On the calculation by the method of linearization of the interaction of parametric and self-oscillations at delay and li.pdf Человечество вступило в эпоху глобального экологического кризиса, и множество фактов различного характера свидетельствуют о его движении к экологической катастрофе глобального, общепланетарного масштаба. Эффективное решение экологических проблем предполагает отказ от модели общества потребления, в том числе роста потребляемой энергии. Рациональное использование этой энергии является одним из ряда путей решения экологических проблем. Как отмечено в работе [1]: «В любой отрасли промышленности экономия ресурсов энергии, материалов и комплектующих - насущная проблема. Значительная часть энергии потребляется различного рода приводами машин и технологического оборудования». В данном контексте достаточно значимую актуальность приобрела созданная В.О. Кононенко систематическая теория колебательных систем с ограниченным возбуждением. Ее основой является физический эффект, экспериментально обнаруженный немецким ученым А. Зоммерфельдом в 1902 г. Эта теория изложена в основополагающей монографии В.О. Кононенко [2], изданной также в Англии [3]. Она привела к возникновению нового направления в теории колебаний, за которым закрепились также следующие названия: теория взаимодействия колебательных систем с источниками энергии; теория колебательных систем с источниками энергии ограниченной мощности; теория колебательных систем с неидеальными источниками энергии. В целом ряде стран появилось много работ в этом направлении, в том числе [4] и ряд других. Среди современных работ можно отметить [5-8] и др. В вышедшей в 2018 г. статье [5], приведен обзор исследований в данном направлении теории колебаний. А.А. Алифов, М.Г. Фарзалиев 42 Как известно, в электронике, устройствах автоматического управления, следящих системах, транспортных системах (ленточные транспортеры и др.), пневмосистемах, цифровых системах управления, станах холодного проката металла, биотехнологических системах саморегулирования, текстильной промышленности и др. широко распространено запаздывание. Под названием транспортное запаздывание оно присутствует, например, во многих технических процессах, текстильной и химической промышленности. Следует отметить, что интерес к системам с транспортным запаздыванием в последнее время растет. Как отмечено в работе [9], «Звенья с чистым запаздыванием часто встречаются в различных технологических процессах, когда материал перемещается из одной точки в другую с помощью ленточных транспортеров; в системах регулирования толщины листа при прокатке; в системах магнитной записи и воспроизведения и т. д.». Под действием запаздывания возникают колебательные процессы, которые могут быть вредными или полезными. В последнем случае запаздывание вводится в систему специально. Задачи с запаздыванием при идеальном источнике энергии рассматривались в достаточно большом числе работ [10-13 и др.]. В отличие от этого, задачи о колебаниях в системе с запаздыванием при ограниченной мощности источника энергии изучались в весьма малом числе исследований. Для математического описания систем с запаздыванием чаще всего используются нелинейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Так как решение таких уравнений связано с большими трудностями, то выделяется класс квазилинейных систем. Для изучения последних привлекаются приближенные методы нелинейной механики (усреднения, энергетического баланса, гармонической линеаризации и др.), среди которых широко используется асимптотический метод усреднения Крылова - Боголюбова [14, 15]. Цель работы - развитие способов расчета нелинейных колебательных систем на основе методов прямой линеаризации нелинейностей [16-20]. В отличие от известных методов нелинейной механики, методы прямой линеаризации позволяют значительно легче получить конечные расчетные соотношения независимо от конкретного вида характеристики, тратить достаточно малый труд и время. Результаты на основе известных методов нелинейной механики и методов прямой линеаризации совпадают качественно, имеются лишь незначительные количественные отличия. Сравнение этих количественных результатов при