Differential equationsof balansed continuum for planar deformation in cylindrical coordinates at bilinear approximation .pdf Вопросы построения замыкающих уравнений для сплошных нелинейно упругих сред, находящихся в условиях сложного напряжённого и деформированного состояния, позволяющие адекватно описать эволюцию их напряжённо-деформированного состояния, являются ключевыми [1, 2]. Фактические зависимости между объёмными деформациями и объёмным напряжениями, а также между сдвиговыми деформациями и сдвиговыми напряжениями являются, как правило, нелинейными и трудно поддающимися аналитическому описанию. Вместе с тем, даже в случае нелинейного аналитического описания замыкающих уравнений, решение конкретных задач методами теории упругости является чрезвычайно сложным процессом, обусловленным физической нелинейностью. Для исключения эффектов физической нелинейности предлагается диаграммы объёмного ст = ст(е) и сдвигового T = T(Г) деформирования при сложном напряжённо-деформированном состоянии аппроксимировать билинейными функциями. При этом и на первом и на втором участках билинейных диаграмм объёмного и сдвигового деформирования можно будет использовать уравнения линейной (или геометрически нелинейной) теории упругости. Это с одной стороны. А с другой - разрешающие дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений, в силу линейных зависимостей между напряжениями и деформациями, будут иметь относительно простой вид. Вопросам аппроксимации диаграмм работы материалов уделяется пристальное внимание. Так, в работе [3] рассмотрены практические вопросы аппроксимации опытных диаграмм работы неупругих материалов степенными и дробнолинейными функциями. Дана методика определения геометрического и физического смысла эмпирических коэффициентов, входящих в аппроксимирующие С. В. Бакушев 70 формулы. В статье [4] показано, что результаты расчётов цилиндрической оболочки с сыпучим заполнителем при поперечном изгибе в геометрически и физически нелинейной постановке существенно отличаются от экспериментальных данных, если применяется билинейная аппроксимация диаграммы деформирования без учёта критических значений напряжений и деформаций. Отмечено, что точность решения во многом определяется величиной касательного модуля упрочнения материала. В работе [5], на основе положения о кинематической и статической определимости, описана методика определения диаграмм нелинейного деформирования разносопротивляющихся материалов при неоднородном напряжённо-деформированном состоянии, а также иллюстрируются основные приёмы (сплайн-аппроксимации) для достижения приемлемой точности результирующих функций. В работе [6] рассматриваются и анализируются физические законы связи напряжений и деформаций современной теории упругопластического деформирования, а также постулаты макроскопической определённости и изотропии начально-изотропных сплошных сред. Обсуждается вопрос о возможности применения постулата изотропии к оценке влияния параметров вида напряжённодеформированного состояния, возникающего из-за деформационной анизотропии при изменении внутренней структуры материалов. Также обсуждается вопрос о правомерности представления симметричных тензоров второго ранга напряжений и деформаций в виде векторов координатного линейного евклидова шестимерного пространства. Предложен соответствующий принцип тождественности тензоров и векторов. В статье [7] для случая одноосного деформирования реологически сложных сред с учётом разносопротивляемости деформациям растяжения и сжатия приводится общая схема построения математических моделей, на базе которых строятся модели для пространственного напряжённо-деформированного состояния и обсуждаются вопросы идентификации входящих в них механических постоянных. В настоящее время в связи с усложнением форм строительных конструкций, развитием авиастроения, кораблестроения, ракетостроения и так далее роль теории упругости как в линейной, так и в нелинейной постановке, резко изменилась. Теперь она составляет основу для построения практических методов расчёта деформируемых тел и систем тел разнообразной формы. При этом в современных прочностных и деформационных расчётах учитываются не только сложность формы тела и разнообразие воздействий (силовое, температурное и т.