Nonlinear effects of oscillations of two immiscible liquids in a limited vessel.pdf Нелинейная теория движения ограниченного объема жидкости со свободной поверхностью, а также с поверхностью раздела двух жидкостей, представляющая собой особый раздел механики, используется при решении ряда практических задач. Обеспечение устойчивого полета современных и перспективных летательных аппаратов ракетно-космической техники и достижение точности управления ими невозможно без тщательного описания динамических процессов, происходящих в сложной механической системе. Литературу по волновым движениям жидкостей, состоящих из слоев разных плотностей и имеющих отношение к настоящей работе, условно можно представить двумя направлениями. К первому отнесем работы, связанные с исследованием волновых движений жидкостей разных плотностей, занимающих открытую область пространства. Здесь прежде всего необходимо отметить основополагающие работы Сретенского Л.Н. [1], Ландау Л.Д. [2], в которых изложены основные сведения и методы исследования колебаний двух жидкостей. Из иностранных работ отметим фундаментальные статьи по колебаниям двухслойной жидкости Thorpe S.A., Camassa R., M. La Rocca [3-5]. Среди современных работ, связанных с рассматриваемой тематикой нелинейных колебаний двухслойной жидкости, следует отнести работы [6, 7], в которых проведено экспериментальное исследование профиля двумерно гравитационных волн и показано, что для таких волн имеют место вторичные циркуляционные течения, пронизывающие всю жидкость. В работе Порубова А.В. [8] установлено, что двухмерные нелинейные внутренние волны двухслойной жидкости могут быть описаны при помощи двухмерного обобщенного уравнения Гарднера. Басинским К.Ю. в работе [9] рассмотрена нелинейная задача о распространении волны на свободной поверхности вязкой жидкости в плоском случае. Закономер- Вин Ко Ко, А.Н. Темнов 98 ности реализации гравитационного нелинейного волнового движения в двухслойной жидкости с конечной глубиной верхнего слоя исследованы в работе [10]. К второму направлению отнесем работы, в которых изучаются волновые движения жидкостей в ограниченном объеме неподвижного или подвижного твердого тела. Из последних работ отметим работы Калиниченко В. А., [11, 12], в которых рассмотрен эффект влияния верхнего слоя вязкой жидкости на колебания двухслойной жидкости в прямоугольном сосуде. В статье Мерзлякова А.В., Крюковой Е.А. [13] рассмотрена плоская задача о колебаниях в прямоугольном баке двухслойной жидкости, разделенной жёсткой горизонтальной проницаемой перегородкой, а в работах [14, 15] - подобная задача в круглом цилиндрическом баке с упругой перегородкой. В работе Науменко В.В., Стрельниковой Е.А. [16] показано, что использование потенциала двойного слоя позволяет учесть эффект краевого вихревого шнура и дает полное соответствие математической модели реальному процессу в задаче о свободных колебаниях пологой оболочки в идеальной несжимаемой жидкости. В работах [17-21] рассмотрены малые колебания двух- и трёх-слоистых жидкостей в полостях различной формы для случаев подвижного и неподвижного твердого тела. При проведении экспериментов с жидкостями, полностью заполняющими круглый цилиндрический бак, вблизи основного резонанса было замечено вращательное движение слоёв жидкостей, подобное движению свободной поверхности однородной жидкости. Особенности линейных и нелинейных колебаний однородной жидкости, частично заполняющей полость подвижного и неподвижного твердого тела, рассмотрены в [22-25]. Целью данной статьи является исследование нелинейных колебаний поверхности раздела двухслойной жидкости и получение теоретической интерпретации наблюдаемого эффекта. 1. Постановка задачи Рассмотрим осесимметричный сосуд произвольной формы, полностью заполненный двумя жидкостями. Введем систему координат Oxyz , с началом в точке O на невозмущённой поверхности раздела жидкостей (рис. 1). Жидкости плотности Pj и р2 предполагаются идеальными и несжимаемыми. Обозначим через к\\ и h2 глубины каждого слоя жидкости при отсутствии вращательного движения поверхности раздела. Систему координат Oxyz расположим так, чтобы в невозмущенном положении механической системы тело - жидкости ось Ox была перпендикулярна невозмущенной поверхности раздела жидкостей Г 0. Смоченные поверхности полости обозначим через S(i)(i = 1,2), а возмущенную поверхность раздела