различных значениях параметра точности линеаризации приведено в [16]. Модель системы и уравнения движения Во множестве работ, посвященных исследованию нелинейных систем, а также в [2-4, 21, 22], изучение автоколебаний проводилось на основе часто используемой известной модели механической фрикционной автоколебательной системы. В этой модели удерживаемое пружиной тело массы m расположено на движущейся со скоростью V непрерывной ленте на двух колесах (рис. 1). В месте контакта тела и ленты возникает трение, вызывающее фрикционные автоколебания. Такого типа автоколебания возникают, например, при медленных движениях ползунов в направляющих металлорежущих станков [23], в прядильном оборудовании [24], в текстильных машинах, в тормозах и фрикционных передачах и др. О расчете методом линеаризации взаимодействия параметрических и автоколебаний 43 7 Рис. 1. Модель системы Fig. 1. System model Рассмотрим описанную модель при наличии запаздывания в силе трения T(U), параметрического воздействия, нелинейной силы упругости пружины и источника энергии ограниченной мощности (двигателя). Характеристику (разрывную) зависящей от скорости U = V - 5с силы трения без запаздывания представим в виде T (U) = R [sgn U + F(U)], F(U) = Х 5iUi , i = 1 sgn U 1, U > 0, -1, U < 0, где R - нормальная сила реакции, 5i = const. Заметим, что в реальных условиях широко распространена характеристика силы трения, в которой F (U) = - 51U + 53U3. (1) Как следует из результатов работы [25], характеристика T(U) с (1) наблюдалась также при измерении сил трения в условиях космического эксперимента. Скорость V в случае идеального источника энергии постоянна, а источника энергии ограниченной мощности переменна, т.е. V = г0ф, где r0 - радиус колеса (точнее, точки приложения силы трения), приводящего в движение ленту, ф -скорость вращения ротора двигателя. При наличии запаздывания Д относительная скорость Uh = V - xД, 5сД= 5с (t - Д) и сила трения T (U) ^ T (ЦД). Преобразуем F(U) и представим в требуемой в дальнейшем форме F(5с) =Х a 5, (2) n = 0 где a0 = 5j V + 52V2 + 53V3 + 54V4 + 55 V5, Ц = - (5j + 252V + 353V2 + 454V3 + 555 V4), a2 = 52 + 353V + 654V2 +1055V3, a3 =- (53 + 454V + 1055V2), a4 = 54 + 555V, a5 = - 55. А.А. Алифов, М.Г. Фарзалиев 44 Движение системы описывается уравнениями mx + k0 x + c0 x = T(UA) - f (x) -b xcos vt, J ф = M (ф) - r0 T (Uд), (3) где m =const, k0 = const - коэффициент демпфирования демпфера 2, c0 x и f (x) -соответственно линейная и нелинейная части силы упругости пружины 1, c0 = const, bxcosvt - параметрическое воздействие, b =const, J - суммарный момент инерции вращающихся частей, M (ф) - разность вращающего момента двигателя и момента сил сопротивления вращению, которую будем называть характеристикой источника энергии. Нелинейную часть силы упругости представим полиномиальной функцией f (x) = ХYsxS , где ys = const, s = 2, 3, 4,... . Замена методом прямой линеаризации нелинейных функций линейными По методу прямой линеаризации [16] нелинейные функции f (x) и F(x) заменим соответственно линейными функциями f (x) = Bf + kfx , F„ (x) = BF + kFx . (4) В (4) символы Bf, kf , BF , kF представляют коэффициенты линеаризации и определяются выражениями Bf = ^ Nsys as , s = 2, 4, 6,. (s - четное), (5) s kf = ^ Ns y sas-1, s = 3, 5, 7,. (s - нечетное), s BF = ^ Nnan un , n = 0, 2, 4,. (n - четное), n kF = X anNn un-1, n = 1, 3, 5,. (n - нечетное). Здесь a = max |x|, и = max |x|, Ns = (2r + 1)/(2r +1 + s), Ns = (2r + 3)/(2r + 2 + s), Nn = (2r + 1)/(2r +1 + n), Nn = (2r + 3)/(2r + 2 + n). Параметр r определяет точность линеаризации (степень близости решения линеаризованного уравнения к точному решению нелинейного уравнения) и его величина может быть различной. Как показано в [16], он может быть выбран из промежутка (0, 2). Уравнения (3) с учетом (5) принимают вид mx + k0 x + cx = B + RsgnUA + RkF Xд - bxcos vt, (6) J ф = M (ф) - r,R (sgn UA + Bf + kFXA), где B = RBf - Bf, c = c0 + kf . О расчете методом линеаризации взаимодействия параметрических и автоколебаний 45 Построение решений линеаризованных уравнений Решение линеаризованного уравнения можно построить двумя методами [16]. Одним из них является метод