Application of fast expansions to obtain exact solutions to a problem on rectangular membrane deflection under alternati.pdf Прогибы мембраны описываются уравнением Пуассона. В литературе встречаются его аналитические [1-10] и численные [11-20] решения. Например, в [1, 2] представлены точные решения первой краевой задачи для уравнения Пуассона, выраженные через функцию Грина. В [3] сформулирована аналитическая формула для определения прогибов прямоугольной мембраны под действием электростатического давления. Приводится сравнение значений прогибов, полученных по предлагаемой формуле, с результатами расчетов по методу конечных элементов. В работах [4, 5] решение задачи о прогибах прямоугольной мембраны с жестким неподвижным контуром постоянного натяжения под действием равномерно распределенного давления осуществлялось методом разделения переменных. Кроме этого, в [5] представлено сравнение методов разделения переменных, Ритца, наименьших квадратов и Канторовича для решения указанной задачи. В [6] привлекаются соотношения обобщенной теории упругости, содержащие структурный параметр и позволяющие получить регулярное решение задачи о прогибе круглой мембраны. В статье [7] предложен подход к получению некоторых точных решений уравнения Пуассона, основанный на введении в уравнение Пуассона членов, содержащих первые производные искомой функции. Для сведения полученного таким способом уравнения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривается связанная с ним система двух уравнений в частных производных. Однако в [7] точные решения краевых задач не рассматриваются. В работе [8] методом преобразования Фурье решается краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона в области, ограниченной двумя параллельными гиперплоскостями в Rn . Решение представлено в виде суммы интегралов, ядра которых найдены в конечном виде. В [9] представлено решение этой задачи с полиномиальной правой частью. Векторным методом Галеркина, в котором интегралы выражаются аналитически, в [10] решено двумерное уравнение Пуассона. В работе [11] развивается метод наименьших квадратов с Т-элементами для решения линейных краевых задач с уравнениями Лапласа и Пуассона. Авторы используют разрывные ба- А.Д. Чернышов, В.В. Горяйнов, С.Ф. Кузнецов, О.Ю. Никифорова 128 зисные функции высокого порядка аппроксимации из специальных функциональных пространств. В [12] предложен алгоритм решения общей неоднородной краевой задачи Дирихле для трехмерного уравнения Пуассона на параллелепипеде с шестым порядком погрешности и с минимальным 27-точечным шаблоном. Также среди численных методов следует отметить метод коллокаций [13, 14], метод квадратурных элементов [15], модифицированный кубический B-сплайн дифференциально-квадратурный метод [16, 17] и метод, основанный на использовании вейвлетов Хаара [18, 19]. В работе [20] приведена математическая постановка и решение пространственных краевых задач с уравнением Пуассона методом спектральных элементов. В данной работе с помощью быстрых разложений [21] будет получено в общем виде решение задачи о прогибе прямоугольной мембраны под действием переменной нагрузки, точно удовлетворяющее дифференциальному уравнению и граничным условиям, т.