п.), но и специфика физических свойств материалов, из которых изготовлены тела. Значительное внимание уделяется расчёту деформируемых тел с учётом геометрической и физической нелинейности. Так, в работе [8] на основе соотношений нелинейной теории упругости, в предположении простого активного нагружения, получено решение физически и геометрически нелинейной задачи о больших деформациях полой сферы, выполненной из несжимаемого материала. Полученные результаты свидетельствуют о существенном влиянии физической нелинейности материала сферы на функциональную зависимость перемещение - давление. Автором [9] разработана теория расчёта стержневых конструкций с учётом всех видов нелинейности. Изогнутая ось стержня аппроксимируется пространственной кривой. Получены системы разрешающих дифференциальных уравнений. В статье [10] приведен динамический критерий потери устойчивости прямоугольных в плане сферических оболочек при действии переменной во времени поперечной нагрузки с учётом двух типов нелинейности - геометрической и физической. Геометрическая нелинейность учитывается на основе соотношений Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды для плоской деформации 71 Т. Кармана. Физическая нелинейность описывается деформационной теорией пластичности А. А. Ильюшина. В статье [11] представлен вычислительный алгоритм, одновременно учитывающий физическую и геометрическую нелинейность деформирующейся среды, предназначенный для изучения статического упругопластического состояния вблизи транспортных подземных выработок произвольной формы. В основу алгоритма положена вариационная формулировка нелинейного конечно-элементного анализа. В работе [12] на основе гипотезы Эйлера -Бернулли построена теория нелинейной динамики неоднородной однослойной балки с учётом физической геометрической (в смысле Т. фон Кармана) нелинейности. Балка находится под действием знакопеременной нагрузки, распределённой равномерно по всей её поверхности. В статье [13] рассматриваются пологие оболочки на прямоугольном плане с учётом геометрической и физической нелинейности, а также неоднородности свойств материала по толщине оболочки. Авторами [14] рассмотрены процессы деформирования шарнирно закреплённых по торцам прямолинейных идеального и неидеального (неоднородного) стержней с параметром гибкости X = 867 при действии осевой сжимающей силы. В расчётной модели учтена геометрическая и физическая нелинейность, пластичность, изотропность, реальная диаграмма деформирования материала. Показано, что в идеальном стержне деформации обусловлены эффектом Пуассона, изгибных деформаций нет. Установлено, что для неидеального стержня существует критическая сила, при которой происходит потеря устойчивости стержня, связанная со значительными поперечными перемещениями (прогибами). Величина полученной критической силы согласуется с известным решением Эйлера. Уравнения механики деформируемого твёрдого тела записываются, как правило, в соответствующей системе отсчёта - соответствующей системе координат. В зависимости от формы тела используются декартовы, полярные, цилиндрические, сферические [15-17] и другие координаты, например криволинейные подвижные лагранжевы [18], биполярные координаты [19]. Общие уравнения механики можно записать также