O The theory of a space brachistochrone.pdf Во всех известных нам публикациях, касающихся анализа задач, так или иначе связанных с брахистохроной, речь всегда ведется о двухмерной задаче (см., к примеру, работы [1-7] и монографию [8]) за исключением работы [9], в которой был рассмотрен трехмерный случай вращающейся брахистохроны. В этом коротком сообщении мы проведем подробное исследование в том случае, когда брахистохрона многомерная, но вначале подробно остановимся на трехмерном случае при условии, что координаты y, z являются независимыми и могут зависеть лишь от третьей координаты х, как от параметра. При этом совершенно понятно, что геометрия желоба, по которому скатывается тело массой m, имеет абсолютно произвольную ориентацию в пространстве. Решение и анализ задачи в 3-мерном случае В рамках поставленной задачи общий функционал в результате будет иметь вполне очевидный вид где Ы - интервал времени в условиях скатывании тела, g - ускорение силы тяжести, h - максимальная высота тела над Землей. С целью решения поставленной задачи удобно воспользоваться уравнениями Эйлера - Лагранжа [10], которые имеют вид (2) С. О. Гладков, С. Б. Богданова 54 где функция F = Ѵі + у'2 + г'2 sjh-; Заметим, что в силу линейности уравнений (2) множитель .- не существен, и мы его учитывать не будем. V2g Из верхнего уравнения системы (2) следует, что (3) (4) (5) Fy = C1 = const, а нижнее, в силу независимости подынтегральной функции от x, дает F - z’Fz,= C2, где C2 - константа интегрирования. После простых вычислений приходим к следующей системе уравнений: J у' = Cp/h - z\\J 1 + у'2 + z'2, [1 + у '2 = C2yfh-zyl і + у'2 + z '2. C C2 Поделив их друг на друга и вводя новую константу A = -1, приходим к соотношению і+у'2 = C у' C2 где A = const . Отсюда сразу же следует решение у = ax + b = A. (6) () A /A2 где a = - -A -- 1, а b - константа интегрирования. Заменяя в верхнем уравнении системы (5) производную у' на a, получаем a = Cx\\!h -zVT L + a 2 + z '2 (8) Уравнение (8) тривиально решается с помощью подстановки (9) z' = лі 1 + a 2 tg P, где угловая переменная р представляет собой параметр. В результате простого интегрирования немедленно находим решение уравнения (8) в параметрическом виде , 1 +a 2 г, z = h--- cos р . C2 (10) Поскольку согласно (9), dz = V1 + a2 tg p dx, то отсюда следует, что x = C3 + 3 ' VT+ a2 J"“ ■ dP К теории пространственной брахистохроны 55 где С3 - константа интегрирования. В результате подстановки сюда (10) приходим к следующему решению: у/і + a2 ( 1 Л x = Сз 7-^-^Р + ^5ІП2Р^ . (11) Таким образом, собирая решения (7), (10) и (11) в единую систему, получаем решение задачи о пространственной брахистохроне в виде Vi + a2 ( 1 . x = С3 +----I в +- sin2R 3 С12 I 2 (12) < y = ax + b, 1 + a2 z = h--- (1 + cos2p). 2C12 Выбирая константу C12 в виде вместо (12) находим С2 1 + a 2 h ’ (13) h ( 1 x = C3 + . I p+ - sin2p vi + a2 ^ 2 < y = ax + b, h z = - (1 - cos2p). (14) Считая, наконец, что брахистохрона «привязана» к началу координат, получим b = С3 = 0, и решение становится вполне компактным: x = . h | p +-sin2p yfi+a2 V 2 P ah (_ 1 . y=3177 |P+^sin2p z = h (- - cos2p). (15) Полагая в предельном случае a = 0, приходим к параметрическим уравнениям обычной двухмерной брахистохроны x = h |p + 2 sin2p h z = - (1 - cos2p). (16) Полагая в уравнениях (15), например, a = V3, получаем С. О. Гладков, С. Б. Богданова 56 х=I (e+lsi”2e) • ■y = (Vу»п2р) • (17) h z = - (1 - cos2p). Из решений (17) видно, что на плоскостях х - z и y - z будут наблюдаться типичные двухмерные брахистохроны, только на плоскости y - z амплитуда будет в S раз больше (см. рис. 1). Рис. 1. Решения системы (17): линия 1 построена в предположении, что h = 1, a = Ѵ3 , линия 2 построена при h = 1, a = \\Л~5 . Параметр t принадлежит сегменту [0,3п] Fig. 1. Solutions to system (17): line 1 corresponds to a case of h = 1, a = V3 and line 2, to a case of h = 1, a = л/І5. The parameter t belongs to the interval of [0,3n] Рис. 2. Проекции на плоскость xoy трех пространственных брахистохрон: линия 1 -проекция брахистохроны с параметрами h = 1, a = л/3 ; линия 2 - h = 1, a = л/І5 ; линия 3 - h = 1, a = '180 для t e [0; 3n] Fig. 2. Projections of three nonpolar brachistochrones on the plane xoy : line 1 corresponds to a brachistochrone at h = 1, a = л/3 , line 2, at h = 1, a = ѴГ5 , and line 3, at h = 1, a = V80 for t e [0;3n] и-Мерный случай Рассмотрим теперь случай и-мерного евклидового пространства. В этом случае функционал (1) должен быть заменен на X 5t {x} V1+х2 2 + х32 + ...х'2 2 я; ■sjh-: dx (18) где вектор x = (х2,x3,...xn). К теории пространственной брахистохроны 57 В соответствии с уравнениями Эйлера - Лагранжа получаем в результате следующую систему уравнений: : C1 Vh - xn'J1 + x22 + x32 + ■■■Х'П , X2 = < !=c'Wh-X^'\\/l+X22^X32+^-^, 1+x22 + x32 + ■■■+x'„2-1 = сп_ІЛІ h - xny]i+x22 + x32 +.. .x’n2 ■ Деля почленно верхние n - 2 уравнения друг на друга, находим (19) Ci x3 C2 = a C x4 C3 1 = Cl 5 C4 (20) C1 x c Km-2 ^m-3 Am-4• где m > 4, а коэффициент a0 = 1 ■ Таким образом, имеется следующее рекуррентное соотношение: x2 m-2 am-4 (21) где число m подчиняется неравенству 4 < m < п + 2 ■ (22) Подставляя теперь (21) в нижнее уравнение системы (19), немедленно получаем такое уравнение: 1 '2 1 1 x2 1 2 1 2 ■■■ + 2 = Cn-1^h x„\\ 1+x22 + -2 a3 a4 an-1 V a3 Или 1 + gn-1 x22 = Cn-1^Jh - xn< J1+gn-1 x22 + , 1 1 1 где gn-1 = 1 + ~ + ~" ■+ 2 >!■ a3 a4 an-1 (23) Учитывая верхнее уравнение системы (19), приходим к замкнутой системе из двух уравнений, а именно I x2 = C1Vh - xn41+gn-1 x22 + xn2, i1+gn-1 x22 = cn-^Jh - х„лІ1+g„-1 x22 + x'n ■ (24) С. О. Гладков, С. Б. Богданова 58 Решение этой системы точно такое же, как и системы (5). Поэтому, деля почленно уравнения друг на друга, будем иметь Х2 _ С1 _ 1 1 + ён-\\ X2 Cn-1 Pn-1 X2 _ An-1 X1 + B ■- Откуда где B - константа интегрирования, а новый коэффициент Pn-1 ~4 РІ-1 - 48п-1 An-1 _ " 2g n-1 Поэтому из нижнего уравнения системы (24) получим 1 + gn-1 Л2- _ Cwlh - Хпл1 1 + Sn-1 Al-1 + ^ Совершая здесь подстановку X'n _V1 + gn-1 Al-1tgѲ , находим (1 + gn-1 4^ ) COS2 Ѳ Xn _ h-- C2 Поэтому согласно (28), получаем x _41+gn-1 аП-1 X1 - 2 C2 )+ -2-5Іп2Ѳ | + C , (25) (26) (27) (28) (29) (30) где C - константа интегрирования. И, значит, согласно (25) из (21) следует, что x3 _ x1 + a1 a1 An-1 „ , B An-1 B x4 _ n 1 X, +-- (31) An-1 B x5 _ n 1 x +-a3 a3 A n-1 x +- B an-3 an-3 Решения (29) - (31) отвечают на вопрос о форме брахистохроны в многомерном случае. Заключение В заключение отметим: 1. Дано решение задачи о брахистохроне в n-мерном случае и, как пример, приводится подробное решение для трехмерного случая. 2. Отмечено принципиальное отличие многомерной брахистохроны от классической двухмерной.

Скачать электронную версию публикации