On determinability of a completely decomposable rank 2 group by its automorphism group.pdf Пусть B е X, где X - некоторый класс абелевых групп. Мы будем говорить, что B определяется своей группой автоморфизмов в классе X, если из изоморфизма групп автоморфизмов Aut B и Aut B', где B' е X, всегда следует B = B'. Всюду ниже под X понимается класс всех вполне разложимых групп (без кручения) ранга 2. Данная статья служит продолжением работы [1] и развивает некоторые идеи работы [2], посвящённой определяемости групп класса X их группами автоморфизмов. Напомним, что вполне разложимой группой ранга n называется всякая группа B, представимая в виде прямой суммы n групп ранга 1; хорошо известно (см. [3]), что любые два таких разложения группы B будут изоморфны. Так как всякая группа ранга 1 изоморфна некоторой рациональной группе (т.е. ненулевой подгруппе аддитивной группы поля рациональных чисел Q), то для удобства можно сразу рассматривать группы из класса X как прямые суммы двух рациональных групп. В статье [2] были получены необходимые и достаточные условия существования изоморфизма Aut B = Aut B' для 2-делимых групп B, B' е X. В настоящей работе аналогичная задача решена уже для произвольных групп класса X. Пусть P - множество всех простых чисел. Для всякого множества L с P будем обозначать символом Q(L) то подкольцо поля Q, которое порождается элементом 1 и числами /Г1, где p е L. Хорошо известно, что все подкольца поля Q исчерпываются кольцами вида Q(L). Через t(Y ) обозначается тип группы Y ранга 1; подробнее о типах см. [3]. Для рациональных групп Y и Z положим rYZ = {а е Q | aY с Z}. Несложно проверить, что справедливы следующие свойства: 1) (Г YZ, +) - абелева группа, изоморфная группе гомоморфизмов Hom(Y, Z). 2) ГYY = Q(l), где L - множество всех простых чисел р, таких, что pY = Y. При этом кольцо ГYY изоморфно кольцу эндоморфизмов E(Y ) группы Y, а группа обратимых элементов U (ГYY) кольца ГYY изоморфна группе Aut Y. 3) ГKYГYZ с Г^. 4) Если неравенство t(Y ) < t(Z) не выполнено, то Г^ = 0. 1 Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для молодых учёных - докторов наук МД-108.2020.1. В.К. Вильданов, В.А. Гайдак, Е.А. Тимошенко 24 5) Если t(Y) < t(Z), то rYZ Ф 0 и t(rYZ) = t(Z): t(Y ). Нетрудно видеть, что кольцо эндоморфизмов E(B) вполне разложимой группы B = Y Ѳ Z ранга 2 изоморфно кольцу матриц rYY Г ZY rYZ Г ZZ (1) (с обычными операциями сложения и умножения). Поэтому в дальнейшем будем отождествлять кольцо E(B) с подкольцом (1) кольца матриц M(2, Q) порядка 2 над полем Q и считать, что группа Aut B совпадает с матричной группой U (E(B)). Группы матриц порядка 2 над подкольцами поля Q Для коммутативного кольца с единицей R через GL2(R) обозначается группа обратимых (2 х 2)-матриц с элементами из R; эта группа состоит из тех матриц A = a b I, где a, b, c, d e R, (2) 4c d j для которых определитель \\A\\ = ad - bc есть обратимый элемент кольца R. Введём обозначения E = 0 0> X(h) = (‘_+hh , -hhj , W(h) = 0_-hh , hh T (h) = 0 hj, «*>=(h D, j=(0 -0ij, '=(0 0 Следующая лемма носит технический характер. Лемма 1. а) Для любых g, h e Q выполнены равенства T(g)T(h) = T(g+h), P(g)P(h) = P(g+h),X(g)X(h) = X(g + h) и W(g)W(h) = W(g+h). б) Если h Ф 