и для общего случая произвольных криволинейных координат [1]. В данной работе используется наиболее часто применяемая в задачах, после декартовой, цилиндрическая система координат. Цилиндрическая система координат используется при решении многих задач как линейной, так и нелинейной теории упругости. Так, в работе [20] выполнено исследование напряжённо-деформированного состояния пороупругого цилиндрического тела при радиальном равномерном сжатии, в результате чего построена математическая модель, описывающая неоднородное напряжённо-деформированное состояние цилиндрического тела для материалов с пористой структурой при упругой работе полностью сжатой матрицы. В [21] в цилиндрической системе координат рассматривается задача устойчивости кольцевых пластин с криволинейными структурами армирования в условиях плоского напряжённого состояния. Получен общий вид форм потери устойчивости, что позволило свести двумерную задачу к одномерной. Определены критические нагрузки для законов армирования по спирали Архимеда и логарифмической спирали. На основе метода малого параметра [22] построено аналитическое решение стохастической нелинейной краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления в цилиндрических координатах. Приведено обобщение задачи расчёта толстостенной трубы, свойства материала которой описываются случайной функцией двух аргументов. В работе [23] в ци- С. В. Бакушев 72 линдрической системе координат рассмотрено напряжённое состояние пространства, заполненного сыпучим материалом. Микроструктура сыпучего материала обусловливает возможность объёмной пластической деформации за счёт деформации сдвига. Это подтверждается ассоциированным законом течения к условию пластичности, предполагающего зависимость предельного касательного напряжённого состояния от давления, что, в свою очередь, допускает возможность замкнутого вида условия пластичности в пространстве главных напряжений. В той же системе координат методом конечных элементов рассматриваются состояния толстостенного цилиндра при двух видах нагружения в неоднородном температурном поле [24]. При этом исследуется влияние учёта связанности численного определения напряжённо-деформированного состояния и температурного поля на решение задачи нелинейной термоупругости. Статья [25] посвящена упругопластическому кручению двухслойного слабоанизотропного стержня некругового поперечного сечения, представляющего собой двухсвязную область. Решение строится в предположении, что пластическая область целиком охватывает внешний контур поперечного сечения и существует упругопластическая граница, которая расположена между внутренним контуром и границей раздела слоёв. Задача решается в цилиндрической системе координат. В работе [26] так же в цилиндрической системе координат исследуется распространение нестационарных осесимметричных поверхностных возмущений в полупространстве, заполненном упругой однородной изотропной средой Коссера. Замкнутая система уравнений включает в себя уравнения относительно нетривиальных компонент потенциалов перемещения и угла поворота, а также соотношения, связывающие перемещения с потенциалами, и компонент тензоров напряжений и моментных напряжений с перемещениями и углом поворота. На граничной плоскости заданы нормальные перемещения. Показано, что учёт моментных напряжений приводит к качественным изменениям, а именно, наблюдается дополнительный волновой фронт. В статье [27] анализируются две анизотропные упругие модели, описывающие механическое поведение древесины: линейная ортотропная модель и цилиндрически ортотропная модель. Показано, что вторая модель является более сложной, но зато более адекватно описывает механические свойства древесины. В статье [28] представлена разработка математической модели