Longitudinal-radial vibrations of a elastic cylindrical shell filled with a viscous compressible liquid.pdf Для приведения трехмерной по пространственным координатам задачи теории оболочек к двумерной используют различные методы и подходы. При этом в качестве основных неизвестных функций берутся перемещения срединной поверхности оболочки [1] и применяются различного рода упрощающие гипотезы и предпосылки механического и геометрического характера [2]. Примененные при построении теории гипотезы и предпосылки вместе с упрощениями приводят к существенным недостаткам и погрешностям. В теории оболочек Кирхгофа - Лява указанные недостатки являются существенными. На это в свое время обратили внимание В.В. Новожилов и Р.М. Финкельштейн [2], Х.М. Муштари [3], В.М. Да-ревский [4], У.К. Нигуль [5], поэтому «более тщательное соблюдение гипотез Кирхгофа - Лява все же не гарантирует получение более точных уравнений колебания» [6]. Кроме этого, можно указать еще три направления в теории оболочек, где плохо работают известные классические теории. Во-первых, при расчете многослойных оболочек и оболочек, находящихся в деформируемой среде, условия на контактной поверхности целесообразно сформулировать относительно перемещений контактирующей, а не срединной поверхности. При этом динамические контактные условия должны быть сформулированы в напряжениях. Общеизвестно, что в теории Кирхгофа - Лява пренебрегаются напряжения стгг, стгѲ, стгѲ и, естественно, при этом нельзя точно сформулировать контактные условия в напряжениях. Поэтому, при решении контактных задач теории оболочек появляется необходимость построения уточненной теории. В этом направлении С.А. Амбарцумяном [7] и Ю.И. Юаном [8] развиты теории, в которых пренебрегается напряжением стгг и приближенно учитываются напряжения стгѲ и стгѲ . Во-вторых, при расчете толстостенных цилиндрических оболочек погрешность при применении теории Кирхгофа - Лява может оказаться большей даже при напряженном состоянии со сравнительно небольшим показателем изменяемости [9]. Х.Х. Худойназаров, Р.И. Халмурадов, Б.Ф. Ялгашев 140 В-третьих, при исследованиях нестационарного колебания цилиндрических оболочек, в частности при исследовании быстропротекающих переходных процессов, применение классической теории нежелательно, если иметь в виду, то обстоятельство, что «развитие классической теории стимулировалось, главным образом, запросами задач на собственные частоты колебаний» [10]. Указанные недостатки теории Кирхгофа - Лява и других классических теорий побудили многих исследователей предпринимать попытки уточнения уравнений колебаний теории оболочек и, в частности цилиндрических оболочек и стержней кругового поперечного сечения. С другой стороны, несмотря на погрешности, вызываемые различными гипотезами, применяемыми при выводе уравнений колебаний, исследователи вынуждены их применять при решении тех или иных задач о колебаниях механических систем. Не составляют исключение и теории типа теорий Тимошенко, которые также используют упрощающие гипотезы. Из большого числа уточненных теорий цилиндрических оболочек можно привести теорию Г. Германна и И. Мирски [11]. Она считается наиболее правильной и простой для решения динамических задач цилиндрической оболочки. При разработке этой теории используются гипотезы и предположения, которые существенно упрощают построение теории и окончательных разрешающих уравнений колебаний [12]. При построении уточненных теорий стараются вывести уточненные уравнения колебаний, учитывающих те или иные факторы физического, механического или геометрического характера. В зависимости от учитываемых факторов методы вывода уравнений колебаний, основанные на динамической теории упругости, разделяются на три основные направления. К первому из них можно отнести методы, которые основаны на использовании вариационных принципов в динамике. Ко второму направлению относят методы, основанные на разложении составляющих поля упругих перемещений в ряды, в том числе в степенные. Существенное развитие такой метод получил в работах российских ученых. На его основе В.