Исследование участка гидродинамической стабилизации степенной жидкости в круглой трубе | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/8

Исследование участка гидродинамической стабилизации степенной жидкости в круглой трубе

Рассматривается течение степенной жидкости в круглой трубе, на входе которой задан однородный профиль скорости. Сформулирована математическая постановка и разработан численный алгоритм решения, основанный на методе контрольного объема и корректирующей процедуре SIMPLE. Проведены параметрические исследования задачи в диапазоне изменения числа Рейнольдса Re от 0.1 до 80 и степени нелинейности n от 0.2 до 1.5. Проиллюстрировано разделение области течения на зону гидродинамической стабилизации потока в окрестности входной границы и зону одномерного течения. Построены зависимости размеров зоны стабилизации в зависимости от Re и n. Продемонстрировано согласование численных результатов с данными других исследований.

Investigation of a hydrodynamic entrance region for a power-law fluid flow in a round pipe.pdf Участок гидродинамической стабилизации ламинарного потока вязкой жидкости в плоском канале или круглой трубе, на котором происходит полное развитие профиля скорости от однородного до установившегося, исследуется достаточно давно. Так, в 1922 году в [1] была впервые проанализирована зона установления потока ньютоновской жидкости в круглой трубе. В настоящее время данные о длине зоны стабилизации представляют интерес для конструкторов и инженеров, разрабатывающих технологическое оборудования для переработки жидких материалов, в особенности проявляющих неньютоновские свойства. Сложность экспериментального измерения длины делает численное моделирование надежной альтернативой. Обзор экспериментальных и численных исследований для случая ньютоновской и псевдопластичных сред представлен в [2, 3]. Однако несмотря на обширность исследований данного течения существуют противоречия в данных по значениям длины участка стабилизации [3]. Зона установления течения степенной жидкости в плоских каналах подробно исследована в работе [4]. Представлена аппроксимация длины участка установления L0 в зависимости от значений числа Рейнольдса Re и степени нелинейности n, учитывающая немонотонность ее поведения в области малых значений n и конечное значение длины для ползущего течения. В работах [2, 5, 6] были приведены результаты исследования развития потока псевдопластичной жидкости. Продемонстрировано, что при умеренных значениях числа Рейнольдса длина зоны гидродинамической стабилизации является функцией степени нелинейности, в то время как при больших значениях Re рассматриваемая зависимость некорректна. Кроме того, получена зависимость длины зоны установления течения неньюто- 1 Исследование выполнено за счет гранта Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-08-00412). Исследование участка гидродинамической стабилизации степенной жидкости в круглой трубе 79 новской жидкости в трубе от степени нелинейности. В работах [7, 8] исследуются течения бингамовского пластика. В настоящей работе проведено математическое моделирование ламинарного течения несжимаемой степенной жидкости в осесимметричной трубе в интервале изменения степени нелинейности, захватывающем и псевдопластичный и дилатантный диапазоны, с целью определения длины зоны гидродинамической стабилизации потока. При этом использованы различные методики определения длины зоны и проведен их сравнительный анализ. Постановка задачи Рассматривается ламинарное установившееся течение степенной несжимаемой жидкости в круглой осесимметричной трубе радиусом R. Используется цилиндрическая система координат. Область течения ограничена твердыми стенками (Г2), входным (Г3) и выходным (Г4) сечениями (рис. 1). Во входном сечении (Г3) задается одно- ^ 1 Рис. 1. Область течения и система координат Fig. 1. Flow region and a system of axes родный профиль скорости. В сечении Г4 задается нулевая радиальная компонента скорости и выполняется мягкое граничное условие, которое предполагает нулевую производную аксиальной скорости по z. В силу симметрии потока относительно оси трубы искомые функции не будут зависеть от угловой координаты. На границе Гі выполняется условие симметрии потока, на Г2 -условие прилипания. Продольный размер трубы выбирается достаточным, чтобы исключить влияние входной границы на характер течения в выходном сечении. Математическая постановка включает уравнения движения и неразрывности, которые в безразмерных переменных в векторном виде записываются следующим образом: (1) {Re(U • V) U = -Vp + V • (2pE), V-U = 0. Реологическое поведение среды описывается законом Оствальда - де Вааля, в соответствии с которым эффективная вязкость определяется формулой n = An-1. (2) Здесь U - вектор скорости с проекциями (U, V) на оси цилиндрической системы координат (r, z), p - давление, A = yj2eijeji - интенсивность тензора скоростей деформаций E, где e^ = - dVj dV + dx dx Re pU02-nRn k - число Рейнольдса, p плотность жидкости, k - консистенция среды, n - коэффициент нелинейности. В качестве безразмерных масштабов длины, скорости и давления используются Е.