Aerodynamics of turbulent flow in rotating semi-closed cylinder.pdf Вращающиеся элементы используются в целом ряде технических систем (газовые турбины, авиационные двигатели, аппараты химической технологии, лабораторные установки и т.д.) [1, 2]. Вращение элементов индуцирует закрученное течение в их внутренних полостях, в частности в цилиндрических каналах, что приводит к формированию закрученного потока сложной структуры. Экспериментальным исследованиям и расчетно-теоретическому анализу структуры закрученного потока в цилиндрических каналах посвящено большое количество публикаций. В большинстве известных работ [3-11] рассматриваются характеристики течения при тангенциальном вводе газа или жидкости в канал. В настоящей статье представлены математическая модель и результаты численного исследования характеристик турбулентного течения в полузамкнутом цилиндрическом канале, индуцированного его вращением вокруг оси симметрии. Постановка задачи Для описания аэродинамики стационарного осесимметричного изотермического закрученного потока использовалась физико-математическая модель, которая включает уравнения Навье - Стокса в цилиндрических координатах х, r (ось x направлена в сторону открытого торца цилиндра) [1, 11]: дри 1 dpur -*- + --- = 0 , дх r дг дри2 + 1 дри иг дх r дг 2021 ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика № 69 дрии . 1 дри^ = др +д дх + "r дт ~3r + ~дх f ди+ди дх дr (1) д f2ди 2(ди . 1 д^// + 1 д (ди , ди/ ~дх 2дх 3^дх+r дr jj_ r д +дх JJ + 1д r 2 -- 2 ди дr з[ дх r дr 1 Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания No. 0721-2020-0036. Аэродинамика турбулентного потока во вращающемся полузамкнутом цилиндре 115 puw r dpuw + I dpuwr _ d f дп) +1 d Гц^ 3_d(w dx r dr dx [Це dx J r2 dr [Стгф r dr [ r где u, u, w - осевая, радиальная и тангенциальная компоненты вектора скорости; p, р - давление и плотность воздуха; це = ц + ц - коэффициент эффективной вязкости; д - коэффициент динамической вязкости, ц - коэффициент турбулентной вязкости. Исследование характеристик турбулентности осуществлялось с использованием составной модели Ментера SST (Shear Stress Transport) [12, 13], которая представляет собой комбинацию к-е- и к-ш-моделей турбулентности, обеспечивающую сочетание лучших качества этих моделей. Известно [14-17], что к-е-модель хорошо описывает свойства свободных и струйных сдвиговых течений, а к-ш-модель обеспечивает существенно более точное описание пристеночных пограничных слоев [18]. С учетом этого, Ментером было предложено объединить эти модели. Вблизи твердых стенок реализуется к-ш-модель, а вдали от них - к-е-модель турбулентности. Плавный переход от одной модели турбулентности к другой обеспечивается введением весовой функции F1, которая принимает единичное значение в пристеночной области и равняется нулю вдали от стенки. Таким образом, для определения характеристик турбулентности используются уравнения [18, 19] + F2G - С„рюк - F3 (2) dpuk 1 dpvkr д Г, ч дк 1 1 д Г, , дк ~^- +--^- = ^Т (^ + СТЛ) +--г- (Ц + СткЦ)rlT дх r дr дх дх r дr дr дриш + 1 дрvшr _ д дх r dr дх + -- r dr , , дш (t Гддх , , дш (іІ+°ш!t у -Гдr ( . К2 I Сд л -FG-Сррш2 +(1 -FГСкш -F4, It (3) где к - турбулентная кинетическая энергия; е - скорость диссипации турбулентной энергии; ш - частота турбулентных пульсаций. Интенсивность скоростей сдвиговых деформаций (второй инвариант девиато-ра тензора скоростей деформаций) определяется выражением Г ди )2 (ди)2 rut2 r ди ди)2 Г дwч f д Г w ) [дхJ +[ c7) +[ 7) удт дх) +1. ах. + _г"дт [ r1 В уравнение (2) для расчета генерации турбулентной энергии введен ограничитель G _ min[цG, 20Сцрюк] . Последнее слагаемое в уравнении (3) описывает перекрестную диффузию: С кю 2р^ю2 Ю дк дю дк дю ] дх дх дr дr ) Функция смешения и ее аргумент вычисляются следующим образом: 4РСТю2 к [Скю ,10-20 _ F _ th(F54); F5 _ min 4к 500ц) Cmdw pd,2® max ц w I w где dw - расстояние от рассматриваемой точки до ближайшей точки твердой поверхности. О.