Geometric modeling of a shape of parallelogram plates in a problem of free vibrations using conformal radii.pdf Параллелограммные пластины часто встречаются в качестве отдельных элементов конструкций, испытывающих различные виды нагрузок. Например колебания, возбужденные различными факторами, в частности свободные колебания от собственной массы. Так, в конструкциях обшивки крыла самолета, отличного от прямоугольного (треугольного, трапециевидного), неизбежно встречаются косоугольные пластины (параллелограммные, трапециевидные, треугольные), испытывающие во время эксплуатации, наряду со всеми элементами, динамические нагрузки, возбуждающие колебания этих элементов. Важной задачей при проектировании крыла является изучение колебаний как конструкции крыла в целом, так и отдельных его элементов, для недопущения таких опасных явлений, как резонанс или флаттер. Трудность изучения колебаний параллелограммных пластин обусловлена тем, что геометрическая фигура в форме параллелограмма является сложной. Под формой фигуры подразумеваем совокупность инвариантов этой фигуры относительно группы подобий. Под сложной фигурой согласно [1] будем понимать фигуру, форма которой задается двумя и более независимыми геометрическими параметрами. Для параллелограмма это, например, острый угол при основании и отношение основания к высоте (два независимых параметра). А простой - фигуру, форма которой задается лишь одним геометрическим параметром. Это, например, прямоугольник, форму которого можно задать только соотношением сторон или ромб, форму которого можно задать одним внутренним углом между сторонами, или правильный многоугольник, форму которого можно задать количеством сторон и т.д. Само по себе решение прямой задачи по определению частот и (или) форм колебаний параллелограммной пластины с заданными геометрическими параметрами и граничными условиями, в том числе сложными, в настоящее время не представляет большой сложности. Для ее решения можно воспользоваться различны- А.А. Черняев 144 ми как аналитическими [2] так и численными методами [3]. Однако, как известно [3], использование численных методов лишает задачу физического смысла и возможности качественной оценки результатов, а для их количественной оценки, например, при изменении геометрической формы пластины, и вовсе требуется выполнять полностью перерасчет задачи. Решения, получаемые отдельными аналитическими методами применительно к пластинам сложной формы, могут быть значительно трудоемкими, а получаемые результаты - сильно громоздкими и неудобными для качественной оценки задачи. Геометрические методы лишены недостатков численных методов и значительно проще известных аналитических методов. Здесь под геометрическими методами понимается решения задач по определению различных физических и механических параметров, например частот колебаний, а также параметров напряженнодеформированного состояния, основанных на анализе только геометрической формы и использовании некоторых известных решений. Термин «геометрический метод» в широком использовании введен В.И. Коробко и А.В. Коробко при решении различных двумерных задач механики твердого тела, строительной механики, теории упругости, пластин и оболочек [4 - 6]. Кратко с геометрическими методами можно ознакомиться в обзорной статье [7]. Более подробно можно ознакомиться в указанных выше работах. Разработанные методы и приемы В. И. Коробко и А.В. Коробко, в широком смысле называемые «геометрическими», появились на основе развития известных изопериметрических неравенств и изопериметрических теорем [8], в которых геометрическую форму плоской области (пластины, мембраны, сечения) предложено характеризовать с помощью изопериметрического частного (1) 4пА где А - площадь фигуры; L - ее периметр. В этой же работе [8] при исследовании отдельных задач математической физики и теории упругости в качестве параметров были выбраны внутренний и внешний конформные радиусы плоской области (пластины), возникающие при конформном отображении внутренности и внешности области на единичный круг [9]. Причем конформные радиусы