Finite strains of nonlinear elastic anisotropic materials.pdf Будем рассматривать анизотропные материалы, обладающие симметрией упругих свойств, присущей кристаллам кубической сингонии [1 - 4]. Это означает, что упругие свойства таких материалов удовлетворяют условиям симметрии, присущей точечной группе объемно- или гранецентрированного куба. Группа симметрии кубических материалов характеризуется наличием трех поворотных осей четвертого порядка, четырех поворотных осей третьего порядка и шести осей симметрии второго порядка. Порождающими элементами группы симметрии кубических материалов являются три поворота на угол 90° вокруг поворотных осей четвертого порядка [3, 4]. По своим свойствам кубические материалы близки к изотропным материалам. Известно [2, 3], что под действием гидростатического давления сфера из анизотропного материала в общем случае становится эллипсоидом. В случаях изотропного и кубического материалов при воздействии гидростатического давления сферы остаются сферами, что не позволяет в таком опыте различить эти материалы. Линейные упругие кубические материалы в рамках обобщенного закона Гука описаны в работах [2, 6-10]. В этих работах получены структурные представления тензоров упругости четвертого ранга, инвариантных относительно описанной группы симметрии. Тензоры упругости, записанные в произвольной (лабораторной) системе координат, имеют в общем случае 21 ненулевую компоненту, которые не являются независимыми. В работах [6-9] проведен анализ зависимости модулей упругости кубического материала и коэффициента Пуассона от направления растяжения образца. Для кубического материала может быть определена такая система координат, названная в статье [11] канонической, в которой тензор упругих свойств имеет три ненулевые независимые константы. Нелинейные модели поведения кубических материалов могут учитывать либо геометрическую, либо физическую нелинейность. В наиболее сложных моделях 1 Работа выполнена при частичной поддержке гранта Президента Российской Федерации (проект МД-1803.2019.1) и РФФИ (проект № 18-31-20053). М.Ю. Соколова, Д.В. Христич 104 необходимо учитывать геометрическую и физическую нелинейности одновременно. Построению моделей кубических материалов, учитывающих физическую нелинейность при конечных деформациях, посвящена работа [12]. В этой статье автор записывает нелинейные определяющие соотношения для кубического материала на основе девяти тензорных генераторов, построенных по тензору конечных деформаций Коши - Грина и полученных в работе [5]. Если при упругом деформировании в рассматриваемых материалах наблюдаются нелинейные эффекты даже в области малых деформаций, то требуется построить физически нелинейные определяющие соотношения. Решению этой задачи посвящены статьи [13, 14]. В этих работах для записи нелинейных определяющих соотношений используется разложение в ряд упругого потенциала с сохранением членов второй и третьей степеней относительно тензора малых деформаций. В статьях [13, 14] определена структура тензоров упругости шестого ранга, которые в канонической системе координат содержат шесть ненулевых независимых констант. Геометрически и физически нелинейная модель кубического материала предложена в [15]. В отличие от результатов, полученных в работах [13-15], авторы данной статьи используют разложение тензоров упругости четвертого и шестого рангов по собственным упругим состояниям кубического материала [13, 14]. Это позволяет записать упругий потенциал для кубического материала в виде функции инвариантов тензоров, которые являются проекциями тензора деформаций Коши - Грина в собственные подпространства кубического материала. Получающиеся при этом выражения для тензора напряжений отражают взаимное влияние процессов, происходящих в различных собственных подпространствах рассматриваемого материала, и позволяют для кубического материала описать эффекты второго порядка. 