Simulation of an unsteady incompressible fluid flow through a perforated pipeline.pdf Известно, что гидродинамические исследования движения жидкостей в перфорированных трубопроводах имеют важное теоретическое значение и многочисленные практические применения. Перфорированные трубопроводы широко применяются при разработке нефтяных и газовых месторождений горизонтальными скважинами, в гидротранспорте, химической технологии, ракетной технике, мелиорации, гидрологии, биомеханике и т.д. [1-4]. Обычно при исследовании движения жидкостей в перфорированных трубопроводах дискретное распределение точек перфорации (точек отбора или подкачки жидкости) заменяется непрерывным и исследования сводятся к изучению нестационарного движения жидкости в трубопроводах с проницаемыми стенками. При этом для описания способности стенки трубопровода пропустить через себя жидкость вводится понятие коэффициента проницаемости стенки. Численному и аналитическому исследованию математических моделей cстационарного и нестационарного течения жидкостей с различными реологическими свойствами в трубопроводах, каналах и сосудах с проницаемыми стенками посвящены работы [1-11]. Для практики транспорта жидкостей в перфорированных трубопроводах важное значение имеют исследования по определению гидродинамических условий в начале трубопровода, необходимых для обеспечения заданного режима на выходе трубопровода. Целью данной работы является определение давления и расхода жидкости в начале трубопровода, обеспечивающих требуемый режим в выходном сечении трубопровода, на основе решения обратной задачи для одномерной модели нестационарного течения несжимаемой жидкости в перфорированном трубопроводе. Моделирование нестационарного течения несжимаемой жидкости 61 Постановка задачи и метод решения Пусть рассматривается процесс нестационарного течения несжимаемой вязкой жидкости в горизонтально расположенном перфорированном трубопроводе длиной l диаметром d. Плотность перфорации, т.е. число перфорационных отверстий, приходящихся на единицу длины трубопровода, обозначим через к. Для построения математической модели данного процесса используем дифференциальное уравнение движения и дифференциальное уравнение неразрывности потока жидкости [12]. Уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости в трубопроводе в переменных расход жидкости - давление можно представить в виде dq(x, t) + q(x, t) dq(x, t) _ 5 dp(x, t) + v d2q X|q(x, t)| x (1) + - _ - + v „ 2 , , q(x,t), (1) dt s dx p dx dx 2sd где p( x, t)- давление жидкости в трубопроводе, q( x, t)- объемный расход жидкости, v - кинематическая вязкость жидкости, р - плотность жидкости, s _nd2 / 4 -площадь поперечного сечения трубопровода, X - коэффициент гидравлического сопротивления. Скорость оттока жидкости через перфорационное отверстие на стенке трубы обозначим через w(x, t). Тогда дифференциальное уравнение неразрывности потока жидкости с учетом оттока жидкости через перфорационные отверстия запишется как _ ks0w(x, 0. (2) dx где d0 и s0 _ ndg /4 - соответственно диаметр и площадь перфорационного отверстия. Для описания оттока жидкости через перфорационное отверстие используем известное соотношение гидростатики p(x, t) - pe (x, t) _ w2(x, t) pg 2g или w( x, t) 2( p( x, t) - pe (x, t)) (3) pe (x, t) - давление внешней среды; g - ускорение свободного падения. Пусть состояние потока жидкости в трубопроводе в начальный момент времени t _ 0 известно, т.е. для системы уравнений (1)- (3) известно следующее начальное условие q( x,0) _ф( x). (4) Предполагается, что в сечении трубопровода x _ 0 обеспечивается подача жидкости в трубопровод, а в конце трубопровода x _ l расход жидкости и давление соответствуют назначению трубопровода и считаются заданными. Тогда для системы уравнений (1)- (3) будем иметь следующие краевые условия: (5) (6) q(l, t) _ qi (t), p(l, t) _ pi (t), где qt (t), pl (t) - заданные функции. Х.