Reactances and susceptances of mechanical systems.pdf Классическое решение задач, связанных с расчетом скоростей и реакций элементов сложных механических систем при гармоническом силовом воздействии, заключается в составлении и интегрировании систем дифференциальных уравнений и является достаточно громоздким и трудоемким [1, 2]. В большинстве случаев интерес ограничивается установившимся режимом. Цель исследования состоит в разработке существенно компактных методов расчета систем для установившихся режимов. При решении использованы методы, применяемые для расчета электрических цепей. Параллельное соединение потребителей механической мощности Точки приложения сил к потребителям механической мощности (рис. 1) обладают единой скоростью v = V sin at. Рис. 1. Параллельное соединение Fig. 1. Parallel connection (1) 65 () (3) Реактансы и сассептансы механических систем Силы, приложенные к инертному телу, упругому элементу и демпферу, соответственно равны , dv fm = m- = maV cos at; m dt fk = -kx = k f vdt = --V cos at; J a fr = rv = rV sin at. (4) Суммарная сила, развиваемая источником силового гармонического воздействия, равна f = fm + fk + fr = V ma--I cos at + r sin at a --V^J{ma - к/a)2 + r -к/ о ma-k a ■\\](ma-k/ a)2 + > г cos at + r ■\\](ma-k/ a)2 +; г sin at ^ maa-k a _ Пусть ф = arctg--- . (5) r Тогда f = V(ma-k/a)2 + r2 (sinфcosaat + cosфsinaat) = = V\\]{maa-kja)2 +r2 sin(at + ф) = Fsin(at + ф). (6) Это известная формула вынужденных колебаний, для получения которой не потребовалось составлять и решать дифференциальное уравнение. Амплитуда суммарной силы F = Vz, (7) где z = ^(ma-k/a)2 + r2 [кг • с-1]. (8) В 1873 г. Максвелл ввел первую (из двух) систему электро-механических аналогий: - (скорость) V ^ I (ток), - (сила) F ^ U (напряжение), - (масса) m ^ L (индуктивность), - (коэффициент упругости) k ^ 1/С (С - емкость), - (коэффициент вязкого сопротивления) r ^ R (сопротивление). В 1919 г. Вебстер ввел в механику заимствованное из электротехники понятие о механических реактансах, являющихся аналогами электрических реактивных сопротивлений: - (инертный реактанс) am ^ aL (индуктивное сопротивление), - (упругий реактанс) k/a ^ 1/(aC) (емкостное сопротивление). В соответствии с представленной системой аналогий выражение (7) дуально закону Ома ддя участка электрической цепи U = IZ, где Z = aL - l/(aC)]2 + R2 - полное сопротивление. Следовательно, выражение (8) - это механический импеданс (impedance), как в силу дуального соответствия, так и потому, что в его состав входят инертный и упругий реактансы. И.П. Попов 66 Механический реактанс (reactance) равен к x = ma--. a При x = 0 получается известная формула a = ^Щш . Имеет место резонанс сил [3]. Если при этом r = 0, то и z = 0. Физический смысл этого состоит в том, что система не оказывает сопротивления внешнему силовому гармоническому воздействию. Для единообразия терминологии величина r в дальнейшем называется механическим резистансом (resistance). Комплексное представление при параллельном соединении. По аналогии с электротехникой гармоническую величину можно представить в виде a = A sin(at + ф) = Im[Ae‘(at +ф)], где Ae1 (ші+ф) - вращающийся в комплексной плоскости вектор. Векторы в комплексной плоскости принято изображать для нулевого момента времени. При этом величина Ае1(ю0+ф) = Ае1ф = A называется комплексной амплитудой. В соответствии с этим выражение (1) можно представить в виде v = V sin at = Im(Velat), V = Ve10. Формула (2) показывает, что fm опережает по фазе v на п/2. Следовательно, • • і- • F = та V e 2 = xmV , т -т ’ п 1- где xm = ame 2 = iam (9) - инертный реактанс в комплексном представлении. Над комплексными величинами, не являющимися изображениями синусоиды, точка не ставится, такие величины подчеркиваются. Комплексная амплитуда инертной силы равна • .п .