замены переменных с усреднением, позволяющий рассмотреть стационарные и нестационарные процессы. Нелинейное уравнение достаточно общего вида представлено в работе [16] в линеаризованном виде и получены стандартной формы соотношения для определения нестационарных значений амплитуды и фазы. Поскольку первое уравнение (3) является частным случаем такого общего вида нелинейного уравнения, то эта стандартная форма позволяет непосредственно выписать результаты для первого уравнения (6), осуществляя вычисление лишь его правой части. А в отношении второго уравнения (6) пользуемся процедурой усреднения, описанной в [18]. Следует отметить, что в соответствии с этой процедурой скорость V = г0ф заменяется на u = r0 Q, где Q -усредненное значение скорости ф источника энергии. Прежде чем перейти к приведению соотношений для стационарных и нестационарных процессов, заметим, что имеются два принципиально различных случая, при которых существуют качественно различные режимы колебаний. Они определяются скоростью U, которая может быть положительной и отрицательной. В случае U > 0 имеет место выражение u > ap , а в случае U < 0 - выражение u < ap , причем для вывода соотношений при u < ap использован способ, описанный в [4]. Как показано в этих работах аналитически и моделированием на вычислительной машине, характеры решений x(t), x(t) при скоростях u > ap и u < ap качественно различны. На практике основной интерес представляет главный резонанс. В случае параметрического воздействия он происходит тогда, когда половина частоты воздействия близка к собственной частоте системы. С учетом Хд = -ap sin(y - pA) искомые решения при основном параметрическом резонансе имеют вид (7) x = a cos у, Х = -ap sin у, у = pt + £, p = ѵ/2 , ф = Q . В соответствии с (7) в выражениях (4) будет и = ap. На основе отмеченной выше стандартной формы соотношений использования метода прямой линеаризации при анализе общего вида нелинейной системы, можно выписать следующие уравнения нестационарных движений для (6): а) u > ap : da dt a(k0 - Rkp cos pA) + ba 2m 4 pm sin2£, d£ = ю2 -p2 dt 2 p Rkp . b -- sin pA +-cos2£ , 2m 4 pm (8,a) б) u < ap : da a dt 2m ba [(k0 - Rkp cos pA) + 4R(na2 p2) '(a2 p2 - u 2)1/21+-sin2£ , 4 pm А.А. Алифов, М.Г. Фарзалиев 46 _ ю2 - p2 dt 2 Р Rk- . b --- sin pA+-cos 2^ . 2m du dt 4 pm rR (8,6) M (r) - r0 R(1 - B-) - --(3n - 2y.) где ю2 _ Cm _ (c0 + kf )jm _ ю2 + (kf/m), ю2 _ с0/m , y. _ 2n - arcsln(u/ap). Так как в области резонанса разность частот ю0 - р достаточно мала, то можно принять (ю0 -Р2 )/2р ~ ю0 -р . В ряде практических случаев представляет интерес смещение центра колебаний х0, с учетом которого имеем x _ x0 + a cos y, где [R (1 + B-) - Bf ], а) u > ap : б) u < ap : 1 C0 + kf 1 C0 + kf L R(1 - B-) - Bf - (3 n - 2y.) Условия a _ 0, 4 _ 0 доставляют в случае u > ap следующие соотношения для определения стационарных значений амплитуды и фазы колебаний: p2(k0 -Rk- cos pA)2 +|^m (ю2 - p2) - pRk- sinpA] _ 0.25b2, (9) tg2^ _ - p(k0 - Rk- cos pA) m (ю2 - p2) - pRk- sin pA В случае u < ap стационарное значение амплитуды колебаний определяется приближенным равенством ap & u, справедливым при малом внешнем воздействии. Это приближенное соотношение и первое уравнение (9) позволяют для различных значений запаздывания строить представляющую некоторую поверхность зависимость амплитуды от частоты и скорости a(p,u) в широком диапазоне, начиная со значения скорости u _ 0. При этом зависимость амплитуды от скорости u строится для фиксированных значений частоты p _ ѵ/2 в области резонанса. Из условия u _ 0 следует для u > ap и u < ap уравнение общего вида M (u/r) - S (u) _ 0, (10) где нагрузка S(u) на источник энергии равна: а) u > ap : S (u) _ r0 R (1 + B-), б) u < ap: S(u) _ r0 R[(1 - B-) + n-1(3n - 2y. )J . Кривая нагрузки S(u) строится с использованием амплитудно-частотно-скоростной зависимости a(p,u). Стационарные значения скорости u, которые могут быть реализованы, определяются точками пересечения кривых M (u/r) и S(u). Условия устойчивости стационарных решений Стационарные колебания в одних случаях желательны, а в других - нет. Поэтому чтобы их реализовать в первом случае и устранить - во втором, эти движения