On the set K_p in finite groups.pdf В [1, 2] изучались некоторые свойства конечных групп, в которых существуют элементы порядка 2 и 3, порядок централизатора которых равен порядку элемента, то есть неединичные элементы, перестановочные ровно с двумя (тремя) элементами группы. Множества таких элементов мы обозначали K2(G), K3(G). В настоящей работе рассмотрено множество Kr(G), где р - произвольное простое число. 1. Обозначения и некоторые свойства множества Kp(G) Пусть (G, •) - произвольная конечная неабелева группа, |G| = n, р - простой делитель п. Введём следующие обозначения: Xp(G) = (g е G | o(g) = p}, Kp(G) = (g е G | g Ф e л |C(g)| = p}. В том случае, когда понятно, о какой группе G идёт речь, вместо Xp(G), Kp(G) будем писать: Xp, Kp соответственно. Так как р - простое число, то из того, что х е Kp следует (х, х2, ..., х?-1} с Хр и (х, х2, ..., х?-1} с Kp. Приведём ряд свойств множества Kp. Предложение 1. Пусть |G| = п. Тогда, если Kp не пусто, то п делится на р и не делится на р2. Предложение 2. Множество Kp является инвариантным подмножеством G, то есть вместе с каждым х е Kv и каждым g е G элемент xg принадлежит Kv . Предложение 3. Пусть |G| = п. Тогда ІКІ е Jo,п, - ,...,--- 1 1 I p p p Доказательства указанных утверждений аналогичны доказательствам свойств множества K3(G), приведённым в [2]. А.И. Забарина, Е.А. Фомина 34 2. Множества Kp в группах Sn и An Рассмотрим указанные множества при различных значениях р. 1) Пусть p = 2. 1.1. Так как при n > 3 | Sn |: 4, то, согласно предложению 1, в указанных группах K2(Sn) = 0. Обратимся к S3. Заметим, что для каждого a е S3 элемент a е X2(S3) тогда и только тогда, когда a = (а1а2). Так как |(а1а2)S31 = 3, то |CS3 (а1а2) = 2 . Следовательно, | K2(S3) |= S_ 2 1.2. В каждой неабелевой знакопеременной группе An множество K2(An) пусто, так как для каждого натурального n > 4 порядок группы An делится нацело на 4. 2) Пусть теперь p > 3. Обратимся сначала к группам Sn. Согласно предложению 1, если Kp(Sn) Ф 0, то р < n < 2p. Таким образом, для фиксированногор достаточно рассмотреть множество групп {Sp, Sp+1, ..., S2p-1}. 2.1. Пусть 0 < n - p < 1. Имеем Xp(Sn) = {a е Sn | a = (а^..^)}. Следовательно, для каждого a е Xp(Sn) aSn = {(p1p2.pp)} - множество всех р-членных циклов. Следовательно, IsI = n(n -1) - (n - p +1) где (n -p) е {0, 1}. Отсюда Va е Xp(Sn) |cSn (a) = p, то есть а е Kp. IS | Таким образом, если 0 < n - p < 1, то Kp(Sn) = Xp(Sn) и | K (Sn) |= --. p 2.2. Пусть n - p > 1, n е {p + 2, ., 2p - 1}. Каждый элемент порядка р из Sn является p-членным циклом: Va е Xp(Sn) a = (а\\а2.ар). Так как существует двучленный цикл b = (Pi р2), такой что ab = ba, то \\Csn (a)| > p . То есть Kp(Sn) = 0 при указанных значениях n. Пример. K3(S5) = K5(S7) = 0. 3) Обратимся теперь к множеству Kp(An). В силу предложения 1, при p > 3 если Kp(An) Ф 0, то р < n < 2p. Рассмотрим следующие три случая. 3.1. Пусть 0 < n -p < 1. То есть рассмотрим множество Kp в группах Ар, Ар+1. Пусть a е Kp(Sp). Согласно 2.1, a = (а1а2.а?) и CS (a) = a . 