Eigenfunction expansions of the magnetic Schrodinger operator in bounded domains.pdf 1. Постановка задачи Пусть G - ограниченная область в n -мерном пространстве Rn . Рассмотрим в G магнитное выражение Шредингера n (1 д V Ha,V =Y\\-rr + ak (x) 1+ V (x), (!) k=1Vi dxk ) где V (x) - вещественный электрический потенциал, a(x) = (a1(x), a2(x),..., an (x)) - вещественный магнитный потенциал, i = V-1, x = (x1, x2,..., xn) e Rn. В пространстве L2 (G) введем симметрический оператор HQ V с областью определения D(H°aV) = Cq (G), порожденный выражением (1), т.е. действующий по правилу H°vФ(x):=E( 1 д^ + ak (x) 1 ф(x) + V(x^(x), ф(x) e C00 (G), k=Ai dxk ) где CQ0 (G) (пространство основных функций) - совокупность всех бесконечно А.Р. Алиев, Ш.Ш. Раджабов 6 дифференцируемых финитных в G функций. Замыкание оператора H°a V обозначим через HDV. Цель работы - доказать дискретность спектра оператора HDV , получить разложение по собственным функциям этого оператора и применить полученные результаты к исследованию первой обобщенной задачи Дирихле для уравнения Ha,VU( X)-М Х) = f (Х) (2) в ограниченных областях пространства Rn , где X - спектральный параметр. Отметим, что под первой обобщенной задачей Дирихле для уравнения (2) понимаем О задачу нахождения такой функции u(x) из класса W2L (G), которая удовлетворяет уравнению (2) в смысле теории обобщенных функций в области G при ОО f (x) е Wy1 (G). Здесь через Wy1 (G) обозначено сопряженное пространство к О W1 (G), являющееся замыканием пространства C° (G) в пространстве Соболева первого порядка W2' (G). В приложениях принципиальное значение имеет разложение по собственным функциям краевых задач для дифференциальных уравнений. В настоящее время существует несколько методов (см. [1]) доказательства полноты собственных функций. В настоящей работе доказывается полнота собственных функций оператора HDV методом Грина. 2. Основные результаты В пространстве W^(G) xW^(G) с помощью выражения (1) определим полуторалинейную форму ha,V (U, V) = Sj[ ^UX^ + Шк (X)U (X) dv(x) - iak (x)v(x)dx к=1 g V илк V dxk (3) l-| V(x)u (x)v(x)dx . Обозначим через HFV оператор, ассоциированный с формой (3). Теорема 1. Пусть G - ограниченная область в Rn, функции ak (х) , к = 1,2,...,n , имеют непрерывные ограниченные в G частные производные первого порядка, а функция V(х) - измеримая и ограниченная в G. Тогда оператор HDV - существенно самосопряженный и справедливы равенства HDy = HFay = G- + ЦЕ , где G^ - оператор Грина, который введен в работе [2], E - единичный оператор. Разложение по собственным функциям магнитного оператора Шредингера 7 Доказательство. Существенно самосопряженность оператора H°aV следует из теоремы Ляйнфельдера - Зимадера (см. [3]). Самосопряженность оператора H^V следует из теоремы Лакса - Мильграма (см. [4, 5] и [6, с. 16]) и теории расширения по Фридрихсу (см. [7]). Из теории расширения Фридрихса следует, что область определения оператора H^V следующая: D(HFy) = |ф(x) е (G): Hay Ф(x) e l2 (G)| . Очевидно, что HDV = H^V, так как расширение Фридрихса H^V является единственным самосопряженным расширением симметрического оператора H0 V. В работе [8] доказано, что оператор Грина Gц является самосопряженным оператором в пространстве L2 (G). Поэтому его обратный G-1 также будет самосопряженным. Из определения оператора Gц (см. [2]) следует, что для любого элемен- О та из L2(G) существует функция из W2'(G), такая, что G- f = HaVju (HaVц определено в работе [2]). Тем самым, область определения и действия оператора G- +|лЕ следующие: D(G-1 + jE) = ju(x) e L2 (G): u(x) e W2, (G),Ha Vu e L2 (G)|, (G- + !E)u = Ha,VU , u e D (G- + HE). Отсюда получаем, что G- +jE = hDv . Следовательно, HDv = HFv = G- +jE . Теорема доказана. В дальнейшем оператор HDV назовем магнитным оператором Шредингера, соответствующим первой обобщенной задаче Дирихле. Теорема 2. Магнитный оператор Шредингера HDV, соответствующий первой обобщенной задаче Дирихле, имеет чисто дискретный спектр. Доказательство. Самосопряженность и полуограниченность снизу оператора Грина G^ в произвольной области доказана в работе [8]. Из теоремы Реллиха (см. [9, с. 183] или [10, с. 167]) следует, что если область G - ограниченная, то оператор Gj является вполне непрерывным оператором. Обозначим через RDV (X) резольвенту оператора HDV. Для доказательства теоремы достаточно доказать, А.Р. Алиев, Ш.Ш. Раджабов 8 что оператор HDv имеет компактную резольвенту (см. [11] или [12, с. 269, теорема XIII.64]). Пусть X и ѵ - произвольные регулярные числа оператора HDV . Тогда имеет место следующее тождество Гильберта (см. [13, с. 136]): Я^ѵ (X) - Я^ѵ (ѵ) = (X- ѵ)RDv (X) •

Скачать электронную версию публикации