма прямых слагаемых G. Образ Kjf(Hi) соизмерим с образом подгруппы Hj (j Ф i) при некотором гомоморфизме Gj^Gj. Отметим, что в [5] изучались вполне инертные подгруппы вполне разложимых групп бесконечного ранга; в частности, там получен следующий результат. Пример 6. Пусть A - однородная вполне разложимая группа без кручения конечного ранга и pA Ф A для всякого простого числа p, B - однородная вполне разложимая идемпотентного типа группа без кручения бесконечного ранга и t(B) > t(A). Тогда в G = A © B всякая вполне инертная подгруппа H j 0 соизмерима с некоторой вполне инвариантной подгруппой.

Ключевые слова

вполне разложимая группа, индекс подгруппы, соизмеримые подгруппы, вполне инвариантная подгруппа, проективно инертная подгруппа

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Иванец Олеся ВладимировнаТомский государственный университетаспирантка механико-математического факультетаivanetsolessya@gmail.com
Чехлов Андрей РостиславовичТомский государственный университетдоктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебрыcheklov@math.tsu.ru
Всего: 2

Ссылки

Dikranjan D., Giordano Bruno A., Salce L., Virili S. Fully inert subgroups of divisible Abelian groups // J. Group Theory. 2013. V. 16. No 6. P. 915-939.
Dikranjan D. , Salce L. , Zanardo P. Fully inert subgroups of free Abelian groups // Period. Math. Hungar. 2014. V. 69. No 1. P. 69-78.
Goldsmith B., Salce L., Zanardo P. Fully inert subgroups of Abelian p-groups // J. of Algebra. 2014. V. 419. P. 332-349.
Чехлов А.Р. Вполне инертные подгруппы вполне разложимых групп конечного ранга и их соизмеримость // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2016. № 3(41). С. 42-50. doi.org/10.17223/19988621/41/4.
Чехлов А.Р. О вполне инертных подгруппах вполне разложимых групп // Матем. заметки. 2017. Т. 101. № 2. С. 302-312. doi.org/10.4213/mzm11171.
Dardano U., Dikranjan D., Rinauro S. Inertial properties in groups. // Int. J. Group Theory. 2018. V. 7. No 3. P. 17-62. doi.org/10.22108/ijgt.2017.21611.
 О проективно инертных подгруппах вполне разложимых групп конечного ранга | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/6

О проективно инертных подгруппах вполне разложимых групп конечного ранга | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/6