В. Матвиенко, В.А. Архипов, Н.Н. Золоторёв 116 Описанная выше модель турбулентности модифицирована для расчета закрученных потоков введением поправочной функции F2 [20]: F2 = max [“ІИ [/rot> L25] , 0] • Данное определение ограничивает значения поправочной функции от F2 = 0 (стабилизированное течение без генерации турбулентности) до F2 = 1.25 (интенсивная генерация турбулентности). Для расчета поправочной функции используются зависимости [20], которые с использованием индексной формы записи имеют вид /rot = 2^* (т+!Ф-(rctg{2І)_) , г = 2 Qjk8 jk f DsijJ ,* _Jg ^ QF63 f Dt J, ^ Q2 , F 6 = ^max(G,)c ц®2 Q = 2 du_duЛ2 + (dwJ2 + (1 drwЛ2 dx dr J { dx J f r dr J Компоненты тензора скоростей деформации и тензора вихря определяются выражениями . . 1 (dv du Л . . 1 (dw Л . . 1 ( д wlr Л Sxr =8= 2 fdx + ~dr J , 8хф =8^ = 2 f'dx J , 8гф =8фг = 2 IГ dr J , ди . dv . v 8 xx = ^ , 8 rr = ^ , 8 фф = • dx dr r _ _ r drw 0.Гф = _0.фг = _ 2 ~d r 1 (do du Л 1 dw Qxr = _Qrx = _2(f-|U-J , ^ф_ -QФX = _2^ Qxx = 0 , Qrr = ° ^фф = 0 • Оператор D8 ij- /Dt - означает субстанциональную производную компонент тензора скоростей деформации 8, которая в случае стационарного осесимметричного течения имеет вид D8j- d8ij d8ij -- = и-- + и-- • Dt dx dr Для определения турбулентной вязкости по известным значениям k и ю в SST-модели используется выражение, базирующееся на гипотезе Брэдшоу [20, 21] о пропорциональности напряжение сдвига в пристеночной части пограничного слоя энергии турбулентных пульсаций: ц = min pk урк Ю F 7 g Эмпирическая функция F7 рассчитывается по формуле F 7 = th (F 2), F 8 = max 2 Vk 500ц Cwmdw dwPro_' Аэродинамика турбулентного потока во вращающемся полузамкнутом цилиндре 117 Эмпирические константы определяются через соответствующие константы к-е- и стандартной к-о-моделей с помощью функции F1: *к = Fi°ki +(1- Fi) ^ ош = ^ош1 +(1- F) сш2, Ср = ^Ср1 +(l - Fj )Cp2. Индексы 1 и 2 относятся соответственно к константам k-е- и к-о-моделей: стк1 = 0.85, CTffl1 = 0.5, Cp1 = 0.075, ak2 = 1, стш2 = 0.856 , Cp2 = 0.0828. Значения остальных констант выбираются в соответствие с рекомендациями [12, 14, 18]: Y = 0.31, Сц = 0.09, Q.1 = 1, C ^2 = 2, Су = 1, ^ = 0.41. Вследствие эллиптичности системы дифференциальных уравнений для замыкания задачи необходима постановка граничных условий на всех границах расчетной области. На стенках цилиндра моделируются условие прилипания и непротекания, кинетическая энергия турбулентности полагается равной нулю, частота турбулентных пульсаций onw определяется в ближайшем к твердой стенке узле конечноразностной сетки: п ц и = 0, u = 0, w = ~АnR, к = 0, anw = &2^- , 30 рД2 где n - частота вращения цилиндра (об/мин); R - радиус цилиндра; 92 = 80 - параметр модели; Д - расстояние до твердой стенки. Граничные условия на торцевой поверхности также определяют условия прилипания и непротекания и записываются в виде П ц и = 0, u = 0, w =^jtnr, к = 0, anw = S2^-. 30 рД2 На оси течения выполняются условия симметрии a nd^A A дк а9юа r = 0, и = 0, = 0, w = 0, = 0, = 0 . dr dr dr Давление p на входе в цилиндр полагается равным атмосферному. Остальные граничные условия на входе могут быть записаны как Uin = 0, wm = 0, к = Tu ' u2n, ю = . Здесь Cffl = 10, Tu = 0.03 - константы модели. Метод решения Представленные в предыдущем разделе уравнения представляют собой полную замкнутую систему уравнений, которая при соответствующих граничных условиях и известных свойствах потока определяет основные характеристики течения. Уравнения (1) - (3) решались численно