2| Ap | p Заметим, что CS (a) с Ap. Следовательно, Kp(Ap) = Kp(Sp) и | K (Ap) | Очевидно, те же рассуждения имеют место для n = p + 1: 2| Ap+1 | |Kp (Ap+1)H-L_E+^. О множестве Kp в конечных группах 35 2 I A I 2 I A I В частности, | K3 (A4) |= -3^, | K5 (A5) |= -5^ . 3.2. Пусть 2 < n -p p . Таким образом, Kp(An) = 0. Пример. K5(A8) = K5(A9) = 0. 3.3. Пусть n -p = 2. Рассмотрим произвольное а е An, o(a) = p. Имеем: a = (a1a2^ap), aSn = {(хь х2, ..., xp)} - множество всех р-членных I s I n(n-1) -3 циклов и \\a n\\ = ----. p I I n! p Следовательно, \\Cs„ (a) =--T--7 = 2p . 1 n 1 n(n -1) -3 Заметим, что существует такой элемент b е Sn, что b = (р1 р2) и ab = ba. Следовательно, Cs (a) = {e, a, ..., ap-1, b, ab, a2b, ..., ap-1b}, где b, ab, °n a2b, ..., ap-1b £ An. Имеем: СА (a) = {e, a, ..., ap-1}. /in Тогда |Kp (An )|= = Al. В частности, | K3 (A5) |= ЬЗІ, | Kn(Ai3) |= . 3. Множества Kp в некоторых разрешимых группах Прежде всего, заметим, что если G - конечная нильпотентная группа, | G |= pa p\\2 p- pkk, k > 1, то согласно теореме Бернсайда - Виланда [3, с. 155] G = Н1 х ... х Ej х ... х Hk, где Hj - соответствующие силовские подгруппы. Пусть pt - произвольный простой делитель |G|. a) Если а,- > 1, то согласно предложению 1, Kp = 0 . b) Пусть a, = 1. Согласно свойству нильпотентных групп [3, с. 148], для каждого j е 1,k Z(G) n Hj Ф {e}. Следовательно, Ht c Z(G) и Ht Ф Z(G). Таким образом, для каждого элемента х е Xp выполнено |CG (x)| >p,. Следовательно, Kp = 0 . Рассмотрим следующее семейство разрешимых групп: G = Z*p X Zp, где р -простое число, p > 2 [4, с. 111]. Каждый элемент g е G единственным образом можно представить в виде g = (x, y), где x е Z*p, у е Zp. Операция умножения элементов в G определена по правилу (a, b)(c, d) = (ac, bc + d). Нейтральным элементом является е = (1, 0), обратный элемент: (х, у)-1 = = (хЧ, -ух-1). А.И. Забарина, Е.А. Фомина 36 Очевидно, что отображение f: G ^ Z*p такое, что f (x, y) = x является сюръективным гомоморфизмом G на Z*p, ядро которого Kerf = {(1, b) | b е Zp}. Так как Zp и Zp - разрешимые группы, то, согласно свойству разрешимых групп, G - разрешимая неабелева группа для каждого р > 2. Заметим, что |G| = (p - 1)-p и множество всех элементов {(1,у) | у е Zp} образует нормальный делитель G, изоморфный Zp. Очевидно, Хр = {(1, у) | у * 0}. Пусть b * 0 и (1, b)(c, d) = (c, d)(1, b). Отсюда: bc + d = d + b, bc = b, с = 1. Таким образом, при b * 0 |CG(1, b)| = p, отсюда Kp = Xp, |Kp| = p - 1. Обратимся теперь к p - 1. Если p = 3, то |G| = 6, G = S3. Согласно 1.1 и 2.1 раздела 2 данной статьи для группы S3 K^ = 3, |K3| = 2. Пусть число p - 1 не является простым и p -1 = p1p2p^q^1 q^2 ■■■ qfs, где каждое p i > 1. Согласно предложению 1, Kq = 0 для каждого qi. Рассмотрим произвольный элемент (а, 0) е G, где a * 1 и найдём множество (а, 0)G - всех элементов G, сопряжённых к (а, 0): Ѵ(х, у) е G (x, y)-1 (a, 0)(x, y) = (x_1, -yx4)(ax, y) = (a, y(1 - a)) Таким образом, (a, 0)G = {(а, b) | b е Zp}. Следовательно, |(a, 0)G| = p для каждого a * 1. Отсюда |Се(а, b)| = p - 1. Итак, если р - 1 * 2 , то (так как рі

Скачать электронную версию публикации