1. Общий подход к записи упругого потенциала деформаций в случае конечных деформаций кубического материала. Строение тензоров упругости Рассмотрим гиперупругий анизотропный материал, для которого можно записать упругий потенциал. В качестве такового используем удельную (отнесенную к объему) потенциальную энергию деформации. Дифференциал удельной потенциальной энергии деформаций может быть представлен в виде dW = T: dz, где T - энергетический тензор напряжений, связанный с тензором напряжений Коши S соотношением T = Ф-т ■ Е • Ф-1, £ = - S , dV0 Ф - аффинор деформаций, £ E) - тензор деформаций Коши - Грина, E - единичный тензор, двоеточие означает свертывание тензоров [3, 16]. Из этого следует возможность определения напряжений при конкретизации вида удельной потенциальной энергии деформаций по формулам T = dW dz (1) Конечные деформации нелинейно упругих анизотропных материалов 105 Такой подход к построению соотношений гиперупругости для изотропных и анизотропных материалов использовался в работах [16 - 18]. Представим тензорную функцию W (е) в виде ряда по степеням тензора деформаций Коши - Грина W = W0 + A0 : £+-N :: ее+-L::: еее +..., (2) 0 0 2! 3! причем W0 = 0, A0 = 0, если начальное состояние является ненапряженным. В выражении (2) использовано произведение ее = eiJ-&kleieJekel, где eeJekel = et ® ® ek ® el - полиада, образованная векторами ортонормированного базиса ei, i = 1,2,3, и произведение еее = еі}-eklemneiejekelemen, где eejekelemen = e ® ej ® ek ® el ® em en . Сохраним в представлении (2) только первые два ненулевых члена: (3) (4) W = - N :: ее+-L ::: еее , 2! 3! тогда из соотношений (1) и (3) следует выражение для напряжений T = N : е +- L :: ее . 2 В выражениях (3) и (4) N и L - тензоры упругих констант четвертого и шестого рангов соответственно, которые удовлетворяют условиям внутренней симметрии Nijkl = Njikl = Nijlk = Nklij ■ Lijklmn L jiklmn Lijlkmn Lijklnm Lijmnkl Lklijmn . (5) Структура тензоров N и L для кубического материала известна [1 - 4, 16]. Тензор N содержит три независимые константы упругости второго порядка, а тензор L - шесть независимых констант упругости третьего порядка. Наименьшее число ненулевых компонент тензоры упругости имеют в системе канонических осей анизотропии материала [11, 17]. В произвольной (лабораторной) системе координат тензоры упругости кубического материала имеют произвольный вид. Главные оси анизотропии по В.В. Новожилову [11, 16] определяются как главные оси тензора напряжений при всестороннем сжатии, однако для кубического материала все главные значения тензора напряжений в этом случае равны, а главные векторы могут быть выбраны произвольно. Канонические оси анизотропии материала всегда совпадают с главными осями анизотропии, определенными по В.В. Новожилову. Однако в кубическом материале главные оси анизотропии, найденные из эксперимента, могут и не совпадать с каноническими осями. Тогда возникает необходимость определить взаимную ориентацию лабораторной системы координат с ортонормированным базисом k1 и системы канонических осей координат с базисом ai. Поскольку реализация эксперимента по всестороннему сжатию образца затруднена, в работе [11] предложено заменить этот эксперимент на три опыта по сжатию кубического образца в трех взаимно перпендикулярных направлениях. В этих опытах обязательным является измерение всех компонент тензора деформаций в лабораторной системе координат. Эквивалентность таких экспериментов М.Ю. Соколова, Д.