с использованием метода конечного объема [22]. В соответствии с этим методом конечноразностные уравнения получают интегрированием дифференциальных уравнений по контрольным объемам, содержащим узлы конечноразностной сетки. Численное решение проводилось с использованием шахматной сетки. Узлы для осевой и радиальной составляющих скорости располагались в середине граней контрольных объемов для скалярных величин. Вычисления проведены на сетке с 2000 узлами в осевом направлении и 1700 узлами в радиальном. Вблизи стенок, а также в областях с большими градиентами скорости проводилось сгущение сетки. Известно [23-25], что при сильной закрутке в потоке возникают зоны со значительным продольным изменением гидродинамических параметров. Как следст- О.В. Матвиенко, В.А. Архипов, Н.Н. Золоторёв 118 вие, применение схем первого порядка по пространству является малоэффективным в силу сильной численной диффузии. В то же время традиционные схемы второго порядка приводят к появлению ложных осцилляций численного решения в областях больших градиентов [26]. Немонотонность этих схем является нежелательной и требует особого внимания при разработке вычислительных алгоритмов. В настоящей работе для решения уравнений динамики используется TVD-подход (Total Variation Diminishing). Этот подход связан с построением схем, которые уменьшают или сохраняют полную вариацию функции, не допуская тем самым появления ложных осцилляций. Основная идея TVD-подхода состоит в том, что расчет ведется всюду со вторым порядком точности, кроме зон с резким изменением параметров, где схема автоматически переключается на первый порядок точности. Этот переход обеспечивается с помощью специальных функций - лимитеров (ограничителей). Вопросы построения TVD-схем подробно освещены в [27] . В настоящей работе с целью монотонизации численной схемы используется ограничитель MinMod [28]. Уравнение неразрывности удовлетворялось с помощью алгоритма SIMPLEC [28] . Считалось, что сходимость итераций достигнута, если среднеквадратичная невязка для всех переменных не превышала 1%. Для оценки точности вычислений была выполнена серия расчетов на последовательностях сгущающихся сеток. Результаты тестирования показали, что уменьшение шага базовой сетки в 2 раза по осевой и радиальной координатам приводит к изменению значений основных переменных не более чем на 1%. Результаты расчетов и их анализ На основе представленной математической модели было проведено численное исследование структуры течения. Расчетные параметры имели значения: R = 0.5 см, h = 1-10 см, n = 500-3000 об/мин. На рис. 1 приведены линии тока во вращающемся цилиндре, рассчитанные для различной высоты стенки. Вращение стенок цилиндра индуцирует закрутку слоев воздуха, примыкающих к твердым стенкам. Закрутка воздушного потока приводит к появлению тангенциальной составляющей скорости и формированию поля центробежных сил, которые интенсифицируют движение воздуха в радиальном направлении, оттесняя его к стенке. В приосевой зоне формируется область пониженного давления. В эту зону подсасывается воздух, и внутри цилиндра формируется циркуляционное течение. Незакрученные массы воздуха инжектируются в приосевую часть цилиндра и движутся по направлению к его торцу. В процессе движения они взаимодействуют с закрученными пристеночными слоями. В результате этого движение инжектируемых масс воздуха становится закрученным. В окрестности торца происходит разворот потока с последующим истечением вдоль стенок цилиндра. Интенсивность вращения пристеночных масс воздуха благодаря вращению стенок значительно возрастает. Результаты исследования показывают, что структура потока определяется не только частотой вращения цилиндра n, но и его высотой h. В коротких цилиндрах (h/R < 6) при