необходимо проверить на устойчивость. С этой целью составляем уравнения b =-R2 b12 j dBp da b = 0. b11 J du О расчете методом линеаризации взаимодействия параметрических и автоколебаний 47 в вариациях для (8) и, пользуясь критериями Рауса - Гурвица, получаем следующие условия устойчивости: (11) D1 > 0, D3 > 0 , D1D2 - D3 > 0, где D1 (b11 + b22 + b33 ) . D2 b11b33 + b11b22 + b22b33 b23b32 b12b21 b13b31 , D3 = b11b23b32 + b12b21b33 - b11b22b33 - b12b23b31 - b13b21b32 В случае u > ap имеем b,1 = і(й-,0*§■). b,2 =-J ^ , . , Ra dkP b13 = 0 . b21 =--p cos pA. 13 21 2m du b22 = --^(k - RkP cos pA-aR-^ cos pA) +-- sin2^. 2m da 4 pm (12,а) b32 ab R dkP. b23 =-cos2t. b31 =---P sin pA. 2 pm 2m du 1 dkf R dk, ---- sin pA . b33 = - 2pm da 2m da а в случае u < ap изменяются лишь коэффициенты 2 pm sin 2^. Q - 0 R 9Bp 2,0 R 2 2 2 a p - u _ К = - 2m 2u 2 2 2 naya p - u _ ndkP R-p cos pA + du 4uR 2 2 Г2 2 2 na p yja p - u _ (12.6) 4 Ru2 ) +-sin2^. 4 pm 1 dk 2 2 П 2 2 na p yja p - u b22 = - - (k - Rkp cos pA-aR-- cos pA + 2m da гл d 1 f / u \\ где Q = ~TM (,) • du r С учетом того. что при усреднении ф = Q. u = ,0 Q. входящие в (12) производные определяются выражениями dp=др+д-оо2 ^+N,mp du du du du dk„ - da, - 2 da3 - 4 da5 -^ = N1 -1 + N3 (ap)2 -- + N5 (ap)4 -- . du du du du А.А. Алифов, М.Г. Фарзалиев 48 дВР д a lap1 (N2 a2 + 2N4 a4a2 p2), -P = lap2 (N3a + 2N5 a5a2 p2), -дО- = 2a( N3 y3 + 2N5 y5 a2 + 3N7 y7 a4 +-), -0- + 252U + 35jM + 4Ъ4и + , du dat du 2(52 + 35jU + 654U2 + 1055u3), = 3(53 + 454u + 1055u2), du da3 du da4 du ■4(54 + 555u), da5 = 555, -5 = 0 . 5 du Заметим, что при вычислении dBP /du , dBP /da учитываются лишь четные степени n и соответственно a0, a2, a4, а вычислении dkP /du , dkP /da - нечетные степени n и соответственно a1, a3, a5, причем в выражениях an в (2) вместо V будет u. Точно так же при вычислении dkf jda учитываются нечетные степени s (соответственно у1, у3, у5 и т.д.). Как видно из приведенных выше результатов, применение методов прямой линеаризации достаточно просто. Они позволяют легко получить конечные расчетные соотношения и на несколько порядков снизить затраты труда и времени при вычислениях. Данные преимущества весьма значительно повышают эффективность использования этих методов на практике. Расчеты Чтобы получить информацию о динамике системы, проводились расчеты при следующих параметрах: ю0 = 1 с-1, m = 1 кгс • с2 • см 1, k0 = 0.02 кгс • c • см-1, b = 0.07 кгс • см , J = 1 кгс • c • см r0 = 1см, R = 0.5 кгс, Sl = 0.84 с • см , 83 = 0.18 с3 • см3. Характеристика силы трения была выбрана в форме T(U) = R(sgnU _ 5lU + 53U3), где 5t и 53 - положительные постоянные. Такая характеристика трения широко распространена на практике и, как отмечалось выше, она наблюдалась также в условиях космического эксперимента [25]. Некоторые результаты расчетов в случае u = 1.2 см • с-1 и линейной упругости представлены на рис. 2. Для расчета амплитудно-частотных кривых, показанных на рис. 2, использован параметр точности r =1.5, приведенный в (5). О расчете методом линеаризации взаимодействия параметрических и автоколебаний 49 Рис. 2. Амплитудно-частотные кривые Fig. 2. Amplitude-frequency curves 2 ' 3 4 5 І 6 ' 7 Сплошная кривая А соответствует рА = 0, штрих-пунктирная Б - рА = п/2, пунктирная В - рА = п, штриховая Г - рА = 3п/2. Амплитуды автоколебаний при рА = 0 и рА = п отмечены соответственно как aa А и aaВ (в соответствии с обозначениями кривых А и В). Заметим, что эти кривые полностью совпадают с кривыми, полученными по методу Крылова - Боголюбова, который широко используется для расчета нелинейных систем. При неидеальном источнике энергии устойчивость колебаний зависит от характеристики источника, что видно из выражения коэффициента Ьп в (12). Например, колебания с амплитудами, соответствующими точкам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, устойчивы, если Q = dM/du в (12) для характеристики источника M (u/r0) находится в пределах заштрихованных секторов. Как видно из результатов расчета, запаздывание оказывает значительное влияние на ширину и положение области резонанса, амплитуду и устойчивость резонансных колебаний.

Скачать электронную версию публикации