п Fm = ame 2Vei0 = amVe 2 . т Аналогично, с учетом (3) и (4) Fk =- Ve 2 = XkV, a где - упругий реактанс; 1 п k 12 k п 12 = i k -e 2 = - e a a a (10) Fr = rV = rV , r = r - резистанс. Реактансы и сассептансы механических систем 67 Комплексные амплитуды упругой и резистивной сил соответственно равны • k -i- -п к -і- Fk _ -e 2Vel0 _ -Ve 2; Ш Ш Fr _ rV _ re10Vei0 . а механические реактанс и импеданс Ш z = r + x _ r + 1 тш--I e 2 . Модуль механического импеданса совпадает с (8): Z = 4\\r2 +^тю-- | . Его фаза равна (5). Таким образом, z _ Ze*. Суммарная сила, развиваемая источником силового гармонического воздействия, равна F _ zV = ZVeKf, что соответствует (6). Пример 1. F _ 100e'° Н , ш= 2 рад/с , т _ 10 кг, к _ 20 кг • с-2. Найти скорость и составляющие силы в установившемся режиме. xm = ame,90° _ 20el90° кг - с-1, (11) r _ 7 кг • с 1. x- _ - e_i90° = 10e_i9°° кг • с-1. ш Z =УІr2 +(xm - xk )2 =УІ72 +(20 -10)2 = 12,207 кг • с xm - xk . 20 -10 Ф = arctg ■ = arctg r7 z = Zeiф = 12,207ei55° кг • с-1 . ■ = 55°. F _ 100ei0 z 12,207ei55° 8,192e-55 м • с 1 (12) F _ xmV _ 20ei90° • 8,192e“i55° _ 163,846ei35° Н , Fk _ x-V _ 10e-'90° • 8,192e-55° _ 81,923e-145° Н , Fr _ rV _ 7ei0 • 8,192e-55° _ 57,344e-55° Н . И.П. Попов 68 Разумеется, Fm + Fk + Fr = 163,846e,35° + 81,923e-145° + 57,344e-,55° = 100ei0 (Н) = F . Классический расчет по сравнению с примером 1 несоизмеримо сложнее и объемнее. Векторная диаграмма (не является необходимой частью расчета) для величин из примера 1 представлена на рис. 2. Рис. 2. Векторная диаграмма при параллельном соединении Fig. 2. Vector diagram for parallel connection Резонанс сил В дополнение к вышесказанному о резонансе сил можно ограничиться численным примером. Пример 2. Пусть к = 40 кг-c-2. Остальные данные - из примера 1. Потребители механической мощности соединены параллельно. xk = 20e-,90° кг • с-1, z = r = 7el0° кг • с-1, • F = 100ею = z ~ 7el0° 14,286e,0° м • с-1, Fm = xm V = 20ei90° •14,286e,0° = 285,72e,90° Н, Fk = xkV = 20e-,90° •14,286ei0° = 285,72e-,90° Н , Fr = rV = 7ei0 •14,286ei0° = 100e‘0° Н . Реактансы и сассептансы механических систем 69 Разумеется, Fm + Fk + Fr = 285,72e'90° + 285,72e-'90° + 100e'°° = 100e'° Н = F = Fr . Векторная диаграмма для величин из примера 2 представлена на рис. 3. Реак-• • тивные силы Fm и Fk (термин заимствован из электротехники) существенно выше, чем в примере 1. Рис. 3. Векторная диаграмма резонанса сил Fig. 3. Vector diagram of force resonance И.П. Попов 70 Последовательное соединение потребителей механической мощности Ко всем потребителям механической мощности (рис. 4) приложена единая сила f = F cos at. m Рис. 4. Последовательное соединение Fig. 4. Serial connection Скорости инертного тела и изменения размеров упругого элемента и демпфера соответственно равны Ь F f fdt =пі J mm F sin at; am 1 , dx 1 df aF . vk = - к- = -- =--sin at; к dt к dt к f F vr = - = - cos at. r r Скорость штока источника силового гармонического воздействия F >/[ am) -о/к]2 + (1/r)2 v = vm + v, + v = F 1 aV 1 ---I sin at +-cos at am к J r 1/(am) -a/к 7 sin at +- 1/ r ■\\j[1/(am)-a/к]2 + (1/ r)2 ^[(am) -ю/к]2 + (1/ r)' 1/(am) -a/к г cos at (13) (14) (15) Ф = arctg- 1r v = F[ [[(am) -a/к ]2 + (1/r )2 (sin ф sin at + cos ф cos at) = = F^[1/(am) - a/к]2 + (1/r)2 cos(at -ф) = Vcos(at -ф). Это формула вынужденных колебаний при последовательном соединении потребителей механической мощности, для получения которой не потребовалось составлять и решать дифференциальное уравнение. Амплитуда суммарной скорости равна V = Fy, (16) У = Ѵ[[ (am) - о/ к ]2 + (1/ r )2 Реактансы и сассептансы механических систем 71 При 1/(ют) -ю/k = 0 также получается известная формула ю =^Щш . Имеет место резонанс скоростей [3], при котором точка приложения силы к системе упругий элемент - инертное тело неподвижна, при этом сами по себе инертное тело