М. Гамзаев 62 Требуется найти законы изменения во времени давления p(0, t) и расхода жидкости q(0, t) в начале трубопровода, которые обеспечивали бы пропуск заданного расхода жидкости qt (t) по трубопроводу при сохранении давления pt (t) в конце трубопровода. Сначала преобразуем систему уравнений (1)-(3). Учитывая соотношение (3), уравнение (2), запишем в виде (7) dq( x, t) = ks 2( p( x, t) - pe (x, t)) dx \\ p Найдем p(x, t) из уравнения (7): p( x, t) = pe (x, t) + 2k 2 s02 dq (x, t) dx (8) и полученное выражение подставим в уравнение (1). В результате будем иметь dq(x, t) + q(x, t) dq(x, t) dt dx - s_ dpe (x, t) p dx 0 < x < l, + (v -CT dq(x,t) d2q X|q(x,t)| dx 0 < t < T ; ) dx 2sd q(x, t, (9) q(x,0) = ф(x); (10) q(l, t) = qt (t), (11) 1 где ct = k2 s2 Очевидно, что краевое условие (11) недостаточно для однозначного разрешения уравнения (9). Для получения дополнительного условия для уравнения (9) запишем уравнение (7) при x = l dq(l, t) = ^ )2( p(l, t) - pe (l, t)) dx \\ p условие для (12) Отсюда, учитывая краевое условие (6), получим дополнительное уравнения (9) dq(l, t) =-Ь І2(pt (t) - pe (l, t)) dx \\ p Поставленная задача (9) - (12) относится к классу граничных обратных задач [13, 14]. Для решения граничной обратной задачи (2)- (7) используем метод нелокального возмущения граничных условий [14]. Граничное условие (11) заменим на нелокальное q(l, t) + aq(0, t) = qt (t), (13) где a - параметр нелокального возмущения выступает в качестве параметра регуляризации. Для численного решения граничной обратной задачи (9), (10), (12), (13) сначала построим ее дискретный аналог. С этой целью введем равномерную разностную сетку в прямоугольной области {0 < x < l, 0 < t < T} ra={(t;.,xt):xt =iAx, t}- = jAt, i = 0,1,2,...n, j =0,1,2,...да} Моделирование нестационарного течения несжимаемой жидкости 63 с шагами Ax = l / n по переменной x и At = T / m по времени t. Используя полунеявную аппроксимацию по времени для нелинейных членов уравнения (9), дискретный аналог задачи (9), (10), (12), (13) на сетке ю представим в виде qi- qi . qi- q- = At Ax S РеІ+1 - Pei-1 p 2Ax + (v -CT 7i 1 - q,--L qi+1- 2q/ + qL X\\q> j-1| ) Ax Ax2 i = 1, 2,..., n -1, q0 = фг-, i = 0, 2,..., n , 2sd qj- qj-1 = , l2(pj- pin) Ax 0\\ p , q]n +aq0 = qj , где qi ~ q (xi, tj ) , Pei ~ Pe (xi, tj ) , Pj = Pl (tj ) , ф = ф(xi ). Полученная разностная задача представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в которой в качестве неизвестных выступают приближенные значения искомых функций q(x,t) в узлах разностной сетки ю, т.е. qi , i = 0, 1, 2,..., n, j = 1, 2, 3,....,m . Данную систему разностных уравнений преобразуем к виду aq- -cqi + b,qi+i = f] \\ i = ъ 2>...,n -1; qn = qj-1 -Axkso 2(Pj - Pjn) p q]n +aq0 = qj , j = l,2,...,m ; q0 =фг-, i = 0, 2, ... , n , qj-1 - qi-1 . где a{ = sAt (v - ct---) + q/-1 At Ax, ct = at + b{ + sAx2 + (14) (15) (16) (17) Ax X\\uj 'I 2d LAx2 At qi-1 - ^), ^-1 = s 2 AtAxPk^eL - sAx2 qj. Ь = sAt (v - ct Ax 2p С целью разделения разностной задачи (14)-(17) на взаимно независимые подзадачи, каждая из которых может решаться самостоятельно, решение этой системы при каждом фиксированном значении j , j = 1, 2,..., m, представим в виде [14-16] qi = gi + q0ѳі , i = 0 V-n, (18) где g■ , Ѳі - неизвестные переменные. Подставив выражение qi в (14), (15) и Х.