Application of the implicit method of characteristics on a regular grid for solving the gas-dynamic problems.pdf Метод характеристик - один из наиболее ранних методов численного решения дифференциальных уравнений с частными производными [1]. В данном случае речь идёт о гиперболических уравнениях, имеющих действительные характеристики. В докомпьютерный период данный метод использовался, как явный. В этом случае область (t, x) при решении одномерной нестационарной задачи покрывалась нерегулярно расположенными точками, в которых были определены величины газодинамических параметров (ГДП). Данное явление имело место при решении уравнений как с первым порядком точности, так и со 2-м (метод Массо) [2]. Это создавало неудобства при анализе результатов расчётов. Оно же явилось одной из причин, почему при решении систем гиперболических уравнений перешли к использованию явных [3, 4] и неявных разностных схем [5] вместо решения дифференциальных уравнений, выполняющихся вдоль характеристических направлений. В этом случае определяемые в результате решения задачи величины ГДП находятся в узловых точках регулярной разностной сетки и удобно располагаются при использовании результатов. Однако этому же требованию можно удовлетворить и при использовании метода характеристик, если воспользоваться неявным методом решения уравнений, записанных вдоль характеристических направлений. Предлагаемый в данной работе подход удовлетворяет этому требованию. В данном случае вся область интегрирования (t, x) заранее разделена шагами At и Ax, образующими регулярную сетку, в узлах которой и определяются величины ГДП. Шаги этой сетки At и Ax могут быть переменными или постоянными. При резком изменении величин ГДП сетка может сгущаться как вдоль пространственной координаты, так и при интегрировании по времени. Величины шагов At и Ax определяются в результате решения задачи на основе асимптотической сходимости [6]. В данной работе будем рассматривать канал в заряде твёрдотопливного ракетного двигателя [7] (рис. 1), по которому без разрывов ГДП движется нестационарный поток газа. Данный канала 3 слева граничит с объёмом 4, в котором находится источник 5 прихода массы газов и их энергии. Через правую, или сопловую границу канала газы истекают в сопло, а по нему в окружающую среду. Неявный метод характеристик на регулярной сетке (газодинамические задачи) 81 1 2 7 Рис. 1. Продольное сечение твердотопливного ракетного двигателя: 1 - корпус двигателя; 2 - заряд твёрдого топлива; 3 - канал заряда; 4 - левый объём; 5 - источник прихода массы газов и их энергии; 6 - расширяющаяся часть сопла; 7 - минимальное (критическое) сечение сопла Fig. 1. Longitudinal section of a solid propellant rocket engine: 1 - engine housing; 2 - solid-propellant charge; 3 - charge channel; 4 - left volume; 5 - source of the mass of gases and their energy; 6 - divergent section of the nozzle; 7 nozzle throat (a critical section) Рассматриваем следующую систему уравнений [8, 9]: (i) (2) dp dp dv _ + v +p = 0; dt dx dx dv dv 1 dp + v + dt dx p dx dt p dx p p dx где p - давление, p - плотность, v - скорость движения газа, k - отношение изобарной (cp ) и изохорной (cv) теплоёмкостей газа. Начальными условиями будем считать v = 0 ; p = рнач, p = pmH . Если переменные в системе уравнений (1) - ( 3) приводятся к безразмерному виду, то в качестве масштабов можно использовать: Мас для давления p^; для плотности pmH ; для скорости потока газа штабом для координаты x можно взять радиус канала r0, на его левой границе. Тогда масштабом для времени будет произведение r0 Данная работа посвящена изложению сути неявного метода 2-го порядка точности как при интегрировании во времени, так и при расчёте величин ГДП по длине канала. Рассмотрим внутренние точки канала. Расчёту величин ГДП на границах канала посвящена отдельная работа. dv Исключим в уравнении (3) градиент с помощью уравнения (1). Получим dx dp + v dp kp dt dx p + v *) = 0. dt dx) (4) 82 А.М. Липанов Видим, что вдоль характеристического направления (траектории движения газа) dx dt ■ = v (5) выполняется уравнение dp kp d p = 0. dt p dt Решая уравнение (6), получим равенство для энтропийной функции: 4=*, pk (6) () где s - постоянная величина при переходе с одного временного слоя на другой вдоль траектории движения газа. Параметр s при переходе от одной траектории к другой может меняться. _ ... dp dp В уравнении (4) полную производную -!- + v-- исключим с помощью уравdt dx нения (1). Получим dp dp dv - + v- + kp- = 0. dt dx dx Последнее уравнение запишем в виде где 1 f 'dp + v & )+bL. 4 dt dxy p 2 kp c= -. p (8) (9) (c - скорость звука). Умножим уравнение (2) на c и сложим с уравнением (8). Получим Kt+

Скачать электронную версию публикации