В. Христич 106 является следствием линейности связи между деформациями и напряжениями в области малых деформаций. В этом случае речь идет об определении начального положения осей анизотропии материала. Пусть опыты по сжатию кубических образцов проводятся в лабораторной системе координат с ортонормированным базисом к. Взаимная ориентация векторных базисов а1 и к определяется ортогональным тензором поворота Q. Для компонент тензора Q = q^kk1 выполняются тождества 2,2,2 1 2,2,2 1 2,2,2 і q11 + q21 + q31 = 1 q12 + q22 + q32 = 1 q13 + q23 + q33 = 1 qllql2 + q21q22 + q31q32 = 0, q11q13 + q21q23 + q31q33 = 0, (6) q13q12 + q23q22 + q33q32 = 0 В работе [11] показано, что для определения положения канонических осей анизотропии в кубическом материале достаточно двух экспериментов на сжатие кубических образцов. В первом эксперименте тензор напряжений определяется как T1 = -tkІк1. Пусть С - тензор упругих податливостей, обратный к тензору упругости N. Измеряемые деформации выражаются через константы податливости и компоненты тензора Q следующим образом: 811 = -t [Q1 (C1111 - (C1122 + 2C1212 )) + C1122 + 2C1212 ] , 512 = -t [Q7 (C1111 - (C1122 + 2C1212 ))] , S22 = -t [Q4 (C1111 -(C1122 + 2C1212 )) + C1122 ] , 513 = -t [Q8 (C1111 - (C1122 + 2C1212 ))] , (7) S33 = -t [Q5 (C1111 -(C1122 + 2C1212 )) + C1122 ] , S23 = -t [Q9 (C1111 - (C1122 + 2C1212 ))] , где обозначено Q1 = q11 + q12 + q13 , Q4 = q11q21 + q12 q22 + q13 q23 , Q5 = q11q31 + q12q32 + q13q33 , Q7 = q21q11 + q22 q12 + q23q13, Q8 = q31q11 + q32q12 + q33q13 , Q9 = q21q31q11 + q22q32q12 + q23q33q13 . Во втором эксперименте тензор напряжений T2 = - tk2к2 и измеряемые компоненты тензора деформаций также выражаются через константы податливости и компоненты тензора Q : 811 = -t [Q4 (C1111 -(C1122 + 2C1212 ))“^ C1122 + 2C1212 ] , S12 = -t [Q10 (C1111 - (C1122 + 2C1212 ))], S22 = -t [62 (C1111 - (C1122 + 2C1212 ^ + C1122 ] , (8) S23 = -t [Q11 (C1111 - (C1122 + 2C1212 ))] , S33 = t [Q6 (C1111 (C1122 + 2C1212 )K C11 S13 = t[Q12 (C1111 (C1122 + 2C1212 ))] , Конечные деформации нелинейно упругих анизотропных материалов 107 где обозначено Q2 = q21 + q22 + q23, Q6 = q31q21 + q32q22 + q33q23, Q10 = q11q21 + q12 q22 + q13q23, Q11 = q31q21 + q32q22 + q33q23, Q9 = q11q31q21 + q12q32q22 + q13q33q23' Для отыскания девяти компонент тензора Q используем шесть соотношений (6) и четыре независимых соотношения из (7), (8): -t[Q7 (C1111 -(C1122 + 2^1212 ))] = -12 , -t [Q8 (C1111 -(С1122 + 2C1212 ))] = -13 , -t [Q9 (СШ1 -(C1122 + 2C1212 ))] = -23 , -t [Q10 (C1111 -(C1122 + 2C1212 ))] = ]2 • Исключая из них множитель (C1m -(C1122 + 2C1212)), получим три уравнения относительно компонент тензора Q : q31q11 + q32q12 + q33q13 =^~(q21q11 + q22q12 + q23q13 ), S12 3 q21q31q11 + q22q32q12 + q23q33q13 =- (q21q11 + q22q12 + q23q13 ), (9) -12 V 7 q11q21 + q12q22 + q13q23 = - (q21q11 + q22q12 + q23q13 )• -12 Численное решение системы уравнений (6), (9) позволяет найти компоненты тензора Q, то есть определить ориентацию канонической системы координат в кубическом материале относительно лабораторной системы координат по измеряемым в опытах деформациям. Вычисления показали, что в случае кубических кристаллов канонические оси анизотропии совпадают с их кристаллографическими осями [100], [010] и [001] (обозначения из [1, 4]), а для композитных материалов или древесины их положение совпадает с преимущественными структурными направлениями. Введем в рассмотрение тензорный базис, образованный диадами базисных векторов канонических осей симметрии кубического материала аі: А1 = а1а1, А2 = а2а2 , А3 = а3а3, А4 = -^(51а2 + а2а1), л/2 (10) А5 = -^(2а3 + а3а2), А6 = -^{а3а1 + а1а3). Базис (10) нормируется соотношением: Аг : А1 = 5У , где 5У - дельта Кронекера. Наряду с базисом (10) рассмотрим тензорный базис А.А. Ильюшина Іа (а = 0,1,...,5) с базисными тензорами [11, 16, 17]: I 0 Іт (а + а2 а2 + а3а3), I1 =(2а3а3 - а1а1 - а2 а2), I2 =-^ (S151 - а2 а2) \\І6 V2 V2 I3 =-(51а2 + а2а1), 14 =-^(2a3 + а3а2), I5 = -^(а +

Скачать электронную версию публикации