М. Гамзаев 64 учитывая справедливость соотношения qj = gj + qjBjO, получим следующие разностные задачи для определения вспомогательных переменных gj, 0/ : a,gL -c,gi + b,gi+1 = filX\\ (19) gj =j; (2j) gi = gi-1 Axks^j 1 р en ; (21) a,Ѳ j-1-сѲ i +b,Ѳ j+1 =j; (22) ѳ0 = 1; (23) ѳі =ѳі-,. (24) Разностные задачи (19)-(21) и (22)-(24) при каждом фиксированном значении j = 1, 2,... ,m представляют собой систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей и решения этих систем можно найти методом Томаса [14]. Подставив представление (18) в (16), будем иметь gi + qj ѳП +aqj = qj. Отсюда получим формулу для определения расхода жидкости в начале трубопровода qj = qt ~gn Ѳі +a (25) Определив qj по формуле (25), можно последовательно найти qj, qj,...,qi по рекуррентной формуле (18). После определения распределения расхода жидкости по длине трубопровода можно перейти к определению распределения давления. Построив дискретный аналог уравнения (8) на сетке ю, получим следующую расчетную формулу для вычисления давления pi = рі, + , 2 р2л 2 (qi+1- qi f, * = 2^ .., n -1. (26) 2к 2 sjAx2 В частности, для давления в начале трубопровода будем иметь Pj = Pej + Р Л2 2к 2 sjAx2 (q/ - qj) Таким образом, вычислительный алгоритм решения обратной задачи (1)-(6) по восстановлению давления и расхода жидкости в начале трубопровода при каждом дискретном значении временной переменной tj, j = 1, 2, ...,m , состоит в следующем: • определяются решения двух линейных разностных задач второго порядка (19)-(21) и (22)- (24) относительно вспомогательных переменных gi, Ѳі, j = jn; Моделирование нестационарного течения несжимаемой жидкости 65 • по формуле (25) определяется расход жидкости в начале трубопровода q0 ; • определяется распределение расхода жидкости по длине трубопровода, т.е. вычисляются значения переменных qi, i = 0, n , по формуле (18); • определяется распределение давления по длине трубопровода, т.е. вычисляются значения переменных p/ , i = 0, n , по формуле (26). Результаты численных расчетов Для выяснения эффективности предложенного вычислительного алгоритма были проведены численные эксперименты для модельных задач. Схема численного эксперимента заключалась в следующем: • для заданных функций ф(x), q0 (t) и p{ (t) конечно-разностным методом решается прямая краевая задача для системы уравнений dq(x,t) + q(x,t) dq(x,t) = s dpe(x,t) + ( _ dq(x,t\\ d2q _%(хД^ . dt s dx p dx dx dx;2 2sd ^ p(x, t) = pe (x, t) +-Pr- fdq(x’1) 1 , 0 < x < l, 0 < t < T , 2k2 s02 V dx ) q(x,0) = ф(x) , q (0, t) = q0(t), dq(l,t) =_ks 12(p,(t) ~pe(ДрУ dx \\ p p(l, t) = p, (t), При этом путем проведения серии расчетов со сгущающейся разностной сеткой обеспечивается практическая сходимость разностного метода; • определяются функции q(l, t) и p(0, t); • найденная зависимость ql (t) = q(l,t) и заданная функция pr (t) = p(l,t) принимаются за точные данные для численного решения обратной задачи по восстановлению q(0, t) и p(0, t). Первая серия расчетов выполнялась с использованием невозмущенных данных. Вторая - проводилась при наложении на q{ (t) и p{ (t) некоторой функции, моделирующей погрешность экспериментальных данных qt (t) = q{ (t) + 5n(t )q{ (t)), pi (t) = pi (t) + §n(t)pl (t)), где 5 - уровень погрешности, n(t) - случайная величина, моделируемая с помощью датчика случайных чисел. Величина параметра регуляризации определяется в соответствии с принципом невязки [13, 14], т.е. задаются а0, % и строится последовательность ak+j = аk% . Вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнено условие Х.