е. решение будет являться точным. Общий вид решения задачи содержит много свободных коэффициентов, которыми можно аппроксимировать широкий круг инженерных задач. Будет показано построение некоторых точных решений для частных случаев нагрузки. 1. Постановка задачи Уравнение прогиба прямоугольной мембраны имеет вид д 2 д 2 -2- + -2 + F (x, y) = 0, (x, y)eQa , о < x < a, 0 < y < b , (1) dx dy где F(x,y) - нагрузка на мембрану. Граничные условия зададим в виде Ч=0 = Л (y), Ч=0 = f2 (x) , Wlx=a = f3 (y), Ay=b = f4 (x). (2) Решение краевой задачи (1), (2) должно удовлетворять условиям согласований Л (0) = Л (0), Л (a) = Лз (0), Л3(Ь) = Л4 (a), Л (b) = f4 (0), Wxx (0,0) + Ayy (0,0) + F(0,0) = 0, Wxx (a,0) + Wyy (a,0) + F(a,0) = 0, (3) Wxx (0,b) + Wyy (0,b) + F(0,b) = 0, Wxx (a,b) + Wyy (a,b) + F(a,b) = 0. Равенства (3) следуют из независимости величины прогибов w (x, y) от направления подхода к этим углам. Функцию w (x, y) представим конечным выражением, заимствованным из теории быстрых разложений [21], в виде суммы граничной функции второго порядка и ряда Фурье по синусам, в котором учтены два коэффициента Фурье 4 w(x,y) = У 4 (y)P (x)+ A5 (y)sinnx + Аб (y)sin2nx, 0 < x < a, (4) i =1 a a A (у) = ZA,iPi (у)+A,5sinnb+4,6sin2nb, i =1 *^ 0 < y < b, P (У) =1 - y , P2 (У) = y , P3 (y) y 2 y3 - by 6b 3 P4 ( У ) у3 - by 6b 6, D / 4 ! x , x , x2 x3 ax , x3 ax P1 (x) = 1--> P2 (x)= - . P3 (x) = 7T-7- T’ P4 (x)= T~ Ta a 2 6a 3 6a 6 Применение быстрых разложений для построения точных решений задачи о прогибе 129 Таким образом, искомая функция w (x, y) представлена в виде конечной двойной суммы, содержащей 36 неизвестных коэффициентов A,j, і = 1 - 6, j = 1 - 6. (5) Зададим функции f1 (y), f2 (x), f3 (y), f4 (x), входящие в граничные условия (2), следующим образом: f ( у ) = X f\\,jpj ( у )+f1,5sin п j+Лбsin2n j f2 (x) = X f2, jPj (x) + f2,5 sinП- + f2,6 sin2n j=1 x a (6) f3 (У) = X f3, jPj (У) + f3,5 sinПj + f3,6 sin2nJ, f4 (x) = X f4 jPj (x) + f4 5 sinП x + f4 6 sin 2п x, j= ’ a a где постоянные fi j, i = 1 - 4, j = 1 - 6 считаем известными величинами. Нагрузку на мембрану F (x, у) запишем конечной суммой по аналогии с зависимостью (4): 4 F (x,у) = X Fi (у) Pi (x) + F5 (y)sinпx + F6 (y)sin2пx, 0 < x < a , (7) i=1 a a F (y) = XF,jPj (У)+F,5sinпby+Fi,6sin2nj, i =1 -6, 0 < у < b . Все коэффициенты Fij, i = 1 - 6, j = 1 - 6 в выражении (7) для нагрузки считаем известными, так как F (x, у) - заданная функция. Таким образом, требуется найти такое решение уравнения (1) с заданной нагрузкой на мембрану в виде (7), которое точно удовлетворяет граничным условиям (2) и условиям согласований (3). 