0, то T (h) не является инволюцией. в) Если для некоторого h e Q матрица A вида (2) равна какой-то из матриц T(h), -T(h), P(h), -P(h), то число h с данным свойством определено однозначно. г) Если для некоторого h e Q матрица A вида (2) равна какой-то из матриц X(h), -X (h), W(h), -W(h), то число h с данным свойством определено однозначно. д) Если g, h e Q \\ {0}, то T(h)P(g) ФP(g)T(h) иX(h)W(g) Ф W(g)X(h). Доказательство. Утверждения а) и б) проверяются непосредственно. в) Легко заметить, что во всех четырёх случаях выполнено h = a(b + c). г) Во всех четырёх случаях имеем h = b(a + d)/2. д) Первая часть утверждения следует из того, что элементы, стоящие в левом верхнем углу матриц T(h)P(g) и P(g)T(h), равны 1 + gh и 1 соответственно. Вторая часть утверждения следует из того, что элементы, стоящие в правом верхнем углу матриц X(h)W(g) и W(g)X(h), равны соответственно g + h + 2gh и g+h - 2gh. ■ Множество ML2(R) c GL2(R), элементами которого служат матрицы с определителем ±1, очевидно, является подгруппой в GL2(R). В [1] было показано, что если R - подкольцо поля Q, то множество всех нецентральных инволюций группы ML2(R) совпадает с множеством матриц вида a b c -I , где a2 + bc = 1. (3) Следующий результат подчёркивает важность инволюций J и I: Теорема 2 [1]. Если R - подкольцо в Q, то всякая нецентральная инволюция группы ML2(R) сопряжена в этой группе хотя бы с одной из инволюций J и I. ■ Об определяемое вполне разложимой группы ранга 2 её группой автоморфизмов 25 Через CG (A) будем обозначать централизатор элемента A группы G. Предложение 3. Пусть R - подкольцо поля Q и G = ML2(R). Тогда: а) Cg (J) б) Cg (I) a, d е R и ad = ±1} . a,b е R и (a + b)(a - b) = ±1 в) Если R совпадает с кольцом целых чисел Z, то множества CG (J) и CG (I) состоят из 4 элементов; если R Ф Z, то множества CG (J) и CG (I) бесконечны. Доказательство. а) Матрица A вида (2) принадлежит CG (J) тогда и только тогда, когдаAJ = JA (т.е. b = c = 0) и \\A \\ = ±1. Отсюда следует нужное утверждение. б) Для матрицы A вида (2) из равенства AI = IA следует d = a и c = b. Условие A е G для матрицы A с такими свойствами эквивалентно равенству a2 - b2 = ±1. в) Если R = Z, то произведение двух элементов из R равно ±1 тогда и только тогда, когда каждый из этих элементов равен ±1. С учётом а) и б) отсюда следует, что CG (J) = {E, -E, J, -J} и CG (I) = {E, -E, I, -I}. Предположим теперь, что R Ф Z. Тогда найдётся простое число р, такое, что pR = R. Множества CG (J) и CG (I) в этом случае бесконечны, так как е Cg (J) (pn + р-n )/2 (pn - р-n )/2^ C ) Р -рn)/2 (рп+p-n)N G(I) для любого натурального n (заметим, что элементы второй из этих матриц действительно принадлежат R как при нечётном р, так и в случае р = 2). ■ Теорема 4. Если R и S - подкольца поля Q и ML2(R) = ML2(S), то R = S. Доказательство. Пусть G = ML2(R), H = ML2(S) и ф: G ^H - какой-то изоморфизм. Тогда ф переводит нецентральную инволюцию J е G в некоторую нецентральную инволюцию A е H. В силу теоремы 2 инволюция A сопряжена в H хотя бы с одной из инволюций J и I, т.е. найдётся внутренний автоморфизм группы H, переводящий A в J или в I. Значит, существует изоморфизм G ^ H, переводящий J в J или в I. В связи с этим будем сразу считать, что ф(.