И. Борзенко, Д.Н. Гарбузов 80 величины: R, U0 значение скорости во входном сечении и комплекс к Uo R П Перечисленные граничные условия, дополняющие систему уравнений (1), (2), запишутся в виде: Г : dV dr = 0, U = 0; (3) Г2 : V = 0, U = 0; Г3 : V = 1, U = 0; dV Г.: - = 0, U = 0. dz Таким образом, решение задачи сводится к отысканию полей скорости и давления, удовлетворяющих системе уравнений (1), (2) с граничными условиями (3). Зона, в которой происходит перестроение течения, называется зоной гидродинамической стабилизации потока, размеры которой определяются параметрами задачи и видом граничных условий. При этом в выходном сечении реализуется течение, описываемое в рамках одномерной задачи об установившемся движении степенной жидкости в трубе под действием перепада давления, обеспечивающим единичный расход [9]. Метод решения Сформулированная задача решается численно с помощью метода контрольных объемов и корректирующей процедуры SIMPLE [10], при этом дискретизация уравнения движения проводится с использованием противопоточной схемы. Для нахождения стационарных полей скорости и давления применяется метод установления [11], который предполагает добавление в уравнения движения производной скорости по времени, при этом расчеты ведутся до установления стационарного режима. Данная методика успешно применялась для решения задачи о напорном течении жидкости в канале сложной конфигурации [12] В табл. 1 приведены значения аксиальной скорости на оси V1 в выходном се чении и относительной погрешности е = V - V теор 1 •100%, где VTCOp 3n +1 -, выn+1 численные на последовательности сеток. Представленные результаты демонстрируют аппроксимационную сходимость численной методики. Т аблица 1 Аппроксимационная сходимость при Re = 20; n = 0.75 Шаг сетки V1 е, % 1/10 1.836971 1.086185 1/20 1.849712 0.400185 1/40 1.852771 0.235415 1/80 1.852774 0.235415 Исследование участка гидродинамической стабилизации степенной жидкости в круглой трубе 81 В табл. 2 представлены значения длины участка гидродинамической стабилизации L0 на последовательности сеток, вычисленные в соответствии с методиками различных авторов. Величина длины L01 определяется как расстояние от входа в трубу до сечения, в котором значение касательного напряжения на стенке отличается от напряжения стабилизированного течения не более чем на 1% [13]. Выражение для стабилизированного касательного напряжения на стенке определяется формулой т ст и следует из аналитического решения задачи об установившемся течении степенной жидкости в круглой трубе. Длина участка установления L02 определяется как расстояние от входного сечения до сечения, в котором аксиальная скорость при r = 0 будет составлять 0.99 от Ѵтеор [2]. Величина L03 определяется исходя из того, что в стабилизированном потоке жидкости радиальная составляющая скорости близка к нулю и не превосходит значение 0.01. Т аблица 2 Аппроксимационная сходимость L0 при Re = 10; n = 0.75 Шаг сетки L01 L02 L03 1/10 2.5479 6.6063 2.2825 1/20 2.8152 3.6912 2.2879 1/40 2.9710 3.4873 2.2859 1/80 3.0167 3.4819 2.2839 Аппроксимационная сходимость расчета длины зоны наблюдается для любого способа расчета, однако вычисленные значения отличаются друг от друга, что может являться причиной разночтений при сравнение результатов различных авторов, отмеченные в работе [3]. Все дальнейшие расчеты выполнены на сетке с шагом 1/40 с использованием второй методики определения длины участка гидродинамической стабилизации потока. Результаты расчетов В результате численного эксперимента показано, что в области течении можно выделить два характерных участка: участок двумерного распределения кинематических характеристик в окрестности входа и участок одномерного распределения в остальной части области течения (рис. 2). В зоне одномерного распределения характеристики потока соответствуют полностью развитому течению в трубе с единичным расходом. В зоне двумерного распределения происходит перестроение однородного профиля в полностью развитый. В литературе ее называют зоной гидродинамической стабилизации потока. Размеры последней определяются параметрами жидкости и потока. При проведении параметрических расчетов величина длины канала выбиралось достаточной для того, чтобы в выходном сечении поток соответствовал одномерному установившемуся течению рассматриваемой жидкости с единичным расходом. Видно, что на входе в окрестности стенки образуется пик давления. Е.И. Борзенко, Д.