З. Власовым был разработан метод начальных функций применительно к оболочечным системам. Строгое математическое обоснование метода разложения упругих смещений в степенные ряды на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации дано Г.И. Петрашенем [10]. Наконец к третьему направлению относится метод использования общих решений в преобразованиях трехмерных задач теории упругости. Существенное и успешное применение к задачам динамики этот метод получил в работах И.Г. Филиппова и его учеников [13-15]. Сущность метода сводится к изучению построенных решений при различных типах внешних воздействий и к выяснению условий, при выполнении которых смещения или их «главные части» удовлетворяют несложным уравнениям колебаний, и к нахождению алгоритма, позволяющего по полю этих «главных частей» вычислять приближенные значения полей смещений и напряжений в любом сечении для произвольного момента времени [16, 17]. В работах [18, 19] решения задачи о переходном процессе деформации в цилиндрической оболочке получены с привлечением приближенной теории. В них в рамках теории Тимошенко рассмотрены задачи о распространении нестационарных волн и о переходных волновых процессах в линейно-вязкоупругой круговой цилиндрической оболочке конечной длины при динамическом нагружении одного из ее торцов. Продольно-радиальные колебания упругой цилиндрической оболочки 141 В последнее время исследователями уделяется особое внимание нестационарным задачам о колебаниях цилиндрических тел с жидкостями. К таким относится работа [20], в которой предложен подход к определению собственных частот и мод составных систем оболочек, включающий построение математической модели, основанной на теории Кирхгофа - Лява, уточненной теории типа Тимошенко и теории пространственной упругости. Работа [21] посвящена разработке подхода для определения характеристик волнового процесса в цилиндрической полости, заполненной вязкой сжимаемой жидкостью, возбуждаемой вибрирующим сферическим телом, размещенным на оси полости. Численно-аналитический метод нахождения собственных частот и форм колебаний трубопровода, транспортирующего идеальную жидкость, предложен в [22]. Метод позволяет определить собственные частоты и формы, когда натяжение или сжатие, а также диаметр являются произвольными функциями продольной координаты. Авторами [23] задача взаимодействия двухфазной жидкости с трубопроводом решена на основе стержневой теории. Построена математическая модель колебаний горизонтальных вязкоупругих трубопроводов, транспортирующих двухфазную среду, учитывающая внутреннее давление. Ниже рассматривается задача о продольно-радиальных колебаниях круговой цилиндрической упругой оболочки с внутренним r1, внешним r2 радиусами и содержащей покоящуюся вязкую сжимаемую жидкость. Без применения дополнительных гипотез и предпосылок физического или механического характера выведены общие уравнения колебаний такой оболочки, из которых можно получить типа классических и уточненных уравнения колебаний. Предложен алгоритм, позволяющий по полю искомых функций однозначно определить напряженнодеформированное состояние точек произвольного сечения рассматриваемой гидроупругой системы по значениям искомых функций. Полученные уточненные уравнения колебаний применены для исследования гармонических колебаний цилиндрической оболочки с вязкой жидкостью. Постановка задачи Считается, что рассматриваемая цилиндрическая оболочка, как трехмерное тело, строго подчиняется математической линейной теории упругости и в точной постановке описывается трехмерными уравнениями. При этом она отнесена к цилиндрической системе координат (г, Ѳ, z), где ось z направлена по оси симметрии цилиндра (рис. 1). Рис.1. Геометрия оболочки Fig. 1. Shell geometry Х.