Т) е {J, I}. Ясно, что ф переводит CG (J) в множество CH(ф(./)). Если S = Z, то CH(ф^)) содержит ровно 4 элемента (см. предложение 3). Тогда CG (J) также содержит ровно 4 элемента. Снова применяя предложение 3, получаем, что R = Z. Далее считаем, что S Ф Z. Для матрицы A = [ a °1е CG (J) имеем AT (h) A-1 = a 0 0 ahd 1 = T(ahd 1). Так как T (h) и T (ahd -1) коммутируют, то для любых A е CG (J) и h е R выполнено T(h)AT(h)A-1 = AT(h)A~lT(h). Поскольку ф переводит множество CG(J) в CH(ф(.Т)), то для матрицы U = ф^ (h)) е H и для произвольной матрицы F е CH (ф(.Т)) имеем UFUF 4 = FUF 4U. (4) Поскольку T (h) J - нецентральная инволюция, то Uф(J) тоже является нецентральной инволюцией. Будем считать, что матрица ^(J) задана формулой (3), где a, b, c е S. Рассмотрим два возможных случая. c -a J\\ 0 -1 c a I. Пусть ф(Т) = J. Тогда U = UJ ■ J = \\ a b " 1 0 ' ' a -b В.К. Вильданов, В.А. Гайдак, Е.А. Тимошенко 26 Для произвольной матрицы F x 0 0 У. е CH (J) имеем FUF-1 x 0 V a -b 1 fy 0 1 axy -bx2'' 0 yJtc a J' |F|\\0 xj_ |F|\\cy2 axy , Отсюда мы получаем, что элементы, которые стоят в левом верхнем углу матриц |F| ' UFUF-1 и |F| ' FUF4U, равны a2xy - bcy2 и a2xy - box2 соответственно. В силу равенства (4) из этого следует, что box2 _ bcy2 при всех допустимых x и y. Поскольку S Ф Z, то x и y можно выбрать так, чтобы x2 Ф y2 (см. доказательство пункта в) предложения 3). Это означает, что bc _ 0. Так как a2 + bc _ 1, получаем, что матрица U равна какой-то из матриц 1 -b 0 1 » -b), (c b), (;■ -°1), т.е. имеет вид T(f), -T(f), P(f) или -P(f), гдеf е S. Мы доказали, что для любого h е R матрица ф(Т (h)) имеет вид T (fh), -T(fh), P(fh) или -P(fh); из леммы 1 следует, что элементfh е S определён однозначно. Заметим, что T (0) _ E _ P(0). Если h Ф 0, то T (h) не является инволюцией и, следовательно, ф^ (h)) тоже не является инволюцией. Значит, ф^ (h)) не может совпадать с ± T(0) или с ± P(0). Таким образом, при всех h е R\\ {0} имеем fh Ф 0. Докажем, что либо при всех h е R \\ {0} выполнено ф^ (h)) _ sh T(fh), либо при всех h е R\\ {0} выполнено ф(T (h)) _ shP(fh) (где sh е {-1, 1} для всех h е R\\ {0}). Допустим противное: пусть существуют g, h е R\\ {0}, такие, что ф^ (g)) _ sg P(fg) и ф^ (h)) _ sh T(fh) (тогда fg, fh Ф 0). Так как T (g) и T(h) коммутируют, то матрицы ф^(g)) и ф(T(h)) также коммутируют. Но это значит, что T(fh)P(fg) _ P(fg)T(fh) -получаем противоречие с пунктом д) леммы 1. При h _ 0 имеем ф(T (h)) _ ф(Е) _ E _ T(0) _ P(0). Поэтому доказанное утверждение можно усилить: либо для всех h е R выполнено ф^ (h)) _ eh T(fh), либо для всех h е R выполнено ф^ (h)) _ eh P(fh), где eh е {-1, 1} при всех h е R. В первом из этих случаев для любых g, h е R имеем Sg+h T (fg+h) _ ф^ (g + h)) _ ф^ (g) ' T (h)) _ ф(T (g))ф(T (h)) _ _ Sg T(fg) ' 8h T(fh) _ EgZh T(fg)T(fh) _ 8g8h T(fg +fh). Поскольку sgsh е {-1, 1}, то ввиду пункта в) леммы 1 отсюда следует равенство fg+h _ fg +fh, точно так же показывается, что это равенство справедливо во втором из упомянутых случаев. Мы доказали, что сопоставление h ^ fh задаёт гомоморфизм из (R, +) в (S, +). Он инъективен, так как ранее было установлено, что fh Ф 0 при всех h Ф 0. II. Пусть теперь ф^) _ I. Тогда U _ UI'I _(a b If 