Н. Гарбузов 82 L 0 -0.2 -0.22 -0.24 -0.26 -0.28 -0.3 -0.32 -0.34 -0.36 °.5 0 0.5 r z 4.5 -0.01 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1 -0.12 -0.14 -0Л6 2.5-0.18 3.5 3 2 1.5- 2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 4 3 32 44 2 1 0 -\\А' 0.4 0.3 1 0.2 0.1 0 0.5 r “Г 0.5 r Рис. 2. Поля распределения U(а), V(b) иP (c) при Re = 0.1, n = 0.7 Fig. 2. Distributions of (a) U, (b) V, and (c) P at Re = 0.1, n = 0.7 На рис. 3 продемонстрированы распределения компоненты скорости V в поперечных сечениях с ростом аксиальной координаты для значений n = 0.2 и 1.5. Видно, что изначально однородный профиль скорости постепенно перестраивается. Наряду с торможением потока на стенке, где реализуется условие прилипания, вблизи оси симметрии трубы скорость увеличивается. В конечном итоге профиль скорости соответствует полностью развитому, определяемому по следующей формуле [9]: Скорость V, соответствующая развитому профилю, обозначена на рис. 3 точками. Отметим, что с уменьшением степени нелинейности профиль скорости в зоне одномерного течения больше соответствует изначально однородному, заданному во входном сечении, профилю. Сравнение распределений скорости V вдоль оси трубы и в выходном сечении с результатами [14] при разных значениях коэффициента нелинейности представлено на рис. 4. Сплошная линия - результаты настоящей работы, пунктирная - результаты [14]. Наблюдается хорошее качественное и количественное совпадение результатов для всех значений n. Видно, что с уменьшением значения n происходит уменьшение максимальной скорости на выходе. Исследование участка гидродинамической стабилизации степенной жидкости в круглой трубе 83 Рис. 3. Развитие профиля аксиальной скорости при Re = 10: а - n = 0.2, z = 0 (1), 0.25 (2), 0.875 (3), 15 (4); (b) n = 1.5; z = 0 (1), 0.25 (2), 0.625 (3), 10 (4) Fig. 3. Development of the axial velocity profile at Re = 10: (a) n = 0.2, z = (1) 0, (2) 0.25, (3) 0.875, and (4) 15; (b) n = 1.5; , z = (1) 0, (2) 0.25, (3) 0.625, and (4) 10 Рис. 4. Распределение аксиальной скорости на границе Г! (а) и Г2 (b): Re = 100/2n, n = 0.6 (1), 0.8 (2), 1 (3), 1.4 (4) Fig. 4. Axial velocity distribution at the boundary (a) Гj and (b) Г2: Re = 100/2n, n = (1) 0.6, (2) 0.8, (3) 1, (4) 1.4 На рис. 5 показаны результаты параметрических расчетов зависимости длины зоны гидродинамической стабилизации L0 от степени нелинейности n при разных значениях числа Re. Как видно из графика, длина участка стабилизации растет при уменьшении n до некоторого значения, после чего начинает уменьшаться с дальнейшим уменьшением n. Такое поведение можно объяснить следующим. С одной стороны, уменьшение степени нелинейности приводит к уменьшению эффективной вязкости в окрестности стенки и, как следствие, большей длине зоны Е.И. Борзенко, Д.Н. Гарбузов 84 гидродинамической стабилизации. С другой стороны, с уменьшением n полностью развитый профиль больше соответствует однородному, который задан во входном сечении, что должно приводить к меньшим размерам зоны стабилизации. По-видимому, при n > 0.3 доминирует первый эффект, а при n < 0.3 - второй. Рис. 5. Зависимости длины участка гидродинамической стабилизации L0 от коэффициента нелинейности n при Re = 0.01 и 10 Fig. 5. Development length L0 as a function of the power-law index n at Re = 0.01 and 10 Из рис. 5 видно, что длина участка гидродинамической стабилизации при увеличении значения числа Рейнольдса увеличивается. Представлено сравнение полученной зависимости длины участка гидродинамической стабилизации от n с работой [2]: .1.611/16 (0.246n2 - 0.675n +1.03) ' L02 _ 2 0.4536 ( - 1 Re 1 . Наблюдается качественное совпадение. Стоит отметить, что зависимость, описываемая формулой из работы [2], является корректной в области 0.4< n 10 и является некорректной при малых значениях Re, не описывая конечную длину в области ползущего течения. Исследование участка гидродинамической стабилизации степенной жидкости в круглой трубе 85 Рис. 6, b демонстрирует зависимость участка гидродинамической стабилизации от значения числа Рейнольдса в области малых Re (0 < Re < 1). Видно, что в области ползущего течения наблюдается слабая зависимость L0 от Re. Из рис. 6, a видно, что общая картина зависимости длины зоны установления от значения числа Рейнольдса отличается от таковой для малых значений Re. Исходя из результатов, полученных при 1 < Re < 80, можно сделать вывод, что L0 линейно зависит от Re. Наблюдается качественное и количественное соответствие с результатами, представленными в работах [2]. Стоит отметить, что количественное совпадение с [15] имеется только в области линейной зависимости L0 от Re. Рис. 6. Изменение L02 с увеличением Re Fig. 6. Variation of L02 with increasing Re Е.И. Борзенко, Д.Н. Гарбузов 86 Заключение В результате проведенных исследований установлена немонотонная зависимость длины зоны гидродинамической стабилизации потока от степени нелинейности. Показано, что результаты расчетов длины зоны гидродинамической стабилизации могут значительно отличаться друг от друга в зависимости от выбранной методики её определения. С уменьшением n до некоторого значения размеры зоны увеличиваются, а после начинают уменьшаться. Показано, что зависимость L0 от числа Рейнольдса Re в диапазоне от 1 до 80 достаточно хорошо аппроксимируется линейной зависимостью. В области малых Re размеры зоны практически не изменяются.

