On the asymptotic structure of non-critical Markov stochastic branching processes with continuous time.pdf 1. Введение Модели ветвящихся случайных процессов являются наиболее подходящими среди всех остальных для многих природных и технических явлений, связанных с развитием численности популяции частиц. Процесс Гальтона - Ватсона (Г-В) с дискретным временем представляет собой простейший ветвящийся процесс, в котором последовательность числа поколений определяет однородную цепь Маркова, а закон превращения частиц не зависит от времени и наличия других частиц. К настоящему времени существует множество моделей ветвящихся процессов, которые являются модификациями или обобщениями процесса Г-В (см. [1]). Прямое обобщение модели процесса Г-В приводит к так называемому процессу Беллмана - Харриса, в котором время жизни всех частиц имеет некоторый произвольный закон распределения G(t). Этот процесс впервые рассмотрен в работе [2] в 1948 году. Позднее, в 1964 году, Б.А. Севастьянов [3] построил модель несколько более общую, чем в [2], распространяя процесс Беллмана - Харриса на случай с несколькими типами частиц и определяя вероятность их превращения, зависящую от их возраста (см. также [4, гл. 8]). Еще одна модификация модели Г-В - это модель ветвящихся процессов в случайной среде. Эта модель была введена в работе В. Смита и В. Вилкинсона [5] для случая среды, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. В настоящее время благодаря исследованиям В. А. Ватутина и его коллег и учеников, теория ветвящихся процессов в случайной среде продолжает интенсивно развиваться (см. [6-11]). Об асимптотической структуре некритических марковских ветвящихся случайных процессов 23 Развитие общей теории ветвящихся случайных процессов связано с одной стороны востребованностью углубленного исследования классических моделей и, с другой стороны, характеризуется открытием новых моделей, глубоко и наглядно описывающих суть изучаемых реальных явлений. В этой связи, исследование по улучшению имевшихся результатов в рамках классических моделей и установление новых, наиболее соответствующих объективным условиям, представляет определенное значение. В настоящей работе мы рассмотрим классическую модель ветвящегося процесса, называемого Марковским однородным ветвящимся случайным процессом непрерывного времени, в котором распределение продолжительности жизни частицы G(t) представляет собой экспоненциальный закон (см. [4, с. 28]). Пусть в некоторой системе имеется популяция частиц одного типа, способных гибнуть и превращаться в случайное число частиц того же типа. Определим процесс эволюции численности этих частиц, развивающийся по следующей схеме. Случайная функция Z (t) обозначает число частиц в момент времени t е Т= [0, + да). Каждая существующая в момент t частица, независимо от своей предыстории и от наличия других частиц, за малый промежуток времени (t, t + е) (при е ^ 0) превращается в j е N0 \\{1} частиц с вероятностью ajе + о(е), где N0 = {0}UN и N = {1,2,...} ; с вероятностью 1 + а1е + о(е) частица продолжает жить или производит ровно одного потомка. Здесь числа {aj, j е N0} - локальные плотности, которые указывают на интенсивности превращения частиц, причем они удовлетворяют соотношению 0 < а0 < -a1 = ^ aj < да . jelVO} Появившиеся новые частицы претерпевают превращения по такому же случайному закону. Вышеопределенный процесс называется Марковским ветвящимся случайным процессом (МВП) и семейство случайных величин {Z (t), t е T} образует однородную цепь Маркова с пространством состояний S0 = {0} U S, где S с N (см. [4]). В последних обозначениях мы отметили, что состояние рассматриваемой цепи {Z (t)} можно разделить на два класса: {0} - единственное поглощающее состояние и S - класс всех сообщающихся состояний. Частицы, участвующие в процессе, в зависимости от контекста, могут быть представлены животными в биологических задачах, элементарными частицами в ядерной физике, людьми в задачах демографии и т.д. А.Н. Колмогоров, одним из первых, обратил внимание на возможность применения теории МВП в биологических задачах в работе [12], опубликованной еще в 1938 году в Известиях НИИ математики и механики Томского университета. Определим условную вероятность р{*} := P {*|Z(0) = i} при условии, что в начальный момент в системе имеются ровно i е S частиц. Известно, что переходные вероятности Pj (t) = р {Z (t) = j} удовлетворяют для любых i, j е S условию ветвления (см. [4, с. 13]) P#(t)v X. ■ p^(t)• ••• • Pj(t). j1 + j2 + ■"+jk = J А. А. Имомов, А.