0 1 b a I c - a JI 1 0 Для произвольной матрицы F _ FUF-1 x y y x. x ^ J е CH (I) имеем ' b a \\ 1 ( x - y \\ ~a c J | F | f-y x J 1 ( bx2 - 2axy - cy2 ax2 + (c - b)xy + ay2 | F | ^-ax2 - (c - b)xy - ay2 cx2 + 2axy - by2 Об определяемое вполне разложимой группы ранга 2 её группой автоморфизмов 27 Отсюда можно вывести, что элементы, находящиеся в правом верхнем углу матриц |F| • UFUF-1 и |F| • FUF~lU, равны выражениям a(b + c)x2 + (2a2 + bc - b2)xy и a(b + c)x2 + (c2 - bc - 2a2)xy соответственно. С учётом равенства (4) получаем, что при всех допустимых значениях x и у выполнено (2a2 + bc - b2)xy = (c2 - bc - 2a2)xy и, следовательно, (4a2 - (b - c)2)xy = 0. Поскольку S ф Z, то x и y можно выбрать так, чтобы xy ф 0 (см. доказательство пункта в) предложения 3). Это означает, что (b - c)2 = 4a2, т.е. b - c = ± 2a. Далее, имеем 4 = 4a2 + 4bc = (b - c)2 + 4bc = (b + c)2, отсюда b + c = ± 2. Мы получаем четыре различных системы уравнений относительно неизвестных b и c. Решая эти системы, можно заключить, что матрица U равна какой-то из матриц (1 + a a \\ (a -1 a \\ (1- a a \\ (-a -1 a \\ -a 1- a , -a -a - 1) - a 1 + a, -a a -1) (т.е. имеет видX (f), -X(f), W(f) или -W(f), гдеf e S). Мы доказали, что для любого h e R матрица ф(T (h)) имеет вид X (fh), -X(fh), W(fh) или -W(f); из леммы 1 следует, что элемент fh e S определён однозначно. Заметим, что X(0) = E = W(0). Если h ф 0, то ф(Т (h)) не является инволюцией и, следовательно, не может совпадать с ± X (0) или с ± W(0). Таким образом, при всех h e R\\ {0} выполнено fh ф 0. Как и в случае I, с помощью пункта д) леммы 1 можно доказать, что либо при всех h e R выполнено равенство ф(Т (h)) = eh X(fh), либо при всех h e R выполнено ф(Т(h)) = 6h W(fh) (где 6h e {-1, 1} при всех h e R). Применяя теперь пункт а) той же леммы, можно убедиться, что для любых g, h e R справедливо равенство fg+h = fg +fh (рассуждения проводятся аналогично случаю I). Таким образом, сопоставление h ^f задаёт гомоморфизм из (R, +) в (S, +); он инъективен, так как fh ф 0 при всех h ф 0. Итак, во всех рассмотренных случаях существует групповой мономорфизм R ^S; в силу симметрии существует также мономорфизм S^R. Так как R и S -подкольца (с единицей) поля Q, то отсюда следует R = S. ■ Из теоремы 4 получается Теорема 5. Для подколец R и S поля Q эквивалентны условия: 1) GL2(R) = GL2(S); 2) ML2(R) = ML2(S); 3) R = S. Доказательство. Импликация 3) ^ 1) очевидна; импликация 2) ^ 3) доказана в теореме 4. Из того факта, что кольцо R евклидово, можно вывести, что специальная линейная группа SL2(R) порождается матрицами вида Т (h) и P(h), где h e R. Так как матрицы T (h) и P(h) представимы в виде произведения инволюций из GL2(R): 1 h 0 -1 1 0 0 -1 T (h) , P(h) h 0,10 01) • то аналогичное утверждение верно и для произвольной матрицы из SL2(R). Далее, всякая матрица из ML2(R) либо сама принадлежит SL2(R), либо может быть записана в виде UJ, где U e SL2(R). Следовательно, каждая матрица из ML2(R) также может быть представлена как произведение инволюций группы GL2(R). Так как все инволюции этой группы лежат в ML2(R), то ML2(R) есть подгруппа группы GL2(R), порождённая всеми принадлежащими GL2(R) инволюциями. Таким образом, строение группы ML2(R) однозначно определяется группой GL2(R), откуда следует справедливость импликации 1) ^ 2). ■ В.