On local weak ?-density of topological spaces.pdf Актуальным с точки зрения теоретического исследования является раздел общей топологии, где изучаются свойства топологических пространств и их непрерывных отображений, операции над топологическими пространствами и их отображениями, классификация топологических пространств. Этот раздел общей топологии оперирует такими понятиями, как окрестность, замыкание, компактность, плотность, сепарабельность, кардинальное число, п-база множеств, сумма, пересечение, тихоновское произведение и другими. Обзор основных этапов развития теоретико-множественной топологии приведен в работе [1]. Нас интересуют локальная слабая т-плотность и локальная т-плотность топологических пространств. Семейство ѵ непустых открытых подмножеств топологического пространства X называется п-базой, если для любого открытого подмножества U пространства X найдется элемент семейства ѵ, лежащий в множестве U. В работе [2] введено понятие слабой плотности топологического пространства. Слабой плотностью топологического пространства X называется наименьшее кардинальное число х>К0, такое, что в X существует п-база, распадающаяся на т центрированных систем открытых множеств. Другими словами, существует п-база B = U {Ва : ае A}, где Ва - центрированная система открытых множеств для каждого ае A и |А| = т . Слабая плотность топологического пространства X обозначается через wd (X). Если wd (X) = К0, то топологическое пространство X называется слабо сепарабельным. В работе [2] получены следующие результаты. Предложение 1 [2]. Слабая плотность топологических пространств обладает следующими свойствами: Wd1) wd (X )< d (X) для любого топологического пространства X; Wd2) Пусть Y - непрерывный образ топологического пространства X. Тогда wd (Y) < wd (X); Wd3) wd (X ) = d (X) для любого: а) локального компакта X; О локальной слабой т-плотности топологических пространств 17 б) метрического пространства X; с) топологического линейно упорядоченного пространства X; Wd4) Если Y - всюду плотное подмножество топологического пространства X, то wd (Y) = wd (X); Wd5) Если Y открыто вX, то wd (Y) < wd (X); Wd6). Если wd (Xx) < t для каждого 5 e S и |S| < 2T, то wd I ПXx I < т. V seS ) Топологическое пространство X называется локально слабо сепарабельным [3] в точке х e X , если х имеет слабую сепарабельную окрестность в X. Топологическое пространство X называется локально слабо сепарабельным, если оно локально слабо сепарабельно в каждой точке х e X . Понятие локальной слабой сепарабельности может быть обобщено для любого кардинала т>К0. Топологическое пространство X называется локально слабо т-плотным в точке х e X , если т наименьшее кардинальное число, такое, что х имеет окрестность слабой плотности т в X [4]. Локальная слабая плотность в точке х обозначается через lwd (х). Локальная слабая плотность пространства X есть точная верхняя грань всех кардинальных чисел lwd (х) для х e X : lwd (X ) = sup { lwd (х) : х e X }. Множество называется канонически замкнутым, если оно является замыканием своей внутренности [5]. Пусть задано семейство {Xs}seS попарно непересекающихся топологических пространств, т.е. Xs n Xs, = 0 для s = s'. Рассмотрим множество X = ^ Xs и семейство т всех множеств U с X , таких, что U n Xs seS открыто в Xs для каждого s e S . Легко видеть, что семейство т удовлетворяет условиям топологии и потому определяет некоторую топологию на множестве X. Множество X с этой топологией называется суммой пространств {Xs }seS и обозначается Ѳ Xs или X1 ѲX2 Ѳ...ѲXk, если S = {1, 2,..., k} [3]. seS Топологическое пространство X называется локально т-плотным в точке х e X , если т наименьшее кардинальное число такое, что х имеет окрестность плотности т в X [4]. Локальная плотность в точке х обозначается через ld (х). Локальная плотность пространства X определяется следующим образом: ld (X ) = sup { ld (х) : х e X }. Очевидно, что локальная плотность топологических пространств не превосходит плотности этого пространства, т.е. ld(X) < d(X). Пусть R - числовая прямая и A с R . Топология т(A) в R определяется следующим образом: 1) Для любой точки х e R множество {(х -е, х + е): е > 0} является базой окрестностей точки х; 2) Для любой точки х e R \\ A множество {[х, х + е): е > 0} является базой окрестностей точки х [6]. Ф.Г. Мухамадиев 18 Пространство R с топологией Хаттори называется пространством Хаттори и обозначается через H (A) [7, 8]. В работе [7] изучены некоторые кардинальные и топологические свойства пространства Хаттори. Пусть тЕ - евклидовая топология в прямой и ts - топология Зоргенфрея. Для любых подмножеств A, B с R имеем отношение A з B тогда и только тогда, когда т(A) с т(B), в частности, имеем т(R) = тЕ с т(A), т(B) с т(0) = ts . Положим, Ptop (R) = {т(A): A с R}. На множестве Ptop (R) = {т(A): A с R} вводится частичный порядок < относительно отношения: A з B тогда и только тогда, когда т(A) < т(B) [6]. В работе [8] доказано, что пространство Хаттори H(A) является локально компактным тогда и только тогда, когда множество R\\A замкнуто в R и дискретно в прямой Зоргенфрея S. Топологическое пространство X называется локально компактным, если для каждого х е X существует окрестность U точки х, такая, что U является компактным подпространством пространства X [3]. В работе [9] доказано, что локальные плотности пространства X и пространства n-й симметрической степени пространства X равны. Наименьшее кардинальное число т>К0, такое, что каждое замкнутое подмножество пространства X, состоящее только из изолированных точек, имеет мощность

Скачать электронную версию публикации