A quadrature formula for the derivative of logarithmic potentials.pdf 1. Введение и постановка задачи Известно, что [1] краевые задачи для уравнения Лапласа Дм = 0 можно привести к криволинейному сингулярному интегральному уравнению, зависящему от производной логарифмического потенциала простого слоя V(x) = |gradxФ(x,y)p(y)dLy, x = (x^X2)eL, (1) L и от нормальной производной логарифмического потенциала двойного слоя dW (x) dn (x) d dn (x) rSO(xyy) 1 dn (y) P( y)dLy Л J x e L, (2) где L c R2 - простая замкнутая кривая Ляпунова с показателем 0 2M1 (b - a) / d равных частей: tk = a + (b - a) k n k = 0, n , где M1 = max I x1 (t))2 +(x2 (t))2 < +« (см. [6]) и d t&[a,b] 1 - радиус стандартной окружности (см. [7]). В качестве опорных точек возьмем x(тк), к = 1, n, где (b - a)(2k -1) тк = a + ----1. Тогда кривая L разбивается на элементарные части 2n L = U L , где Lk = { x (t): tk-1 < t < tk}. Известно, что [8] i=1 (1) Vk £ {1,2,...,n} : rk(n)~Rk(n)1, где rk (n) = min{|x(Tk)-x(tk-1 )|\\x(tk)-x(Tk)|} и Rk(n ) = max {lx (Tk)-x (tk-1 )\\,\\x (tk)-x (Tk)}; (2) Vk £ {1,2,...,n} : Rk (n) < d/2; (3) Vk, j £{1,2,...,n} : r} (n) ~rk (n); (4) r (n) ~ R (n) ~1, где R (n) = max Rk (n), r (n) = min rk (n). n k=1, n k=1, n В дальнейшем такое разбиение будем называть разбиением кривой L на «реn гулярные» элементарные части: L = U L. l =1 Лемма 1 [9]. Существуют такие постоянные C0 > 0 и С[> 0, независящие от n , для которых при Vk, j £ {1,2,...,n}, j Ф k и Vy £ Lj справедливо следующее неравенство: С0 \\y - x (Tk ^< |x (т;)-x (Tk ^< C1\\y - x (Tk ^. () Очевидно, что существует натуральное число n0 такое, что (R (n ))'+“< min {1, d/2}, Vn > n0 . a (n) ~ b (n) о C1 < a(n)/ b (n) < C2, где С и C2 - положительные постоянные, не зависящие от n. Квадратурная формула для производной логарифмических потенциалов 7 Через Hр (L) обозначим линейное пространство всех непрерывных на L функций ф , удовлетворяющих условию |ф(^) - ф(и2)| < Сф \\щ - u2 |в , Vmj,u2 e L , где 0 (ті)- у I * t (R(n))1 - M| |pL(R (n) )a |ln R(n)|. Пусть y - Lj, j - Ql. Тогда Уі - x (ті) xi (тj )- xi (ті) lx (ті)- y Г |x (ті)- x (т j )) - M- R(n) '(ті)- y|2 а, значит, L - (-qi l yi - xi (Ті ) xi (т j )- xi (ті) lx(Ti)-yl lx(Tl)-x(Tj)l p( У )dLy Квадратурная формула для производной логарифмических потенциалов 9 diamL a 5 т где ю(ф,т) = max ^(x)-ф(у)|. |x - У

Скачать электронную версию публикации