К. Вильданов, В.А. Гайдак, Е.А. Тимошенко 28 Определяемость группой автоморфизмов Теперь мы готовы приступить непосредственно к решению вопроса об определяемое™ вполне разложимой группы ранга 2 её группой автоморфизмов. Будем называть вполне разложимую группу B = YѲ Z е X: - диагональной, если типы t(Y ) и t(Z) несравнимы; - треугольной, если один из типов t(Y ) и t(Z) строго меньше другого; - однородной, если t(Y ) = t(Z). Прилагательные «диагональная» и «треугольная» выбраны, конечно, в связи с нашей договорённостью о том, что мы отождествляем кольцо E(B) с матричным кольцом (1). Если t(Y ) = t(Z), то Y = Z; можно считать, что Y = Z. В этом случае кольцо E(B) совпадает с кольцом матриц M(2, ГYY), а группа Aut B - с группой GL2(Yyy). Если неравенство t(Y ) < t(Z) не выполнено, то rYZ = 0 и легко убедиться, что (5) (как в случае rZY ф 0, так и в случае rZY = 0). Докажем некоторые свойства коммутанта (Aut B)' группы Aut B. Предложение 6. Пусть B = YѲ Z е X. Тогда: а) Если B - однородная группа, то (Aut Б)” ф {E}. б) Если неравенство t(Y ) < t(Z) не выполнено, то группа (Aut B)' изоморфна аддитивной группе (rZY, +). в) Если B - треугольная группа, то (Aut B)' ф {E} = (Aut B)''. г) Если B - диагональная группа, то (Aut B)' = {E}. Доказательство. а) Как было отмечено выше, можно считать, что Y = Z и Aut B = GL2(Fyy). Найдём коммутатор [I, T(h)] = I~1(T(h))-1 IT(h) принадлежащих группе Aut B матриц I и T(h), где h е ГYY: В частности, из этих равенств видно, что Так как матрицы [I, T(1)] и [I, T(-1)] не коммутируют, то (Aut B)” ф {E}. б) Легко заметить, что коммутатор любых двух матриц из группы Aut B, задаваемой равенством (5), имеет вид T(h), где h е rZY. Ввиду пункта а) леммы 1 получаем, что (Aut B)' содержится в группе {T (h) | h е rZY} (изоморфной аддитивной группе rZY). Найдём теперь для h е rZY коммутатор матриц J, T(h) е Aut B: Из этих равенств видно, что (Aut B)' содержит множество {T (2h) | h е rZY}. Таким образом, (Aut B)' = (D, +), где D - подгруппа группы rZY, такая, что 2rZY с D. Так как факторгруппа rZY /2rZY содержит не более 2 элементов, то в ней нет нетривиальных подгрупп. Следовательно, справедливо хотя бы одно из равенств D = rZY и D = 2rZY. В обоих случаях D = rZY, что и требовалось. Утверждения в) и г) непосредственно следуют из б). ■ Следствие 7. Если для групп B, B' е X выполнено Aut B = Aut B' и B - диагональная (треугольная, однородная) группа, то B' - тоже диагональная (соответственно треугольная, однородная) группа. ■ Об определяемое вполне разложимой группы ранга 2 её группой автоморфизмов 29 Для рациональной группы Y будем обозначать через PM(Y ) множество всех простых p, таких, что pY = Y. Легко видеть, что группа U(ГYY) представляет собой ограниченное прямое произведение (аналог понятия прямой суммы, который используется в случае мультипликативной записи) циклической группы порядка 2 и |P„(Y )| бесконечных циклических групп. Для диагональной группы B = YѲ Z е X в силу равенства (5) будет выполнено Aut B = U (ГYY) х U (ГZZ). С учётом единственности (с точностью до изоморфизма) разложения группы в ограниченное прямое произведение неразложимых циклических групп получаем следующее Предложение 8. Для диагональных групп B = YѲ Z и B' = Y ’Ѳ Z ' из класса X эквивалентны условия: 1) Aut B = Aut B'. 