2. Решение задачи Для нахождения неизвестных коэффициентов Ai j из (5) применим метод быстрых разложений [21], согласно которому подставим двойное быстрое разложение функции w (x,y) в граничные условия (2), условия согласований (3) и дифференциальное уравнение (1). Из граничных условий (2) получим (8) 130 А.Д. Чернышов, В.В. Горяйнов, С.Ф. Кузнецов, О.Ю. Никифорова w \\y=0 = f2 (x) ^ ZAi ,1 P (x)+ A5,1 sinП- + A6,1 sin2n~ = i =1 a 4 ^ x = Z f2, JPJ (x) + /2,5 sinn~ + /2,6 sin2n: j=1 x a w lx=a = f3 (У) ^ Z A2,jPj (У) + A2,5 sinПb + A2,6 sin2n b = j=1 У = Z f3, jPj (У) + f3,5 sinПТ + f3,6 sin2n , j=i b b w ly=b = /4 (x) ^ ZAi 2P (x) + A5 2 sinПx + A6 2 sin2nx = a i=1 = Z /4 jPj (x) + /4 5 sinП^ + /4 6 sin2n^• a a Условия согласований (3) дают следующие уравнения /1,1 = /2,1 = A1,1, f2,2 = /3,1 = A2,1, f3,2 = f4,2 = A2,2, ./1,2 = .4,1 = A1,2, (9) A3,1 + A1,3 + 4,1 = 0, A4,1 + A2,3 + F2,1 = 0, A3,2 + A1,4 + 4,2 = 0, A4,2 + A2,4 + F2,2 = 0 Равенства (8), (9) позволяют найти 32 неизвестных коэффициента Ai j. Для нахождения оставшихся коэффициентов Ai j подставим w (x, y) из (4) в дифференциальное уравнение (1): 4 f 4 ^ Z Z4,]Pi (у)+4,5sinПJ+4,6sin2nJ PP)- 4п i=1 Vj=1 п2 f 4 П a2 2 f 4 Z A5,jPj (У)+ A5,5 sinПy + A5,6 sin2ny Vj=1 b b x sin П-a 2 ZA6,1P1 (У)+ A6,5 sinПy + A6,6 sin2ny Vj=1 b b 4 f 4 x sin2n--+ +Z Z4,jP'j(у)-4,57rsinПy-Ai,6TTsin2ny P(x)+ i=1 Vj=1 f 4 \\ 4n . „ y 6 -- sin2n- b2 b J’6 b2 b Z A5,47( у )- A5,5 7rsin П b- a5 V j=1 f 4 Z4;,;P/(У)- A6,5 sinПy - A6 6 “Zsin2n V j=1 b 6,6 b2 x sin П -+ a x sin 2^- + f 4 Z Z4,iPi (у)+4,5sinПy+4,6sin2ny P (P i=1 Vj=1 f 4 Z 4, jPj (У) + F5,5 sinПy + F5,6 sin2n , V j=1 b b \\ У P x sin П - + a Применение быстрых разложений для построения точных решений задачи о прогибе 131 ( 4 А sin 2^-= 0, a (10) XF6,jPj (У) + F6,5 sinпy + F6,6 sin2nУ V j=i b b 0 < x < a, 0 < y < b. Уравнение (10) должно выполняться при любых 0 < x < a , 0 < y < b . Далее приравняем коэффициенты в (8) и (10) слева и справа перед линейно независимыми функциями P1 ( Х) , P2 ( Х) , P3 ( Х) , P4 ( Х), Р1 (У ) , Р2 (У) , Р3 (У) , Р4 ( У) , Х У . „ Х . „ У sinп- , sinп -, sin2^- , srn2n-, a b a b учитывая, что P1" = P2"= 0, P3" = P1, P4"= P2. В результате будем иметь переопределенную систему линейных алгебраических уравнений. Благодаря выполнению условий согласований (3) данная переопределенная система имеет решение. Для нахождения неизвестных (5) необходимо использовать 36 уравнений, а остальные уравнения используем для составления соотношений между коэффициентами / j, i = 1 - 4, j = 1 - 6, заданных для функций (6), и коэффициентами F j, i = 1 - 6, j = 1 - 6 нагрузки F ( х, у ). Таким образом, значения коэффициентов Д j будут определяться равенствами: A1, j = Л j , A2, j = /3, j , j = 1 6, A3,1 = /2,3, A3,2 = /4,3, A3,3 =-F1,3, A3,4 = -F1,4, п2 4п2 A3,5 = - F1,5 , A3,6 b2 /1,6 - F1,6 = ./2,4, t II f4,4, II - F4,1, A4,4 п2 4п2 A4,5 = F ^ - F2,5 , A4,6 b2 _/3,6 - F 2 2 п п A5,1 = /2,5, A5,2 = /4,5, A5,3 = f2,5 - F5,1, A5,4 = f4,5 - F5,2, (11) a a 2 2 2 A5,5 = ^/4 2+b2 j, A5,6=V i a2+b 4п 4п2 A6,1 = f2,6, A6,2 = /4,6, A6,3 = 2 f2,6 F6,1, A6,4 = 2 f4,6 F6 a a A6,5=f67 V a + b2 j, A6,6=f1 + Q (..3 -ЛѴ„2 „3 ~Л + Q2 w у)=- Q V ( Q3 ( у2 ,у_ - by 6b 3 .