использовались как два независимых параметра, что повлекло существенные ограничения такого подхода. Первое ограничение - это невозможность изучать изменение исследуемых параметров при переходе одной фигуры в другую. Так, невозможно будет выяснить, как будет меняться какой-то параметр, например частота колебаний косоугольной пластины, когда при геометрическом преобразовании сдвига вершин ее форма будет меняться от треугольника до четырехугольника и квадрата, так как формулы по определению конформных радиусов различны для различных фигур. Второе ограничение следует из первого и заключается в том, что нельзя будет сравнить изучаемые параметры, скажем, для треугольной пластины и прямоугольной, так как это фигуры различных классов форм. Третий недостаток - это необходимость учитывать геометрические размеры (масштаб) пластины, так как конформные радиусы - размерные величины. Для преодоления этих недостатков и развития геометрических методов в предыдущих работах [10 - 14] и др. в качестве параметра, определяющего форму плоской области (пластины, мембраны, поперечного сечения стержня), было предложено использовать отношение внутреннего и внешнего конформных радиусов, Геометрическое моделирование формы параллелограммных пластин 145 представляющее собой уже безразмерную величину, тем самым снимая указанные выше недостатки. Такой подход позволяет установить ряд изопериметрических свойств и закономерностей этого отношения, заменить решения математически сложных задач решениями простых геометрических задач. Также в [10] было установлено, что такая геометрическая характеристика формы имеет ряд преимуществ по сравнению с другими характеристика геометрической формы и является более перспективной к ее развитию. Целью данной работы является изучение предлагаемого приема геометрического моделирования формы пластин с помощью отношения конформных радиусов в решении ряда задач свободных колебаний параллелограммных пластин. Конформные радиусы и их отношение Внутренний радиус плоской области относительно точки a - ra , точка a берется внутри области. Отображаем конформно внутреннюю часть области на внутреннюю часть круга так, чтобы точке a соответствовал центр круга, а линейное растяжение в точке a равнялось единице. Радиус полученного таким образом круга будет равен ra . Величина ra изменяется в зависимости от точки a. При определенном положении точки a внутренний радиус достигает своего максимального значения, который обозначается Г . Внешний радиус плоской области - Т. Отображаем конформно внешнюю область на внешнюю область круга так, чтобы бесконечно удаленные точки соответствовали друг другу, а линейное растяжение на бесконечности равнялось единице. Радиус полученного таким образом круга будет равен Т [8, 15]. В научной литературе [8, 16] приводятся формулы по определению конформных радиусов для ряда односвязных областей. Приведем формулы для областей, которые будем использовать в работе: - для ромбов с углом па Г = Г L, r = 1 + а (2) где Г(х) - гамма-функция, L - периметр; - для прямоугольников со сторонами a и b (a > b) r п 1 + 2£ qn a - = п cos r 2 b . 2 - = п sin r aE k=0 ад aS‘ k=0 (2k -1)!!)2 22k (k + 1)!k! (2k -1)!!)2 22k (k + 1)!k! 2k ■cos a; • 2k sin a, (3) где q = e na/b ; a - аргумент одного из прообразов вершин, расположенных симметрично; (-1)!! = 1. В табл. 1 и 2 приводятся значения конформных радиусов и их отношения, полученные по формулам (2) и (3). На рис. 1 показаны графики изменения отношения конформных радиусов Г/Т и сами области. А.