жидкостей - через Г (см. рис. 1). Уравнение возмущенной поверхности раздела можно представить в виде, разрешенном относительно координаты х: z = х - f (y, z, t) = 0. (1) В предположении отсутствия вихревого движения в каждой жидкости сформулируем задачу о нелинейных колебаниях поверхности раздела жидкостей, полностью заполняющих полость подвижного твердого тела, совершающего поступательное движение по закону: U (t) = S cos rat (см. рис. 4). Теоретическое исследование эффектов колебаний двух несмешивающихся жидкостей 99 Рис. 1. Система координат и основные обозначения для тела с двухслойной жидкостью Fig. 1. Coordinate system and basic designations for a body with a two-layer fluid С учетом допущений постановка задачи состоит из уравнения Лапласа, условий непротекания на смачиваемых поверхностях, а также кинематического и динамического условий на возмущенной поверхности раздела и имеет вид V2Ф(1) = 0, в т1 , Ѵ2Ф(2) = 0, в т2 ; (2) dФ(1) dФ(2) dФ(1) dФ(2) =0, на S, , =0, на S2, = на Г ; (3) dv 1 dv 2 dv dv P 2дФ(2) dt дФ ,0) -P1dt +1[р2(ѴФ(2))2 - Р1(ѴФ(1))2 ]+(P2 - P1>c7 • r (4) = (P1 - P2)g • r на Г • r Iг = r Iг + ixf , v - внешняя нормаль к соответствующей границе области, занимаемой жидкостью. При решении подставленной задачи будем предполагать, что квадрат отклоне- 2 ний f возмущенной поверхности раздела от невозмущенной имеет порядок малости е • При вычислениях будем удерживать линейные, квадратичные, кубичные члены f, f2, f3, пренебрегая величиной е2. Рассмотрим сначала случай свободных движений жидкостей в неподвижной полости. С этой целью представим потенциалы скоростей каждой жидкости в виде следующей суммы: Ф(k) (х, у, г, t) = ^ ai (t)B(k) (x, y, z), k = 1,2, (5) i=1 где Ф(к) - потенциалы скоростей верхней и нижней жидкостей, B(k) - функции координат верхней и нижней жидкостей, ai - обобщенные координаты волновых Вин Ко Ко, А.Н. Темнов 100 движений жидкостей на поверхностях раздела i-й гармоники. Здесь и в дальнейшем суммирование по i производится по натуральному ряду чисел от единицы до бесконечности. Верхние индексы параметров (1) и (2) относятся соответственно к верхней и нижней жидкостям. Предположим далее, что известна некоторая ортогональная на области Г0 система функций fi (y, z), составляющих вместе с постоянной величиной полную систему функций. Отклонение поверхности раздела жидкостей разложим по системе функций fi : f = Zai(t) f (y, z). () i=1 Подставив (5) в уравнения Лапласа (2) и в кинематические граничные условия (3), получим краевые задачи V2 в(к) = 0 , в Tk, dB(k) d ѵ Sk 0, (k = 1,2), dBf] d ѵ Г dB(2) d ѵ Г fi / N. (7) Представим функции B(k) в виде разложения по параметрам at до второго порядка включительно (к) = B(к). B(k) = B і0 ■Z aj Bi j) +ZZ a,a k j +. j к () где функции B^), Bj), Bj^ зависят только от пространственных координат и не зависят от времени. Используя разложения вектора нормали и производных по нормали на возмущенной поверхности раздела жидкостей в ряд Тейлора и выражая все функции, входящие в кинематическое условия через их значения на невозмущенной поверхности раздела, исходную нелинейную задачу сведем к последовательному решению линейных краевых задач. С этой целью подставим разложения (6), (8) в (7) и, приравнивая выражения при одинаковых степенях параметров ai , после некоторых преобразований получим следующие краевые задачи для введенных выше функций: V2B(k) = 0 , в тк dBk) d ѵ = 0, на Sk dB(0) d ѵ dB(2) UDi 0 = f d ѵ Ji на Г0 (9) V2 Bj) = 0, в Tk dBj) -- = 0, на S, d ѵ k - (10) dj d ѵ dBjP -ѵ- = V' •(fj V'B®) = V' • (fj V'B®) на Г0; 2 (k) dj V2 B(k) = 0, в Tk, = 0, на Sk ; ijk d ѵ (11) (12) d ѵ dB(2) 1 1 dB( k) -j- = - V'-(fj V' Bk) + fk V' Bjk)) + - V'-(fjfk V'-*4 на Г0. (13) d ѵ 2 2 dx Теоретическое исследование эффектов колебаний двух несмешивающихся жидкостей 101 Далее воспользуемся динамическим граничным условием (4). Умножим уравнение (4) на функцию f и проинтегрируем по невозмущенной поверхности Г0. В результате получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для обобщенных координат аг- по индексу i: где d 2а d2aj 3 k dt2 -YZL(j-3 )a k kid j k I dt da 3 da (ц(2) +g (n?22 - лГ)а +IK22 -»% у*, dt + EZ) j k d a j d ak dt dt (2) - N0) ■ZZZ( N % - N 1k )a j k l dt dt - = 0 (i = 1,2,3,...), (14) ц(k) = pk j Bik) flk)dГо, N(k)2 = Pk j (flk))2dro; и и 3 = Pk j (Bkk)+f,

Скачать электронную версию публикации