2) |P„(Y)| + |PM(Z)| = |P„(Y')| + |PM(Z ' )|. ■ Для треугольных групп справедлив следующий критерий. Предложение 9. Пусть группы B = YѲ Z и B' = Y 'Ѳ Z' из класса X - треугольные, причём t(Y ) > t(Z) и t(Y' ) > t(Z ' ). Следующие условия эквивалентны: 1) Aut B = Aut B'. 2) Hom(Z, Y ) = Hom(Z ', Y' ) и Aut Z = Aut Z '. Доказательство. Как и раньше, будем считать, что Y, Z, Y' и Z ' - рациональные группы; напомним, что группа Aut B задаётся равенством (5). Для краткости положим G = Aut B и H = Aut B'. Заметим, что для всякого простого p из pZ = Z следует pY = Y. Это означает, что rZZ с Г YY. 1) ^ 2). Пусть G = H. Тогда ввиду пункта б) предложения 6 имеем Hom(Z, Y ) = Г^ = (G', •) = (H', •) = Г^ Y' = Hom(Z ', Y ' ). Найдём центр Z(G) группы G. Так как U(Гж) с U(Гуу), то все матрицы вида dE, где d е U(ГZZ), лежат в Z(G). Обратно, допустим, что матрица A вида (2) есть элемент группы Z(G) (тогда сразу c = 0). Из равенства AJ = JA следует, что b = 0. Далее, так как AT(h) = T(h)A, где h е ГZY \\ {0}, то a = d е U (Гж) и A = dE. Итак, Z(G) = {dE | d е U(Гzz)} = U(Г^) = Aut Z. Так как аналогичные соотношения имеют место для Z(H), то из G = H получаем Aut Z = Z(G) = Z(H) = Aut Z ', что и требовалось. 2) ^ 1). Пусть Hom(Z, Y) = Hom(Z ', Y ' ) (т.е. Г^ = Г^ Y) и Aut Z = Aut Z ' (тогда U (ГZZ) = U (Г Z' Z)). В этом случае найдутся ненулевое число а е Q, для которого Г^Y = аГZY, и изоморфизм у: U(YZZ) ^ U(Г^ Z). Далее, для всякого p е P справедливы эквивалентности pY = У « pY ZY = ГZY ^ p^ Z' Y' = ^Z' Y' ^ pY ' = Y \\ отсюда Г^ = Г^ Y'. Так как U(TZZ) n U (Г^Z) с U(ГYY) n U (ГY Y) = U (ГYY), то для всякого d е U(Г^) выполняется включение d4\\(d) е U(Гуу). Если, кроме того, b е ГZY, то имеем abd4\\(d) е aГZY Г^ с аГ^ = ГZ' Y'. Таким образом, мы можем задать отображение ф: G ^ H, полагая ( a b J f ad _1\\(d) abd_1\\(d) 4 0 d J = ( 0 \\(d) для всех a е U(Гуу), b е Г^ и d е U(Гж). Имеем b \\ (u v ^ (a b J (uw~l\\\\t(w) avw~l\\\\t(w)^ = 0 dJ ( 0 \\(w) ф 0 d ф 0 = ф В.К. Вильданов, В.А. Гайдак, Е.А. Тимошенко 30 _faud V 'y(d)y (w) a(av + bw)d V 'у (d)y(w) I 0 \\\\i(d)\\\\i(w) _ f au av + bw ^_ ff a b V u v ' ^( 0 dw J ^ (( 0 d )( 0 w у т.е. ф - гомоморфизм. В силу симметрии задаваемое равенством f u v ) f uw-1y-1( w) a-1vw_1y-1( w) ч0 w) { 0 y-1(w) отображение e: H ^ G также будет гомоморфизмом. При этом е(ф(a ЬY|_e(ad”V(d) abd~V(d)J _ Ч Ч0 d Ч 0 y(d) ) _ f ad~V(d)(y(d))-1 d a-1abd~V(d)(y(d))-1 dJ _ f_ 0 d J4 0 а значит, e о ф - тождественный автоморфизм группы G. Аналогично проверяется, что ф о е есть тождественный автоморфизм группы H. Таким образом, ф и е -изоморфизмы и G = H. ■ Наконец, для однородных групп имеет место Теорема 10. Для однородных групп B _ YѲ Y и B' _ ZѲ Z из класса X эквивалентны условия: 1) Aut B = Aut B'. 2) E(Y ) = E(Z). Доказательство. 1) ^ 2). Так как GL2(TYY) _ Aut B = Aut B' _ GL2(rZZ), то ввиду теоремы 5 имеем E(Y ) = ГYY _ ГZZ = E(Z). 2) ^ 1). Поскольку выполнено Г YY = E(Y ) = E(Z) = rZZ, то GL2(rYY) = GL2(rZZ), т.