У_ - Ьу 6b 3 л + Q4 ( у3 V ( у!. v 6b _Ьу 6b 6 "( x2 Ьу 3 6a ax x ax 6a 3 (22) При подстановке в (22) x = a/ 2 и у = b/2 имеем формулу для прогиба в центре мембраны под действием куполообразной нагрузки (a b w I - V 2 2 2,2 a b 256 (Q1 + Q2 + Q3 + Q4 ) • (23) Из формулы (23) следует, что при a = b прогиб в центре квадратной мембраны пропорционален четвертой степени ее линейного размера. Синусоидальную нагрузку F (x, у) зададим так, чтобы только F5,5, F5,6, ^, F нулю. Обозначим 55, f56, f65, f66 и коэффициенты, входящие в равенства (16), были не равны F3,5 = Q5, F3,6 = Q6, F5,3 = Q7, F6,3 = Q8, F4,5 = Q9, F4,6 = Q1I F5,6 = Q14, F6,5 = Q15, F6,6 = Q1 (24) 16 F5,4 = Q11, F6,4 = Q12 , F5,5 = Q13, Тогда из равенств (16) найдем ■ 2,5 5 b2 b2 a 2 1 to F1,6 = -TT Q6, 4л2 F>,1 = - J Q7, л F6, b2 „ b2 . а 3 2 Q9, л2 F2,6 = I II а 1 О F5,2 = 2 Q11, л2 F6^ = - 7Г Q12. 4л2 2 4л2 -Q8 (25) Следовательно, с учетом (24) и (25) функцию F (x, у) запишем в виде F (x, у ) = ( b2 у Q5 sinл- +--Q6 sin2 л л2 b 4л2 b + I Q5 sin л у + Q6 sin 2 л у b b 1 -x Ia x ax 6a 3 (-л-Q7 V1 - у)-л ^+Q7 у2 V (b2 у b у -Q9 Sin л- +-- Q10 sin 2л - vn2 b 4л2 by 2 \\ a Л ( у уЛ („3 + | Q9 sin л-+ Q10 sin2n- V b b x ( 2 - by 6b 3 y ,2 +Q14 sin 2л - | sin л - + b +Q12 (у3 +Q11 У ( у3 _Ьу 6b 6 Л x ax 6a 6 У + Q13 віпл - + -^- q8 (1 - у I--У- q12± + Q8 4л2 8 ( b) 4л2 12 b ^ (у2 13 - Ьу 6b 3 by 6b 6 + Q15 sin л у + Qj6 sin 2 л у b b x sin 2л-• (26) А.Д. Чернышов, В.В. Горяйнов, С.Ф. Кузнецов, О.Ю. Никифорова 134 Подставляя коэффициенты из (24) и (25) в формулы (11), получим b2 ь2 ь2 ь2 A3,5 = _2 Q5, A3,6 ="~2 Qe, A4,5 = _2 Q9, A4,6 = ~2 Q10, n 4 п n 4n a n а_ 4n2 a = n а_ 4n2 Л5/ 4n2 n2 a2 b2 Q4/ (п2 4п2 I [ a2 + b2 У, =qJ !\\4n2 4n2 i a2 b2 Таким образом, с учетом (27) точное решение задачи для граничных условий (17) и синусоидальной нагрузки (26) будет иметь вид ( ь2 w(x,y)= ^Q5 sinпy + QeSin2n^ ■ 2 -2"5"“’ 'b ' 4n2^6 b ( b2 y b2 y -Q9 sinn- + --Qiq sin2n- n2 b 4n2 b x ax + a2 q7 i 6a 6 у U2 n2 4n2 I x x ax 2 6a 3 (, ,2 y_ - y_ - by 2 6b 3 „2 7..3 п y_ - by у 6b 6 у ^2 _2 + &3/ Иг + 7Г Isinnl~ + Q14I \\~T + ~rr '131 \\ 2 ' ,2 Іаш'1 l ' ^14/ \\ 2 ' ,2 a b I b i a b y sin 2n- Л x sin n - + a ( a2 2 4n2 q8 y_ - y_ - by 2 6b 3 I a2 Q + 2 Q12 4n2 ( yL - by1 6b 6 4n2 n2 +Q1^ \\ У+F)sin ” b+ (28) ^ ,, 4п2 4п2 I . „ y К „ x +Qk/it^+-Ism2” b Ism2” a Подставляя в (28) x = a/ 2 и y = b/2, получим формулу вычисления прогиба в центре мембраны под действием синусоидальной нагрузки: (a b w \\ - ; - 12 2 a 2b2 16п2 (Q5 + Q7 + Q9 + Q11 ) + 2,2 a b Q13 • 2 ( 2 r 2 \\ ^13 n2 (a2 + b ) (29) Если в (26) принять все Qi равными нулю, кроме Q13, то получим частный случай синусоидальной нагрузки, приведенный в [22] при рассмотрении задачи о свободно опертой прямоугольной пластинке. Выберем в качестве