Х. Мейлиев 24 Из этого следует, что для изучения эволюции процесса {Z (t), t е T} достаточно определить вероятности pj (t) := j (t). Эти вероятности, в свою очередь, задаются с помощью локальных плотностей {aj } соотношением Pj(е) =8jj + aj& + о(е) при е^0, (1.1) где Sj - знак Кронекера; aj = pj (0+). Из соотношения (1.1) следует, что для вероятностной производящей функции (ПФ) F(t; s) := V . S p ■ (t)sj имеет место ^^JeS0 j следующее представление: F(x; s) = s + f (s) • t + о(т) при 0 для всех s е [0,1), где f (s) := V jeS ajsJ - ПФ интенсивностей превращения частиц (см. [4, с. 26]). Предполагая конечности ряда V jeS jaj , введем обозначение m := V jaj =f '(1-). jeS Параметр m - средняя плотность интенсивности превращения частиц, по сути, регулирует асимптотическое поведение траекторий процесса {Z (t)}. Рассмотрим случайную величину H := inf {t е T: Z (t) = 0}, обозначающую момент вырождения процесса. Из теоремы о вырождении [13, с. 108] следует, что р 0 (см. [4, гл. 1, § 1]). В связи с этим МВП классифицируется в зависимости от знака параметра m и называется докритическим, критическим и надкритическим, если m < 0, m = 0 и m > 0 соответственно. Наши дальнейшие рассуждения будут связаны с теорией правильно меняющихся функций в смысле Карамата. Положительная функция называется медленно меняющейся (ММ) функцией на бесконечности, если она измерима на некоторой положительной полуоси [A, го) и принадлежит классу So := i1(x): lim 1 (Xx) = 1 для произвольного Хе (0, го) I. [ x^o 1 (x) J Положительная функция V(x) называется правильно меняющейся (ПМ) на бесконечности с показателем р е (0, го), если она представима в виде V(x) = xpL(x), где L(x) е So. Через RO обозначим класс ПМ-функций на бесконечности. Функция L(x) называется ММ-функцией в нуле, если L (1/x^ So. Классы ММ- и ПМ-функций в нуле обозначим S0 и R0 соответственно. Таким образом, если L (1/x) е So, то L(x) е S0 (см. [14]). Возможность применения ПМ-функций в теории МВП впервые была обсуждена в работе Золотарева [15]. Подробные материалы, связанные с применением Об асимптотической структуре некритических марковских ветвящихся случайных процессов 25 ПМ-функций в теории ветвящихся процессов, можно найти в монографиях [16, 17]. Далее мы рассмотрим некритический случай, т.е. m Ф 0 . Введем в рассмотрение условные вероятности pH(t) := р. {Z(t) = j\\t - при t . ц (1.5) В работе [18] утверждения (1.4) и (1.5) были обобщены для некритического случая в процессах Гальтона - Ватсона с дискретным временем. Асимптотические представления переходных вероятностей p^ (t) впервые были исследованы в работе [19]. В этой же работе, помимо случая m = 0, автор рассмотрел случай m > 0 и нашел довольно громоздкий вид асимптотического представления ptj (t) используя, при этом, условие конечности второго момента f "(1-). Асимптотические выражения для вероятностей p.j (t) в более явном виде были найдены в работах автора [20, 21]. А. А. Имомов, А.Х. Мейлиев 26 Настоящую работу мы посвящаем улучшению вышеуказанных результатов. В Теореме 1 мы распространим утверждения (1.4) и (1.5) на случай m > 0. Далее обсудим асимптотические свойства при t ^ж переходных вероятностей p. (t). Найдем для них асимптотическое представление (теоремы 2, 3) без дополнительных моментных условий, улучшая вышеупомянутые результаты из [19-21]. В конце мы переходим к задаче существования инвариантного распределения для МВП. Докажем аналог теоремы о сходимости отношений [20] к инвариантному распределению (теорема 4). Эта теорема, в отличие от соответствующей теоремы из [20], указывает на регулярную изменчивость ПФ инвариантного распределения. 2. Основная лемма и ее дифференциальный аналог В теории ветвящихся процессов асимптотическое представление ПФ рассматриваемого процесса служит основой для ряда важных результатов. Мы начнем с доказательства нижеследующей Основной леммы для некритических процессов (в литературе такое название обычно используется для критического случая). Предполагая q Ф 0 в случае m > 0, введем в рассмотрение функцию Fq (t; s) = F(t; qs)/q . Нетрудно проверить, что она определяет докритический МВП {Zq (t), t e T} с пространством состояний S0 и с плотностью закона превращения частиц

Скачать электронную версию публикации