е. Aut B = Aut B', что и требовалось. ■ Нам понадобится одна вспомогательная конструкция. Пусть Y - рациональная группа и 1 е Y. Обозначим p-высоту элемента 1 в группе Y через hp(1) и рассмотрим группу Y0, такую, что Y с Y0 с Q и что p-высота элемента 1 в группе Y0 равна hp(1) + 1 для всехp е P. Построенная группа Y0 обладает следующими свойствами: 1) PM(Y0) _ P„(Y ); 2) E(Y0) = E(Y ) и, значит, Aut Y0 = Aut Y; 3) t(Y0) > t(Y); 4) Y0 = Y тогда и только тогда, когда группа Y почти делима, т.е. когда pY _ Y почти для всех простых p; 5) t(Y0) > t(Z0) тогда и только тогда, когда t(Y) > t(Z); 6) Если t(Y) > t(Z), то t(Y0) : t(Z0) _ t(Y ) : t(Z). Теорема 11. Группа B е X определяется в X своей группой автоморфизмов тогда и только тогда, когда B = Y Ѳ Y, где Y - почти делимая группа ранга 1. Доказательство. Пусть B = Y Ѳ Y и группа Y почти делима. Предположим, что выполнено B' е X и Aut B' = Aut B. Применяя следствие 7 и теорему 10, получаем, что B' = ZѲ Z, где Z - группа ранга 1, такая, что E(Z) = E(Y ). Из почти делимости группы Y следует, что аддитивная группа кольца E(Y ) изоморфна Y. Тогда аддитивная группа кольца E(Z) также изоморфна Y, что возможно лишь в случае Z = Y. Итак, B' = B, т.е. B определяется своей группой автоморфизмов в классе X. Обратно, пусть группа B е X определяется своей группой автоморфизмов в X. Предположим сначала, что B - однородная группа; можно считать, что B _ Y Ѳ Y, Об определяемое вполне разложимой группы ранга 2 её группой автоморфизмов 31 где Y - рациональная группа, содержащая 1. Так как E(Y0) = E(Y), то ввиду теоремы 10 получаем, что Aut B = Aut(Y0 Ѳ Y0). В силу нашего предположения отсюда следует, что B = Y0 Ѳ Y0 и, значит, Y = Y0. Следовательно, группа Y почти делима, что и требовалось. Допустим теперь, что группа B не является однородной. Можно считать, что B = YѲ Z, где Y и Z - рациональные группы, такие, что неравенство t(Y ) < t(Z) не выполнено и 1 е Yn Z. Положим B' = Y0 Ѳ Z0 и рассмотрим два возможных случая. а) Пусть группа B является диагональной. Тогда типы t(Y0) и t(Z0) несравнимы и выполнено PM(Y0) = PM(Y ), PM(Z0) = PM(Z). Применяя предложение 8, получаем Aut B = Aut B'. В силу нашего предположения из этого следует, что B = B'. Так как t(Y0) > t(Y ) и t(Z0) > t(Z), то на самом деле Y0 = Y и Z0 = Z, т.е. группы Y и Z почти делимы. Тогда в силу предложения 8 для любых различных простых p и q имеем Aut B = Aut(Q(P !p!) Ѳ Q(P !q!)). Получаем противоречие с тем, что B определяется своей группой автоморфизмов в классе X. б) Осталось рассмотреть случай, когда группа B треугольная. Тогда t(Y ) > t(Z), откуда t(Y0) > t(Z0). Далее, тип t(Y0) : t(Z0) группы Hom(Z0, Y0) равен типу t(Y ) : t(Z) группы Hom(Z, Y ), а значит, Hom(Z0, Y0) = Hom(Z, Y ). Поскольку Aut Z0 = Aut Z, то по предложению 9 имеем Aut B = Aut B'. Как и в случае а), отсюда можно вывести, что Y и Z - почти делимые группы. Тогда Y = Q(L) и Z = Q(M), где M с L с P, причём M содержит почти все простые числа. Если N есть бесконечное собственное подмножество множества M, то Hom(Q(N), Y ) = Y = Hom(Z, Y ) и Aut Q(N) = Aut Z, откуда по предложению 9 получаем Aut(Y Ѳ Q(N)) = Aut B. Но группы Y Ѳ Q(N) и B не изоморфны, что противоречит определяемости группы B группой Aut B. Тем самым теорема доказана. ■

Скачать электронную версию публикации