материала мембраны сталь конструкционную углеродистую обыкновенного качества марки ВСт3пс [23] со следующими характеристиками [24, 25]: Ry = 2.35-108 Па, ѵ= 0,25, E = 2,13-1011 Па, где Ry - расчетное сопротивление материала мембраны. Значения параметров a, b, Qt, i = 1 -16 подбирались так, чтобы напряжения не превосходили расчетное сопротивление материала мембраны при двухосном напряженном состоянии [22, 23] ■^оі -ст„ст„ +ст2 = о < R,, x y y (30) Применение быстрых разложений для построения точных решений задачи о прогибе 135 где а ѵ =- E 1 -V (8X + V8y ) а y = E 1 -V (8y + V8x ) 8x = 1 fdw 12, sy = 1 fdw 12. x 2 {dx) y 2 lydv) Вид куполообразной нагрузки (20) для данных Qt = 4-10-2, i = 1 -4 , a = 1.5 м, b = 2.5м (31) (32) показан на рис. 1, а. Вид синусоидальной нагрузки (26) для данных Qi = 4-10-2, i = 5-16, a = 1.5м, b = 2.5м (33) изображен на рис. 1, b. Соответствующие этим видам нагрузки прогибы мембраны, вычисленные по формулам (22) и (28), представлены на рис. 2. F-102 0 -1 -2 -3 -4 0 °.5 1 1.5 2 2.51.5 1 x0,5 ° F-102 2 0^ -2 -4 -6-8 0 0.5 1 1.5 2 2.51.5 y y Рис. 1. Виды нагрузок на мембрану: (а) куполообразной; (b) синусоидальной Fig. 1. Types of membrane loads: (a) dome-shaped and (b) sinusoidal w-103 0 -2 -4 -6: -8y L5 2 1.5 1 x w-103 0 -2 -4 -6 -8 2 1.5 Рис. 2. Прогиб прямоугольной мембраны под действием нагрузки: (а) куполообразной; (b) синусоидальной Fig. 2. Rectangular membrane deflection under a load: (a) dome-shaped and (b) sinusoidal А.Д. Чернышов, В.В. Горяйнов, С.Ф. Кузнецов, О.Ю. Никифорова 136 Из рис. 1 и 2 видно, что при задании всех Qf, i = 1 -16, одинаковыми (см. (32) и (33)) куполообразная нагрузка (рис. 1, а) и соответствующий ей прогиб (рис. 2, а) имеют две плоскости симметрии, проходящие через х/ 2 и У/2. Синусоидальная нагрузка (рис. 1, b) и вызванный ею прогиб мембраны (рис. 2, b), плоскостей симметрии не имеют. Если же для куполообразной нагрузки некоторые из значений Qi, i = 1 - 4, взять равными нулю или не все значения из Qi, i = 1 - 4, будут равны друг другу, то нагрузка и соответствующий ей прогиб станут несимметричными. Профили прогибов мембраны при куполообразной нагрузке показаны на рис. 3. Из рис. 2, а и рис. 3 (кривые 4) можно сделать вывод, что при симметричной куполообразной нагрузке максимальный прогиб находится в центре мембраны, т.е. wmax = w(a/2; b/2) и определяется по формуле (23). Если же куполообразная нагрузка несимметричная (см. рис. 3, кривые 1, 2, 3), то максимальный прогиб wmax ^ w (а/2; Ь/2) и будет находиться в окрестности точки (а/2; Ь/2) . 