для описания механических свойств однослойных углеродных нанотрубок (ОСНТ). Связи углерод - углерод (С-С) между двумя соседними атомами смоделированы как балки Эйлера. Материальные константы балочного элемента - модуль Юнга и коэффициент Пуассона - определяются на атомном уровне. Расчёт выполнен в цилиндрических координатах. В данной работе строятся дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях для случая плоского деформирования сплошной среды в цилиндрических координатах u = u (г, ф), v = v (г, ф), w = 0 при аппроксимации замыкающих уравнений произвольной формы билинейными функциями без учёта геометрической нелинейности. Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях для случая плоского деформирования сплошной среды в декартовых координатах при аппроксимации замыкающих уравнений произвольной формы билинейными функциями без учёта и с учётом геометрической нелинейности приведены в работах [29, 30], а для случая осесимметричного деформирования сплошной среды при аппроксимации замыкающих уравнений произвольной формы билинейными функциями с учётом и без учёта геометрической нелиней- Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды для плоской деформации 73 ности - в [31]. Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях для случая центрально-симметричного деформирования сплошной среды при аппроксимации замыкающих уравнений произвольной формы билинейными функциями с учётом и без учёта геометрической нелинейности разработаны в [32]. Вопросы аппроксимации диаграмм объёмного ст = ст(е) и сдвигового T = T(Г) деформирования при помощи билинейных функций, а также вопросы нахождения оптимального расположения точки излома на билинейном графике в [33]. Построение физических уравнений В соответствии с рис. 1 и 2 секущие модули объёмного расширения (сжатия) K = K (е, Г) и сдвига G = G (е, Г) на первом прямолинейном участке диаграмм ст = ст(е) и T = T (Г) будут определяться выражениями K = 3 K0 = const; (1) G = G0 = const. (2) Рис. 1. Диаграмма ст = ст(е) Fig. 1. Curve ст = ст(е) Рис. 2. Диаграмма T = T (Г) Fig. 2. Curve T = T (Г) На втором прямолинейном участке диаграмм ст = ст(е) и T = T(Г) секущий модуль объёмного расширения (сжатия) K = K (е, Г) и секущий модуль сдвига G = G (е, Г) будут определяться выражениями K = K (е) K\\ +(K - K ^ е Ф const (3) G = G (Г) = G\\ +(G0 - G\\ )Гі ф const. (4) Здесь K0 - начальный модуль объёмного расширения (сжатия); G0 - начальный модуль сдвига; K\\ - модуль упрочнения при объёмном расширении (сжатии); G\\ - модуль упрочнения при сдвиге; ст - первый инвариант тензора напряжений; е - первый инвариант тензора деформаций; T - интенсивность касательных напряжений; Г - интенсивность деформаций сдвига. Так как построение билинейных диаграмм объёмного и сдвигового деформирования выполняется, вообще говоря, независимо друг от друга, а при плоской С. В. Бакушев 74 деформации - в цилиндрических координатах 8 = 8rr + 8фф и Г = ( -8фф)2 +82 + 8 фф 3 +- 2 8 то установить связь между точками излома билинейных диаграмм ст = ст(8) и T = T (Г) в явном виде не представляется возможным. Здесь ди 1 (дѵ Л dv 1 du v &rr = "dr ’ 8фф= r [дф + U)’ 8гф=8фг =дГ + r дф r ’ причём d8rф = = d2v 1 du 1 d2u 1 ( dv ); dr dr dr2 r2 dф r drdф r2 v dr / = ^фг = d2v + 1 d2u 1 dv ; dф dф drdф r dф2 r dф d 2u Г 1 (dv N 1 ( d2v du Л + --+ u + +-dr2 [ r2 ѵ5ф , r І^^ф dr j d2u +1Г d2v + _du ); дrдф r І^ф2 dф j’ d8 = d8rr + 3^ dr dr dr d8 = d8rr + d8^^ дф дф дф dr dr dr dф ^2_ 3Г ^2_ 3Г , d8r d8 фф 3 d 8; (28гг 8фф) dr +(фф 8rr) dr + 2 dr 2 (8 -8 ))+(8 -8 )d2 +38 ( rr фф) )ф ( фф rr) )ф 2 гф гф Рассмотрим шесть основных случаев физических зависимостей. Случай 1: К0 Ф К1, G0 Ф G1. Здесь возможны три варианта взаимного расположения абсцисс точек излома билинейных