Ключевые слова

параметрические исследования, метод контрольного объема, участок гидродинамической стабилизации, труба, степенная жидкость

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Борзенко Евгений ИвановичТомский государственный университеткандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной газовой динамики и горенияborzenko@ftf.tsu.ru
Гарбузов Дмитрий НиколаевичТомский государственный университетстудент кафедры прикладной газовой динамики и горенияdmitrij.garbuzov.98@mail.ru
Всего: 2

Ссылки

Matras Z., Nowak Z. Laminar entry length problem for power law fluids // Acta Mech. 1983. V. 48 Iss. 1-2. P. 81-90. DOI: 10.1007/BF01178498.
Chen-I Hung, Yeong-Yan Perng. Flow of non-Newtonian fluid in the entrance region of a tube with porous walls // Int. J. Heat Fluid Flow. 1991. V. 12 Iss. 3. P. 263-268. DOI: 10.1016/0142-727X(91)90061-Y.
Патнкар С.В. Численные методы решения задач теплообмена и механики жидкости. М.: Энергоиздат, 1988. 526 с.
Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы: введение в теорию. М.: Наука, 1973. 400 с.
Борзенко Е.И., Дьякова О.А. Исследование течения вязкой жидкости в Т-образном канале с условиями прилипание - скольжение на твердой стенке // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. № 42(4). С. 58-69. DOI: 10.17223/19988621/42/6.
Янков В.И. и др. Переработка волокнообразующих полимеров. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2008. 264 с.
Capobianchi M., McGah P. Developing Region Solution for High Reynolds Number Laminar Flows of Pseudoplastic and Dilatant Fluids in Circular Ducts // J. Fluids Eng. 2017. V. 139 Iss. 4. DOI: 10.1115/1.4035242.
Ookawara S. et al. Unified Entry Length Correlation for Newtonian, Power Law and Bingham Fluids in Laminar Pipe Flow at Low Reynolds Number // J. Chem. Eng. JAPAN. 2000. V. 33 Iss. 4. P. 675-678. DOI: 10.1252/jcej.33.675.
Poole R.J., Chhabra R.P. Development Length Requirements for Fully Developed Laminar Pipe Flow of Yield Stress Fluids // J. Fluids Eng. 2010. V. 132 Iss. 3. DOI: 10.1115/ 1.4001079.
Bird R.B., Dai G.C., Yarusso B.J. The Rheology and Flow of Viscoplastic Materials // Rev. Chem. Eng. 1983. V. 1. Iss. 1. P. 1-70. DOI: 10.1515/revce-1983-0102.
Durst F. et al. The development lengths of laminar pipe and channel flows // J. Fluids Eng. Trans. ASME. 2005. V. 127 Iss. 6. P. 1154-1160. DOI: 10.1115/1.2063088.
Fernandes C. et al. Development length in planar channel flows of inelastic non-Newtonian fluids // J. Nonnewton. Fluid Mech. 2018. V. 255. P. 13-18. DOI: 10.1016/ j.jnnfm.2018.02.011.
Chebbi R. Laminar flow of power-law fluids in the entrance region of a pipe // Chem. Eng. Sci. 2002. V. 57. Iss. 21. P. 4435-4443. DOI: 10.1016/S0009-2509(02)00422-0.
Schiller L. Untersuchungen uber laminare und turbulente Stromung // ZAMM - Zeitschrift fur Angew. Math. und Mech. 1922. V. 2 Iss. 6. P. 478-478. DOI: 10.1002/zamm. 19220020615.
Poole R.J., Ridley B.S. Development-length requirements for fully developed laminar pipe flow of inelastic non-Newtonian liquids // J. Fluids Eng. Trans. ASME. 2007. V. 129 Iss. 10. P. 1281-1287. DOI: 10.1115/1.2776969.
 Исследование участка гидродинамической стабилизации степенной жидкости в круглой трубе | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/8

Исследование участка гидродинамической стабилизации степенной жидкости в круглой трубе | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 67. DOI: 10.17223/19988621/67/8