n = 2800 об/мин разворот потока происходит в непосредственной близости от торца. В длинных цилиндрах (h/R > 6) между торцевой поверхностью и зоной разворота потока формируется застойная зона с вихревым движением малой интенсивности. Таким образом, с ростом высоты цилиндра взаимодействие инжектируемого потока с торцевой поверхностью ослабевает. Аэродинамика турбулентного потока во вращающемся полузамкнутом цилиндре 119 a x/R 7.5 5.0 2.5 0 0.5 1 0.5 1 r/R 0 0.5 1 0 Рис. 1. Линии тока во вращающемся цилиндре (n = 2800 об/мин): а - h/R = 10, б - h/R = 5, в - h/R = 1 Fig. 1. Streamlines in a rotating cylinder (n = 2800 rpm): h/R = (a) 10, (б) 5, and (в) 1 Типичные радиальные распределения осевой и тангенциальной скоростей, рассчитанные в различных сечениях, представлены на рис. 2. u, см/с w, см/с Рис. 2. Радиальные распределения осевой (а) и тангенциальной скорости (b), (n = 2800 об/мин, h = 5 см): 1 - х = 1 см; 2 - х = 2 см; 3 - х = 3 см; 4 - х = 4 см Fig. 2. Radial distributions of the (а) axial and (b) tangential velocity, (n = 2800 rpm, h = 5 cm): х = (1) 1; (2) 2; (3) 3; and (4) 4 cm О.В. Матвиенко, В.А. Архипов, Н.Н. Золоторёв 120 Радиальное распределение осевой скорости в приосевой части течения характеризуется отрицательными значениями, что свидетельствует об инжекции воздуха. Вдоль стенок цилиндра происходит истечение воздуха. Наибольшие значения осевой скорости, как в приосевой зоне инжекции, так и в пристеночной зоне истечения, наблюдаются вблизи среза цилиндра. По мере приближения к торцевой стенке значения осевой скорости уменьшаются. Радиальное распределение тангенциальной скорости вблизи среза цилиндра характеризуется относительно невысокими значениями в приосевой зоне и резким увеличением значений тангенциальной скорости вблизи цилиндрических стенок. В результате действия вязких сил по мере проникновения воздушных масс происходит закручивание потока. В результате в приторцевой зоне течения вращение потока приобретает квазитвердый характер. a x/R 3.75 2.5 1.25 то 200 150 'У 200 125С 200 55 2.5 b Ру, 150 100 /200 150 250 0 0.5 1 1.25 '53 250 1.25 c 50/ / і 100 ,)0, Іиіі \\ 900 150, і ^300' 25 . II 1000 0 0.5 1 r/R 0 0.5 1 Рис. 3. Изолинии угловой скорости вращения потока (п = 2800 об/мин), рад/с: а - h/R = 4.0, b - h/R = 2.5, c - h/R = 1.25 Fig. 3. Isolines of the angular velocity of the flow rotation (n = 2800 rpm), rad/s: h/R = (а) 4.0, (b) 2.5, and (c) 1.25 На рис. 3 представлены распределения угловой скорости вращения потока to = w/r, рассчитанные для разных значений высоты цилиндра. Из рисунка видно, что угловая скорость инжектируемого потока возрастает по мере продвижения потока к торцевой стенке. Наибольшие значения угловой скорости потока достигаются вблизи стенок, наименьшие - в приосевой зоне. При (h/R < 6, п = 2800 об/мин) интенсивность вращения потока вблизи торцевой стенки невели- Аэродинамика турбулентного потока во вращающемся полузамкнутом цилиндре 121 ка, так как инжектируемые массы воздуха не успевают приобрести вращательное движение. С увеличением высоты цилиндра в результате контакта с закрученными пристеночными слоями интенсивность вращения потока вблизи торцевой стенки возрастает. При h/R > 6 угловая скорость вращения потока в торцевой зоне становится равной угловой скорости вращения цилиндра. Таким образом, при больших h относительное тангенциальное движение в окрестности торца прекращается. Интенсивность движения потока относительно стенок цилиндра характеризует кинетическая энергия относительного движения потока E = 0.5р|^и2+o2+(-nnr/30)2J. Распределения E, Дж/м3, в потоке представлены на рис. 4. a x/R 7.5 5.0 104ѵ 5.0 b о.ю 2.5 2.5 0.