диаграмм объёмного и сдвигового деформирования. а) . Численные значения абсцисс точек излома билинейных диаграмм совпадают, то есть ^ I = Г1. При этом 0 < |8 < |8^ и 0 < Г < Г1. б) . Численные значения абсцисс точек излома билинейных диаграмм не совпадают, то есть Ы < Л . При этом 0 < |8 < ЦI и 0 < Г < Г0 < Г1. Здесь интенсивности Г0 соответствуют такие компоненты деформации, что |8rr +8фф = |8^. в) . Численные значения абсцисс точек излома билинейных диаграмм не совпадают, то есть hi > Л . При этом 0 < |8 а „ И- К0 - G1 +(G0 - G! ^ С. В. Бакушев 76 Случай 4: К0 Ф К1, G0 Ф G1. Здесь возможны три варианта взаимного расположения абсцисс точек излома билинейных диаграмм объёмного и сдвигового деформирования. а) . Численные значения абсцисс точек излома билинейных диаграмм совпадают, то есть |е 11 = Г1. При этом |е| > |ej и Г > Г1. б) . Численные значения абсцисс точек излома билинейных диаграмм не совпадают, то есть Ы < Г . При этом |е| > |е0| и Г > Г1. Здесь объёмной деформации е0 соответствуют такие компоненты деформации, что = Г. в). Численные значения абсцисс точек излома билинейных диаграмм не совпадают, то есть Ы > Г . При этом |е| > |ej и Г > Г0. Здесь интенсивности Г0 соответствуют такие компоненты деформации, что |еrr + ефф| = |е^ . В этом случае физические уравнения плоской деформации в цилиндрических координатах с учётом формул (2) и (4) будут иметь вид ст = - 3 стфф з К +(К0 - К))-е _ Кі +(К0 - к СТГф СТфГ е + 2 е + 2 Gi +(G0 - Gi )Г G1 +(G0 - G1 )-Г- Gi + (G -Gi) Г1 Г егг зе ефф 3 е (8) Гф’ ст - = 13 Кі +(0 - Кі))е G1 +(G0 - G1 )ГТ Случай 5: K0 = K1, G0 Ф G1. Точка излома на диаграмме ст = ст(е) отсутствует. При этом, если 0 < Г < Г1, то физические уравнения плоской деформации в цилиндрических координатах будут иметь вид (5); если Г > Г1, то физические уравнения плоской деформации будут иметь вид (7). Случай 6: К0 Ф К1, G0 = G1. Точка излома на диаграмме T = T (Г) отсутствует. При этом, если 0 < |е| < |е^ , то физические уравнения плоской деформации в цилиндрических координатах будут иметь вид (5); если |^>|е^, то физические уравнения плоской деформации будут иметь вид (6). Построение дифференциальных уравнений равновесия Подставляя физические уравнения (5) - (8) в дифференциальные уравнения равновесия плоской деформации сплошной среды в цилиндрических координатах [1]: дстГг 1 дст дг дст, + г Гф фф фг дф 1 дст, + Fr = 0; (9) дг + г фф дф + г ст гф + ^ф = 0 получим четыре вида разрешающих уравнений в перемещениях, имеющих одну и Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды для плоской деформации 77 ту же структуру: д 2и д 2ы д 2ы д2 ѵ д 2ѵ д 2ѵ Ai -- + B -- + C--+ Di -- + Ei -- + Fiдг2 дф2 дгдф дг2 дф2 дгдф + A + Fr = 0; д 2и д 2и д 2и Ао -- + B2 -- + C2дг2 дф2 дгдф д 2ѵ д 2ѵ + d2 -2 + e2 -2 + F2 дг2 дф2 д 2ѵ -+ B + Fф= 0 дгдф ф Коэффициенты А1, B1, C1, D1, E1, F1, А и A2, B2, C2, D2, E2, . уравнениях (10) зависят от вида физических уравнений. 1) Для физических уравнений (5) получим 1 1 1 1 1 А = 3 Ко + - Go; B = G„-; C = 0; D = 0; E = 0; F =1- К 0 + - Go) -; 3 3 г V 3 3 ) г . \\'1„ 4 Л 1 (ди и Л (1 1 Л 1 дѵ А = \\-К0 +-G0 И---l-l-К0 + -G0 l --; г V дг г А2 = 0; B2 = 0; C2 = V- К0 + - G0 г 2 дф B = G, 1 ( дѵ ѵ 1 0 г v*" г )+V-К'0 + т G° г 1 ди г2 дф D2 = G0 ; E2 =| 3 К0 + - G0 т; f2 2) Для физических уравнений (6) А: = 3К + |G0; B = G0-2; C1 = 0; Д = 0; E = 0; F =(1 К + 3G0) 1; . (1 4 Л1 (ди и Л (1 1 Л 1 дѵ А = (3Кі + 3G0)7Ь-7)-(3К + 3G0)“_; ^ ^ Л 1 ~ ^ ^ Л 1; F2 = 0 дф’ (10) 72, B в (11) 0; (12) А2 = 0; B2 = 0; C2 =1 -К1 + -G0 k; D2 = G0; E2 = I -К1 +-G( B = G, 3 1 3 0 г Ѵдг г1 \\ 3 1 3 0) г2 дф 3) Для физических уравнений (1) 1 ( дѵ ѵ г 1 ди А1 = 3К 0 + з G1 + з (G0 - G1 )т ~ 3 G - G1 Ѵегг - 3 е)(2егг -ефф); B = [g +(G0 - G1 )Г- (G0 - G1 )82ф ^1 L г тгJг C1 =-2 (G0 - G1 Кф £ (е гг - ^ 8) + ^ (28гг -8фф) 3; D =-2(G0 -G1 )8гф-Гг(8гг -3Е); E1 =- | (G0- G1 )8гф 73 (8фф -8гг ); 3 г г F = 3 К0 - 3 G1 - 3 (G0 - G1 )Т ~ 3 (G0 - G1 )г3 ^8гг - 3 8)(фф -8 гг) G1 + (G0 - G1 );Г- (G0 - G1)Гк82ф Рис. 12. Распределение горизонтальных напряжений в слоях земной коры и верхней мантии на территории Якутско-Вилюйской КИП вдоль геологического профиля «Кратон-1980» Fig. 12. Pressure distribution in the lithosphere layers in the area of the Yakutsk-Vilyui LIP along the geological profile “Craton-1980” 78 С. В. Бакушев A = 3K0 -3G -3(G° -G )f■ 3(G° -G1Ф[&rr -33)(2вфф srr) 1 ( du 1 dv u A , ч Г ( 1 A1 (1 5m dv v A x r {* - Т d,-Т J+2 (G- G')5- FA - 3 6J ГI r d,+ * ' 7 J" - 2 (go - с, )Г- »г»(2=,,-»гг ) j,-L G1 + (G0 - G1 )~Г-(G0 - Gl )ГГ 1 1 dv + 2 G + G G . Г1 d~ + - G1 + (Go -G1 )- r d, r L Г (err 8,,); (13) A2 = 3 (G0 G1 (r, г3 (2err e,,); B2 =-2(Go-G,), Г. ( 3Ko + 3G1 + 3(Go - G1Г - 4(Go - G, [e,, - ie^(2Brr -e,,)-(Go - G, Г- 1 A 1 e,, -e 1 r ,, 3 “ I..2 ’ D2 = G, +(Go -g)-(Go -G,)e2,^ Г3 E2 = 3k + iq + i(G„ - gi )Г - ^(g„ - gi )Г[б,, - з()(2б,, -6„) Г1 F =-2(Go -G1 H,Г3L3 -(2e„ err ) + (S„ ~e B=3Ko + 4G1 + 4(0 -G1 )T-4(Go -G1 -3s^)(2sw -e,r) - |(Go - Gi)e„ £ ( (f - ^ - M1+2(Go- GiK, Г 1 A 1 dv e,, 31 2 ,Г3 .Г, 1 du dv v A1 2 -+-I-+ - G, +(Go -G,)Г-(С, -G,(Г3е2 4) Для физических уравнений (8) A1 = 3K1 + 4G1 + 4(Go -G1}T~3^ -^[err -3e^(2err -e,,); B = Г 40 12 Г3 r,_|[ r d, dr r 1 r r_ G, +(G, -G,( 3 1r2 d, Г3L Г br' G1 + (G0 - Gi )Г- - (G0 - G1 (^e2, C =-2(G, -G, )e Г1 r, г 3 err ,e ) + ,(2err e,,) D =-2(Go-G, )er, Г3 (err-3e); E1 =-2(G0 -G1 )er, Г3(2e,, -err )(; F = Гі 4, Г, -K, --G, --(Go -G,(3-~(Go -G,H3I Г3 G1 + (G0 - Gi )(Г3 - (G0 - G, H, ■Г3 Г3 3 rr ,, -e rr ) 1 -+ r Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды для плоской деформации 79 1 (ды 1 дѵ u ) + к -3Gl -2(Go -Ч)^-1(0 -e,)^-І^-Ц^д,. ,* ,j „„ ч Г ( 1 А1 (1 ды дѵ И 2, Г 1 1 дЫ r 2 дф + 2(Go - G1)s„ ^ [в„ - Т)~ [-^+д - -)-1 G - °1)6^- Г21-8") G1+(G0 -G1)-(G0 -G1 )в 1 дѵ 2 ■+ 2 ГЫ гф Г3 J r2 дф r L G1 +(G0 - G1) (гг г) (14) ^2 _ 3(G0 G1 Кф г3 (2err 8фф); B2 =-2(G0-G1 )8-ф Г3 -2; ^2 = І K + 1G1 + i(G0 - G1 )Г ~(Go - Гі - 4(g0 - G1 )Гы ^вфф - 3в](2в rr г D = G1 +(G0 -G1)Tl-(G0 -G1 )в2ф-Гі; E2 = 3K1 + 4g1 + 4(g0 - G1 )t ~ 4(g0 - G1 Г (вфф - 4в>вфф -в --) Г1 F2 =-2(G0 -G1 )в-фГІ[з о(2вфф 8rr ) + [вфф ~в 1 (ды 1 дѵ u дг r дф r B = 1K1 + 4G1 + 4(G0 - G1 Г - 2(G0 - G1 ) -ф “3 (( -в гг) Г1 1 ды дѵ + v j 1 2 G1 +(G0 -G1 )~Г~(G0 -G1 )в2ф7-3 I д д I Г Г3 А - дф дг r j r r _ G1 +(G0 - G1 + 4(G0 -G1 Г(вфф - 1в^(2вфф -8rr)-2^ + 2(G0 -G1 )вГфГ[1 -1 В формулах (11) - (14) в-ф + 1 j 1 дѵ -2 дф 2 2 2 3 2 + с^ + в +--в = Т і>гг “ Ьфф ~ Гф Г )Ц]1 (вгг вфф) 2 К ды 1 дѵ u j2 (ды j2 1 (дѵ j2 3 (дѵ 1 ды ѵ2 2 + 1- 3 \\ | дг г дф г j I дг дф ■ + ы | + 21 дг г дф г Таким образом, дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях для плоской деформации сплошной среды в цилиндрических координатах при билинейной аппроксимации физических соотношений построены. Заключение Построенные в статье дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях в цилиндрических координатах могут найти применение при определении напряжённо-деформированного состояния сплошных сред, находящихся в условиях плоской деформации, физические соотношения для которых аппроксимированы билинейными функциями. С. В. Бакушев 80 Замечание: предложенный в статье метод построения дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях для геометрически линейных сплошных сред, физические соотношения для которых аппроксимированы билинейными функциями, может быть с успехом применён и для сплошных сред, механическое поведение которых описывается геометрически нелинейными моделями.

Скачать электронную версию публикации