0.5 1.5 2 -2 -4 -6 -8 w-103 ^-------- I I...... /ж \\\\ѵг /\\ А /// -^ / /j 1 ' ѵѵ\\ \\\\ X 2/ А з/ У 1/ j ч / / b у -8 w-103 Рис. 3. Профили прогибов мембраны под действием куполообразной нагрузки в сечениях: у=Ъ/2 (а); х=а/2(b); кр. 1 - Q = 4-10"2,Q2 = Q3 = Q4 = 0; кр. 2- Q, = Q2 = 4-10-2,Q3 = Q4 = 0; кр. 3 - Q = Q2 = Q3 = 4-10-2, Q4 = 0; кр. 4 - Q = Q2 = Q3 = Q4 = 4 -10-2 Fig. 3. Membrane deflection profiles under a dome-shaped load in sections: (а) у = b/2 ; (b) x=a/2 ; (1) Q = 4-10-2 (3) Q1 = Q2 = Q3 = 4-10-2, Q4 , Q2 = Q3 = Q4 = 0 ; (2) Q = Q2 = 4-10-2, Q3 = Q4 = 0 ; =0 , and (4) Q = Q2 = Q3 = Q4 = 4-10-2 Для мембраны под действием симметричной куполообразной нагрузки компоненты напряжений, вычисленные по формулам (31) и данным (32), показаны на рис. 4, а распределение & , рассчитанное по формуле (30), изображено на рис. 5, а. Из рис. 4 и рис. 5, а видно, что напряжения возрастают в направлении от центра мембраны к ее границам и достигают своего максимума в серединах сторон мембраны. Наибольшие напряжения находятся в серединах обеих длинных сторон прямоугольной мембраны, а наименьшие (равные нулю) - в ее углах и середине. Этот результат совпадает с результатом, описанным в [4] для постоянной нагруз- Применение быстрых разложений для построения точных решений задачи о прогибе 137 ки на мембрану. Если же нагрузка будет несимметричной, то наибольшее напряжение будет находиться в середине только одной из двух длинных сторон прямоугольника, а в центре мембраны напряжения уже не будут равны нулю (рис. 5, b). Распределение а , изображенное на рис. 5, b, построено по данным (33) для синусоидальной нагрузки (26), которая является несимметричной. °.5 1 1.5 2 У і 1 1.5 1 с 2-1 1.5 н 0.5 : 0 Ос-10 7 6 5 4 3 2 1 0 Рис. 4. Компоненты напряжений в прямоугольной мембране под действием симметричной куполообразной нагрузки: ох (а); oy (b) Fig. 4. Stress components in the rectangular membrane under а symmetrical dome-shaped load: (а) ox and (b) oy а 6 5 4 -| 3 2 1-1 а-10 7 54 32 1 Рис. 5. Распределение о в прямоугольной мембране под действием нагрузки: (а) симметричной куполообразной; (b) синусоидальной Fig. 5. Distribution of О in the rectangular membrane under a load: (a) symmetrical dome-shaped and (b) sinusoidal Заключение С помощью быстрых разложений можно получать не только новые приближенные аналитические решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями в частных производных [26, 27], с интегро-дифференциальными [28] и обыкновенными дифференциальными уравнениями [29] для криволинейных областей [30] и с подвижными границами [31], но и новые точные. А.Д. Чернышов, В.В. Горяйнов, С.Ф. Кузнецов, О.Ю. Никифорова 138 Подбор численных значений коэффициентов функций, входящих в граничные условия и нагрузку F (x, у), следует вести с учетом равенств (12) - (16). Анализ представленных точных решений показал, что для переменной по координатам мембраны нагрузки максимальный прогиб wmax находится в центре только в случае симметричности нагрузки относительно плоскостей, проходящих через центр мембраны. Напряжения достигают своего наибольшего значения в серединах обеих длинных сторон прямоугольной мембраны только в случае симметричной переменной нагрузки. Для несимметричной нагрузки наибольшее напряжение находится в середине одной из двух длинных сторон прямоугольника.

Скачать электронную версию публикации