А. Черняев 146 Т аблица 1 Значения внутреннего r , внешнего T конформных радиусов и их отношения r/T для ромбов а 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° r / a 0.1066 0.2036 0.2898 0.3643 0.4264 0.4754 0.5108 0.5322 0.5394 7 / a 0.5183 0.5348 0.5492 0.5616 0.5718 0.5798 0.5855 0.5890 0.5902 r/7 0.2057 0.3807 0.5277 0.6487 0.7457 0.8199 0.8724 0.9036 0.9139 Примечания: а - острый угол ромба; a - сторона ромба. Т аблица 2 Значения внутреннего r , внешнего T конформных радиусов и их отношения r/T для прямоугольников a / b 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 10.0 -- W r / a 0.5394 0.4096 0.3159 0.2543 0.2121 0.1592 0.1273 0.0637 2b / n 7 / a 0.5902 0.4898 0.4374 0.4049 0.3826 0.3539 0.3361 0.2981 a / 4 rj r 0.9139 0.8363 0.7222 0.6281 0.5544 0.4498 0.3788 0.2137 0 Примечание: а и b - стороны прямоугольника (a > b). Для параллелограммов общих формул по определению конформных радиусов в научной литературе не приводится. Для их численного определения ранее [17] была использована формула Кристоффеля - Шварца [9] и приемы, предложенные в работе [18]. Численные значения отношения конформных радиусов r/7 для различных геометрических параметров приведены в табл. 3, в графической форме -на рис. 1, с. Т аблица 3 Значения отношения конформных радиусов r/T для параллелограммов а a/h \\ 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 1.0 - - - - - - - - 0.9139 1.25 - - - - - 0.8191 0.8610 0.8822 0.8885 1.5 - - - - 0.7415 0.7914 0.8185 0.8321 0.8363 1.75 - - - 0.6482 0.7136 0.7474 0.7658 0.7751 0.7779 2.0 - - 0.5277 0.6302 0.6766 0.7007 0.7137 0.7203 0.7222 2.5 - - 0.5185 0.5761 0.6022 0.6157 0.6231 0.6268 0.6281 3.0 - 0.3825 0.4861 0.5220 0.5383 0.5468 0.5514 0.5537 0.5544 4.0 - 0.3682 0.4173 0.4344 0.4421 0.4461 0.4482 0.4494 0.4498 5.0 - 0.3335 0.3609 0.3703 0.3747 0.3769 0.3781 0.3787 0.3788 Примечания: a/h - отношение большей стороны параллелограмма к меньшей высоте (a/h > 1); а - острый угол параллелограмма; прочерк «-» означает, что такой параллелограмм уже есть в таблице. Геометрическое моделирование формы параллелограммных пластин 147 a / b Рис. 1. Графики изменения отношения конформных радиусов rfr для рассматриваемых областей: a - для ромбов, b - для прямоугольников, c - для параллелограммов Fig. 1. Graphical variation of the conformal radii ratio rfr for the considered domains: (a) rhombus, (b) rectangle, and (c) parallelogram А.А. Черняев 148 По полученным табличным данным (табл. 1 - 3) с помощью программы Table Curve были получены аппроксимирующие функции по определению отношения конформных радиусов г/7 : - для ромбов 7/ 7 = a + ba + ca2 + d a3 + ea4, (4) где a = 7.0709T0-5; b = 0.022191; c = -0.00016784; d = 5.2896T0-7; e = -1.6694T0-9 (погрешность функции не превышает 0.1%); - для прямоугольников r/7 = p + j (a/b) 1 + c (a/b) 2 + d (a/b) 3 + e (a/b) 4 + f (a/b) 5 + g (a/b) 6, (5) где p = -1.3099T0~5; j = 2.5514; c = -2.6183; d = 2.4652; e = -2.682; f = 1.6828; g = -0.39913 (погрешность функции не превышает 0.1%); - для параллелограммов 7/7 = к + b (a/h )-1 + c (ln a) + d (a/h)-2 + e (ln a)2 + f (ln a)(a/h )-1 + +g (a/h) 3 + j (lna)3 + i (lna)2 (a/h) 1 + p (lna)(a/h) 2, (6) где к = -0.35747; b = -8.0875; c = 0.87769; d = -4.2622; e = -0.36236; f = 5.0926; g = 0.048766; j = 0.041774; i = -0.64312; p = 0.72539 (погрешность функции не превышает 1.7%). Взаимосвязь частоты колебаний пластин с отношением конформных радиусов В предыдущих работах [10, 19] с помощью вариационного представления собственного значения дифференциального уравнения свободных колебаний мембраны и конформного представления внутренности ее области при отображении на единичный круг, а также на основе известной аналогии задач колебаний шарнирно опертых полигональных пластин и мембран [2] была получена следующая оценка сверху основной частоты колебаний пластин ю0 с отношением конформных радиусов 7/7 в виде неравенства ю0 < к A (7) где к - числовая константа, зависящая от вида граничных условий и обращающая неравенство (7) в равенство для круглой пластины; т - масса единицы площади пластины; A - площадь пластины; D - цилиндрическая жесткость пластины, D =- 12(1- ѵ2) (8) где E - модуль упругости материала первого рода (модуль Юнга); t - толщина пластины; ѵ - коэффициент Пуассона. В случае жесткого защемления по контуру в неравенстве (7) к = 32.08. В случае шарнирного опирания по контуру значение к можно указать лишь для конкретного материала пластины, поскольку при переходе правильной w-угольной пластины в круглую с шарнирным опиранием возникает известный парадокс [20], согласно которому величина частоты колебаний будет зависеть