С5. c 0.10 1 0.10 0.05 2.5 1.25 0.1 ил л I 0.10 0 0.5 1 І04О- 0 0.5 1 r/R 0 0.5 1 Рис. 4. Изолинии кинетической энергии относительно движения потока (n = 2800 об/мин), Дж/м3: а - h/R = 10, b - h/R = 5, c - h/R = 2.5 Fig. 4. Isolines of the kinetic energy relative to the flow motion (n = 2800 rpm), J/m3: h/R = (a) 10, (b) 5, and (c) 2.5 Максимальные значения относительной кинетической энергии наблюдаются в зоне инжекции, где отсутствует вращательное движение потока. По мере закручивания потока его относительное движение ослабевает, что приводит к уменьшению E. В длинных цилиндрах минимальные значения E достигаются вблизи сте- О.В. Матвиенко, В.А. Архипов, Н.Н. Золоторёв 122 нок (цилиндрической и торцевой), где угловая скорость вращения потока близка к угловой скорости вращения цилиндра. В коротких цилиндрах поток достигает торца слабозакрученным, совершающим тангенциальное движение относительно торцевой поверхности. Это приводит к высоким значениям относительной кинетической энергии. На рис. 5, а, b приведены радиальные распределения тангенциальной скорости относительного движения потока Aw = w - nnr/30 в приторцевой области цилиндра (х = 0.2 см). С увеличением высоты стенок время пребывания воздушных масс внутри цилиндра возрастает. В результате этого благодаря действию вязких сил интенсифицируется процесс вовлечения воздушных масс во вращательное движение. И, как следствие этого, скорость движения воздушных масс относительно стенок цилиндра уменьшается. С увеличением частоты вращения при фиксированной высоте цилиндра процесс вовлечения инжектируемых воздушных масс во вращательное движение не успевает завершиться по мере приближения к притор-цевой области. В результате этого с ростом n относительная скорость тангенциального движения потока Aw вблизи торцевой стенки цилиндра увеличивается. Aw, см/с Aw, см/с Рис. 5. Радиальные распределения относительной тангенциальной скорости в приторцевой зоне: a (n = 2800 об/мин): 1 - h/R = 5, 2 - h/R = 10, 3 - h/R = 15, 4 - h/R = 20; b (h/R = 10): 1 - n = 500 об/мин, 2 - n = 1000 об/мин, 3 - n = 2000 об/мин, 4 - n = 2800 об/мин Fig. 5. Radial distributions of the relative tangential velocity in the near-edge zone: (a) n = 2800 rpm; h/R = (1) 5, (2) 10, (3) 15, and (4) 20; (b) h/R = 10; n = (1) 500, (2) 1000, (3) 2000, and (4) 2800 rpm Таким образом, величина Aw, характеризующая воздействие потока на торцевую поверхность, определяется двумя параметрами: частотой вращения и высотой цилиндра. В результате проведенных исследований на основании анализа результатов численного моделирования получена аппроксимационная зависимость, устанавливающая связь между этими параметрами. Согласно этой зависимости, высота цилиндра, обеспечивающая разность скорости торцевой стенки и воздуха в пограничном слое не более 10 % для заданной частоты вращения равна h = 2.14 -10-3n , R где n измеряется в об/мин. Аэродинамика турбулентного потока во вращающемся полузамкнутом цилиндре 123 Заключение Таким образом, анализ результатов расчетов показал, что при высоте цилиндра h/R < 2.14-10-3n разворот потока происходит в непосредственной близости от торцевой поверхности. При этом интенсивность вращения воздуха в цилиндре невелика, так как инжектируемые массы воздуха не успевают приобрести вращательного движения. С увеличением высоты цилиндра в результате взаимодействия с закрученными пристенными слоями интенсивность вращения потока вблизи торцевой стенки возрастает. В длинных цилиндрах (h/R > 2.1410-3n) между торцевой поверхностью и областью разворота потока формируется зона квазитвердого вращения, в которой взаимодействие инжектируемого потока с поверхностью незначительно. В приторцевой области течения угловая скорость вращения потока практически равна угловой скорости вращения торцевой стенки.

Скачать электронную версию публикации