и упругий элемент совершают колебания. Если дополнительно 1/ r = 0, то и у = 0 . Физический смысл этого состоит в том, что система оказывает бесконечно большое сопротивления внешнему силовому гармоническому воздействию, вследствие чего шток источника силового гармонического воздействия неподвижен, хотя инертное тело и упругий элемент совершают колебания. Комплексное представление при последовательном соединении Порядок рассуждений аналогичен представленному выше: f = F cos at = Re(Femt), F = Fe 2 . Формула (13) показывает, что vm отстает по фазе f на п/2. Следовательно, Ьш = 1 • гП 1 • -Fe 2 = F = Ьт1 ют Xm 1 п 1 -г 2 1 1 -e 2 = - -i = ют ют Хт инертный сассептанс (susceptance) в комплексном представлении. Комплексная амплитуда инертной скорости равна V =- e m ют -г- г- 1 2 Fe 2 =-Fei0 . ют Аналогично, с учетом (14) и (15) • Ю • г- 1 • • Vk =-Fe 2 = - F = bk F . k Xk ю i- bk =-e2 ^ k 1 Xk - упругий сассептанс. Комплексные амплитуды упругой и резистивной скоростей соответственно равны ю г- г- ю V, =- e 2 Fe 2 =- Fen k k k Я Vr =-F = gF = gFe 2. r 1 g = g = r - механический кондактанс (conductance). Механический сассептанс равен b = b + km = ( a -1 e 2. 1 k " am ) ,(a. _±_ i e n 1 k am ) 72 И.П. Попов Механический адмитанс (admittance) Модуль механического адмитанса совпадает с (16): Y = Vg 2 +( - bm )2 =^+( 1 (a 1 k am + bk - bm a/k -1/(am) ^ Ф = arctg--m = arctg----= arctg g g У = Уе,ф. (ma-k/ a)mk Суммарная скорость равна скорости штока источника силового гармонического воздействия (17) • • .А і(ф+-) V = yF = Ye^Fe 2 = YFe 2. Пример 3. Для данных примера 1 найти все скорости в установившемся режиме. Ъ = x-1 = 5 -10-2e-90° кг-1 • с , bk = x- = 10 •Ш-2 ei90° кг-1 • с , g = r 1 = 14,286 • 10 2 кг 1 • с . 2 кг 1 •с . Y =Vg2 +(k - bm )2 = ^(14,286 • 10-2)2 + (10 • 10-2 - 5 • 10-2 )2 = 15,13540 bk - bm 10 -10-2 - 5 •Ш-2 Ф = arctg-k-m = arctg g 14,286 •Ш У = Ye,(f = 15,135 •Ш-2 e 2 = 19,29°, 2~i19,29° кг-1 • с . V = yF = 15,135-10-2ei19,29° 400 = 15,135e'19,29° м • с-1, Vm = bcF = 5 • 10-2 e-,90° • 100 = 5e-,90° м • с-1. Vk = b^F = 10 40-2 ei90° 400 = 10e'9CI° м • с-1, Vr = gF = 14,286 • 10-2 • 100 = 14,286 м • с-1 . Разумеется, Vm + Vk + Vr = 5e-90° + 10e'90° +14,286 = 15,135e'19,29° м • с-1 = V. Реактансы и сассептансы механических систем 73 Классический расчет по сравнению с примером 3 несоизмеримо сложнее и объемнее. Векторная диаграмма для величин из примера 3 представлена на рис. 5. Рис. 5. Векторная диаграмма при последовательном соединении Fig. 5. Vector diagram for serial connection Резонанс скоростей В дополнение к вышесказанному о резонансе скоростей можно ограничиться численным примером. Пример 4. Все данные - из примера 2. Потребители механической мощности соединены последовательно. bk = 5 -10-2 e'90° кг-1 • с , Y = g = 14,286 -10-2 кг-1 • с, Ф = 0°, y = Yen = 14,286 -10-2 e'0° кг-1 • с , V = yF = 14,286 • 10-2 • 100 = 14,286ei0° м • с-1, Vk = bkF = 5 -10-2 ei90° 400 = 5ei90° м • с-1. Разумеется, Vm + Vk + Vr = 5e-90° + 5e‘90° + 14,286=14,286e‘0° м • с-1 = V = Vr Векторная диаграмма для величин из примера 4 представлена на рис. 6. И.П. Попов 74 Рис. 6. Векторная диаграмма резонанса скоростей Fig. 6. Vector diagram of velocity resonance Заключение Применение комплексного представления позволило получить существенно более компактные алгебраические методы расчета сложных механических систем в установившихся режимах по сравнению с классическими методами, основанными на составлении и интегрировании систем дифференциальных уравнений. При этом объем вычислений сокращается в несколько раз. Ключевую роль в предложенном методе играют механические реактанс, резистанс и импеданс для параллельного соединения потребителей механической мощности и сассептанс, кондактанс и адмитанс - для последовательного.

Скачать электронную версию публикации