Х. Худойназаров, Р.И. Халмурадов, Б.Ф. Ялгашев 142 Предполагается, что колебания слоя, как и жидкости малы. При этом малость колебаний подразумевает малости смещений точек оболочки и жидкости. Зависимости между напряжениями и деформациями в точках цилиндрического слоя считаются заданными в виде соотношений закона Гука для изотропного тела. Уравнения движения точек оболочки как цилиндрического слоя используются в виде цДФ = рф; (Х + 2ц)ДФ = р Ф, (1) где X, ц - коэффициенты Ламэ; р - плотность материала оболочки; Д - трехмерный оператор Лапласа. При этом потенциалы продольных Ф и поперечных ф волн введены по формуле U = gradФ + rot[ezФ1 + rot(ezф2) . (2) Аналогично уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости при продольных колебаниях имеют вид [24] д_ dt 1 + LV 4ѵ' д 3a02 ^ Д- L JL a0 dt2 G = 0, - ѵ'Д^%2 = 0, (r, Ѳ, z )eQ (3) где Q - объем пространства, занятый жидкостью; a0 - скорость звука в покоящейся жидкости; ѵ' - кинематический коэффициент вязкости; ц' - коэффициент вязкости ц = р0ѵ ; р0 - плотность покоящейся жидкости; (4) - д V =- (gradG + r0t [zXl + r0t (ezX2 )) . dt Считается, что колебания цилиндрической оболочки возбуждаются усилиями на её внешней поверхности при r = Г2, т.е. граничные условия задачи имеют вид [25] CTrr (r z, t)|r=r2 = fr (Z, t) ; °rz (Г, Z, t ^r =r2 = frz (z, t) . (5) Будут иметь место следующие динамические и кинематические условия на поверхности контакта взаимодействующих сред CTrr (r z, t )|r=r1 = -Prr (r, ^t ^r = r1 , CTrz (r, z, t)|r=r1 = -Prz (r, z, t ^r =r1 ; (6) d d Vz (r, ^ 0Ц =JtUz (r, Z, OLr^ Vr (r, Z, t)r=r1 = JUr (r, z, t )Ц , (7) где Pj (i, j = r, Ѳ, z) - компоненты тензора напряжений в жидкости; Начальные условия задачи считаются нулевыми. Уравнения колебаний Для решения задачи (1), (3) - (7), функции внешних воздействий рассматриваются в классе функций, представимых в виде [26] fr (*•' I х0(k •p ),'dp- 0 ' (l) frz (8) Продольно-радиальные колебания упругой цилиндрической оболочки 143 где (l) - разомкнутый контур в плоскости p, прилегающий справа к участку (-/'ю0/'ю0) мнимой оси. Кроме того, функции fr (z,t) и frz (z, t) предполагаются такими, что функции f/0-1 (k, p) и fj°° (k, p) пренебрежимо малы вне области, 0 < k < k0, Im|p| < ю0. При представлении вектора перемещения в виде (2) крутильное составляющее перемещения зависит только от потенциальной функции ^, а продольная и радиальная составляющие зависят только от потенциальных функций Ф и \\у2. Поэтому задача изучения продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки может быть рассмотрена отдельно от задачи о крутильных колебаниях [27]. Аналогичное утверждение имеет место и для содержащейся в оболочке жидкости. Исходя из этого, представив потенциалы Ф , Т2, G и х2 аналогично (8) и подставив их в уравнения (1), (3), получаем обыкновенные дифференциальные уравнения, общие решения которых, учитывающие ограниченности решений при r = 0 и r , выражаются через модифицированные функции Бесселя и равны Ф0 (r )= A1I0 (ar )+ A2K0 (ar ) , Т 20 (r ) = АЛ) (Pr ) + B2K0 (Pr ) , r1 < r < r2 , (9) G0 (r) = CI0 (8r) , X20 (r) = DI0 (Yr) , (10) где A, B, C и D - постоянные интегрирования; a2 = k2 +pp2/(X + 2ц), p2 = k2 +pp2/ц, 52 = k2 + 3 p 2j (3а0 + 4v'), y 2 = k2 + p/v'. Аналогично представив напряжения ст j, Pj, преобразуются граничные и контактные условия (5) - (7). Подставив в преобразованные граничные условия решения (9), (10), получим 2ца2 + (a2 - k2 )J[I0 (a r)A1 + K0 (a r)A2 ]- -^цЦ (a r)A1 - K1 (a r)A2 ]- -2цkp2 [I0 (Pr)Bi + K0 (Pr)B]+ ]^ц[Іі (Pr)Bi -Ki (pr)B] = f(0) (k,p), (11) r 2a k I (a r )Ai - Kx (a r )A ]-p(p2 + k2 )x[Ii (P r )B - Ki (P r )B2 ] f^ (k ,p). При классическом исследовании колебаний цилиндрической оболочки за искомые величины принимаются смещения точек срединной поверхности оболочки. Однако такой выбор не единственный [28]. Например, рассматривая цилиндрическую оболочку, необходимо выбирать такую поверхность, которая для стержня переходит в осевую линию, а для тонких оболочек - в срединную поверхность. С другой стороны, в экспериментальных исследованиях получают информацию о смещениях точек внешней или внутренней поверхности оболочки, по которым необходимо определить напряженно-деформированное состояние самой оболочки. В связи с этим за искомые величины примем перемещения и напряжения в точках некоторой промежуточной поверхности цилиндрической оболочки, радиус Х.Х. Худойназаров, Р.И. Халмурадов, Б.Ф. Ялгашев 144 которой определяется по формуле 5 = т lx-- ^ 2 -L Заметим, что 5 может быть радиусом внутренней, срединной или внешней поверхности цилиндрической оболочки, при значениях x . В дальнейшем, используя стандартные разложения модифицированных функций Бесселя, введя новые искомые функции Uzj и Urj- (j = 0,1) , которые являются главными частями соответственно продольного и радиального перемещений поверхности оболочки, контактирующей с жидкостью, и, осуществляя обратное преобразование, получим систему уравнений dz (о -CRo)ur,0 +( -cRo-( -CRL )UrL + ( -CRi)dU- = 0, dU dU dz (drо -dR)~urL + ( -dRo)Uz,o -( -dR)). -d^^ = 0, dUz о dUz1 i er0Ur,0 + ez0 ~T--er1Ur,1 + ez1-Z~ = “ fr t), dz ц dz d dU r 0 d + dz 0Uz ,0 d r 1 d dz1Uz,1 = frz (z,t), dz dz ц (12) r ,0 где Cij, CR, dj, dR, etj - операторы типа cu I Croi = E [((-q)-q )m-l X1 -(m+1) m=0 с d 2 'k 2 d 2 V dz J J 41Pm (ri/2) 2m m!(m +1)! i _L-л V a 2 dt2 dz2 J Pm = 1^”^^ 2, К = к =0 m=0 2ц' d p0 a02 3ц dt ц 2m fa/2 ) dz 2^‘m (m!)2 E m=0 p0 a0 2ц' d Зг1ц dt г1ц d*+w„ Щ). L Jm !(m +1)! m ^2 = _1 d_ b2 dt2 ^2 dz2 (13) a, b - скорости распространения соответственно продольных и поперечных волн в материале оболочки. Полученная система уравнений (12) является системой общих уравнений продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической упругой оболочки, содержащей вязкую сжимаемую жидкость, относительно главных частей перемещений точек внутренней поверхности, контактирующей с поверхностью содержащейся жидкости. При этом операторы CR и dR из (13) представляют собой реакцию вязкой жидкости на колебания оболочки. Из (12) можно получить уравнения для оболочки: а) с несжимаемой вязкой жидкостью; б) сжимаемой идеальной жидкостью; в) с несжимаемой идеальной жидкостью. Кроме того, в случае отсут- 145 Продольно-радиальные колебания упругой цилиндрической оболочки ствия жидкости, полученные уравнения колебаний (12) в частных случаях переходят в классическое уравнение продольных колебаний кругового стержня, в уравнение Релея или в уточненное уравнение типа С.П. Тимошенко. Наряду с уравнениями колебаний выведены формулы для всех компонент тензора напряжений и вектора перемещений. Например, при нулевом приближении эти формулы имеют вид , дП7П ( r 1 гг (r, z,t)=p

Скачать электронную версию публикации