от коэффициента Пуассона. Для такого случая граничных условий укажем, для сравнения, значение Геометрическое моделирование формы параллелограммных пластин 149 к = 17.8, соответствующее пластине в форме правильного 16-угольника, по форме достаточно близкой к кругу. Как показали исследования [19], завышенность оценки частоты ю0 сверху, получаемой по выражению (7) при вытягивании формы пластины от круглой до «иглы», монотонно возрастает и достигает больших значений для сильно вытянутых пластин. Поэтому вместо числовой константы к были определены «подправляющие» функции вида kffl = f (r/ F) для всех простых форм пластин и получены соответствующие графики и функции. Приведем выборку [19] из этих графиков на рис. 2 для ромбовидных и прямоугольных пластин, которые будем использовать в работе. На рис. 2 значения kffl основной частоты колебаний для удобства представлены в обратном виде. Рис. 2. Графики взаимосвязи частоты колебаний пластин с отношением конформных радиусов: a - шарнирное опирание, b -жесткое защемление; 1 - для ромбовидных, 2 - для прямоугольных, 4 - квадратная пластина Fig. 2. Frequency of vibrations of plates as a function of conformal radii ratio: (a) hinged fixing and (b) rigid fixing; 1, rhombus plates; 2, rectangle plates; and 4, a square plate А.А. Черняев 150 Приведем полученные в [19] функции, описывающие эти кривые. При шарнирном опирании: - для ромбовидных пластин к U0 1 +10.5197 (r/r )2 -0.25437(r/r)4 ; 0.38104 (r/r)2 + 0.24668 (r/r)4 ’ (9) - для прямоугольных пластин кт = - 0.03740 (r/r) + 0.04951(r/r )2 - 0.03260 (r/r )3 (10) При жестком защемлении: - для ромбовидных пластин к 1 + 5.0032(r/r)2 - 1.2123(r/T)4 ; 0.1241(r/r )2 + 0.0254 (r/r )4 ’ (11) - для прямоугольных пластин к® = 1 - 0.7171(r/r) + 0.2996(г/r )2 0.0182 (г/T) (12) Приведенные аппроксиммирующие функции (9), (11) для ромбовидных пластин построены по известным из [2] приближенным решениям, полученным методом конечных элементов, для прямоугольных - (10) по известному точному решению и (12) - по решениям, полученным с помощью метода Галеркина [2]. В предыдущих работах [10, 19] было доказано, что значения основной частоты колебаний для всех параллелограммных пластин, представленные в зависимости от отношения конформных радиусов r/T, будут лежать внутри этих двух кривых и ограничены сверху значениями для прямоугольных пластин, снизу - для ромбовидных. Это важное свойство, построенные выше графики и функции для двух простых форм пластин (ромбовидных и прямоугольных), позволяет решать другие поставленные задачи для всех параллелограммных пластин, используя различные приемы геометрического моделирования формы. Варьирование форм невелико -это позволяет ожидать, что получаемые результаты будут достаточно точными. Использование приемов геометрического моделирования формы в решении задач Покажем на наглядном примере сущность геометрических методов с использованием отношения конформных радиусов. Требуется определить основную частоту колебаний шарнирно опертой параллелограммной пластины при следующих исходных данных: основание а = 1 м, высота h = 0.5 м, угол а = 60° (см. рис. 1, с), толщина пластины t = 5 мм; материал пластины сталь: модуль упругости E = 2.06 105 МПа, коэффициент Пуассона ѵ = 0.3, плотность р = 7850 кг/м3. Частота колебаний для заданной параллелограммной пластины может быть получена на основе значений для ромбовидных и прямоугольных. Сначала получим для частоты колебаний ю0 оценки сверху и снизу. Определяем значение отношения t/T для заданной параллелограммной пластины по табл. 3 или функции (6) г/T = 0.7007. Графически по рис. 2, а или с по- Геометрическое моделирование формы параллелограммных пластин 151 мощью функций (9), (10) при r/Т = 0.7007 определяем значение основной частоты колебаний в общем виде (7): для ромбовидной кГЙ = 24.776 (к _1Ш = 0.04036) и прямоугольной кГЙ = 25.472 (к_1Ш = 0.03925) пластин. Таким образом, значение основной частоты колебаний заданной параллелограммной пластины будет лежать между полученными двумя значениями: 24.776 м m A

Скачать электронную версию публикации