М. Гамзаев 66 m 1/2 Z (qi(tj)- qn)2At , _ j=1 _ где e - заданная погрешность. Для возмущения входных данных в качестве уровня погрешности использовались 5 = 0.05. Результаты численного эксперимента, проведенного для случая d = 1.2 м, d0 = 0.01 м, l = 100 м, р = 1000 кг/м3, ѵ = 10-6 м2/с, X = 0.02, к = 20 1/м, pe (х, t) = 0.1 МПа, pl (t) = 0.12 МПа, q(0, t) = 3 +1.1 sin 5t м3/с, ф(x) = 0 с использованием невозмущенных и возмущенных входных данных представлены в табл. 1, где t - время; qt, q, q - соответственно точные, вычисленные при невозмущенных и вычисленные при возмущенных данных значения функции q(0, t); p‘, p и p - аналогичные обозначения для значения функции p(0, t). Таблица 1 Численные результаты по определению функций ^(0, t) , p(0,t) , с Значение функции q(0,t), м3/с Значение функции p(0,t), МПа q‘ q q p‘ p P 120 3.049 3.049 3.169 1.249 1.249 1.310 240 2.903 2.903 2.983 1.195 1.195 1.239 360 3.145 3.145 3.167 1.251 1.251 1.274 480 2.807 2.807 2.852 1.193 1.193 1.199 600 3.241 3.241 3.356 1.253 1.253 1.298 720 2.712 2.712 2.796 1.191 1.191 1.229 840 3.335 3.335 3.445 1.255 1.255 1.297 960 2.619 2.619 2.634 1.190 1.190 1.204 1080 3.426 3.426 3.450 1.257 1.257 1.264 1200 2.530 2.530 2.579 1.188 1.188 1.213 1320 3.514 3.514 3.667 1.259 1.259 1.308 1440 2.444 2.444 2.457 1.188 1.188 1.210 1560 3.598 3.598 3.606 1.261 1.261 1.271 1680 2.362 2.362 2.363 1.187 1.187 1.199 1800 3.677 3.677 3.693 1.262 1.262 1.279 1920 2.285 2.285 2.307 1.187 1.187 1.207 2040 3.751 3.751 3.859 1.263 1.263 1.341 2160 2.214 2.214 2.204 1.187 1.187 1.183 2280 3.819 3.819 3.870 1.264 1.264 1.289 2400 2.149 2.149 2.166 1.188 1.188 1.208 Результаты численного эксперимента показывают, что при использовании невозмущенных входных данных искомые функции q(0, t) и p(0, t) восстанавливаются с высокой точностью (2-3-й и 5-6-й столбцы таблицы). При а = 210-6 относительные погрешности восстановления значений искомых функций не превышают 0.00002 % . А при использовании возмущенных входных данных, в которых погрешность имеет флуктуационный характер, относительные погрешности восстановления значений искомых функций не превышают 5.32 % (4-й и 7-й столбцы) при а = 0.02. Моделирование нестационарного течения несжимаемой жидкости 67 Для изучения влияния плотности перфорации на гидродинамические параметры трубопровода были проведены численные расчеты. Результаты численных расчетов для случая ѵ = 10-6 м2/с; р = 1000 кг/м3, d = 1.2 м, d0 = 0.01 м, l = 100 м, X = 0.02, pe (х, t) = 0.1 МПа, (t) = 0.12 МПа представлены в табл. 2. В ней ука заны заданные объемные расходы жидкости на выходном сечении трубопровода (t) и вычисленные значения расхода q(0, t) и давления в начале трубопровода p(0, t) при различных значениях плотности перфорации k . Т аблица 2 Определение гидродинамических параметров трубопровода q,(t) k = 10 II to о О ТГ II q(0, t) p(0,t) q(0,t) p(0,t) q(0,t) p(0,t) 2 2.511 1.226 3.017 1.223 4.004 1.214 3 3.530 1.260 4.053 1.256 5.068 1.245 4 4.556 1.307 5.102 1.301 6.158 1.288 5 5.587 1.367 6.161 1.360 7.270 1.343 Из табл. 2 следует, что для обеспечения пропуска заданного расхода жидкости по перфорированному трубопроводу необходимое давление в начале трубопровода c увеличением плотности перфорации уменьшается, а необходимый расход жидкости увеличивается. Анализ результатов численных расчетов показывает, что предложенный метод численного моделирования можно применять при исследовании процессов течения однофазных жидкостей в перфорированных трубопроводах. Заключение Численно исследована обратная задача по определению давления и расхода жидкости в начале перфорированного трубопровода по заданному гидродинамическому режиму в выходном сечении трубопровода. Предложенный безытераци-онный вычислительный алгоритм, основанный на использовании метода нелокального возмущения граничных условий, позволяет в каждом временном слое последовательно определить распределения расхода жидкости и давления по всей длине трубопровода только на основании информации в выходном сечении перфорированного трубопровода.

Скачать электронную версию публикации