Rotations of tori in a liquid crystal structure.pdf Наноторы как углеродные конструкции сами по себе представляют научный интерес, поскольку сами торы являются поверхностными кристаллами. Во многих теоретических работах с позиций кристаллографии исследуются геометрические характеристики атомной конструкции наноторов. Работа [1] посвящена стабильности формирования идеального углеродного тора. В [2] рассмотрены группы симметрии идеальных наноторов. Авторами [3] использованы методы атоматомных взаимодействий для описания конструкций наноторов C180, C270, C360, C750. В [4] говорится о применениях наноторов в качестве датчиков электрических сигналов, а также для захвата и регистрации отдельных атомов и их ионов. Авторами [5] на основе концепции фактор-пространства строится геометрическая модель нанотора и с использованием методов алгебры и теории многообразий проводится анализ симметрии разработанных геометрических моделей. В [6] рассмотрено электрическое сопротивление наноторов при их контакте с одностенными углеродными нанотрубками, а в [7] - колебательные гармоники углеродных торов. Исследования, представленные в обзоре [8] классифицированы по группам: конструкция, моделирование и приложения. В [9] говорится о возможном использовании наноторов в качестве высокочастотных генераторов. Авторами [10] рассмотрены борные аналоги наноторов, а в [11-13] определены магнитные моменты тороидальных конструкций. Из представленного краткого обзора следует, что теоретические работы по молекулярным структурам на основе торов отсутствуют. Авторы настоящей работы имели положительный опыт моделирования структур на основе фуллеренов, а также пластинок B42 [14-17]. 1 Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта РНФ № 19-71-10049. Вращения торов в структуре жидкого кристалла 43 Рассматривается элементарный фрагмент пластического кристалла с первоначально гексагональной укладкой столбцов. Центральный столбец имеет пять торов. Столбцы окружения - по четыре тора. Бублики стержневого столбца попадают в углубления между торами столбцов окружения. В результате имеется симметрично расположенный тор в центре фрагмента и 28 торов окружения. На рис. 1 показан элементарный фрагмент (вид сверху). Здесь же серым цветом показаны позиции центра масс бублика, находящегося в середине стержневого столбца. Расчетным образом определяются кинематические и динамические характеристики трех центральных и симметрично расположенных торов. Целью настоящей работы является получение устойчивости положений торов в элементарном фрагменте жидкого кристалла и анализ их вращений в самосогласованном поле окружающих тороидальных молекул. Рис. 1. Гексагональная структура наноторов (вид сверху) Fig. 1. Hexagonal structure of nanotori (top view) Математическая модель Чтобы описать вращательное движение молекулы нанотора вокруг ее собственного центра масс, используется проекция уравнения момента количества движения на подвижные оси, связанные с этим объектом: Adt +(с -в )qr=м%, (1) Bd + (A - C )pr = M п, dr с- + (в - A)pq = Mz. А.М. Бубенчиков, М.А. Бубенчиков, Д.В. Мамонтов, Д.С. Капарулин, А.В. Лун-Фу 44 Здесь p, q, r - проекции угловой скорости на оси подвижной системы отсчета ; A, B, C - главные моменты инерции молекулы для её центра масс. Проекции моментов сил на оси системы координат C^nZ , связанные с центральным тором, определяются следующим образом: M\\ = a11Mx + a12My + a13M z , Mn = a21Mx + a22My + a23M z , (2) MZ = a3iMx + a32My + a33M z , где {ajj}(i, j = 1, 3) - матрица направляющих косинусов, связывающая неподвижную и подвижную декартовы системы координат; Mx, My, Mz - проекции моментов сил на неподвижные оси координат; 5 i j k II г ** to і II s s H II s XkC ykC zkC k=1 Xk Yk Zk Здесь Mk - момент равнодействующей всех ван-дер-ваальсовских сил, действующих на k-й атом молекулы, взятый относительно центра масс молекулы; rkC - радиус-вектор атома относительно центра масс молекулы C158; i, j, k - орты неподвижной системы координат. Тогда величины силовых воздействий на отдельный атом нанотора можно определить следующим образом: N N N ѵР dU, ч ^Р ди, ч „ ^Р dU, ч k = -^ XX(kj ^ k = j ~3y ^ k = j Ik )' () Здесь Xk, Yk, Zk - проекции равнодействующей всех сил на оси неподвижной системы отсчета; Np - количество атомов в окружающих торах; р^- - расстояния между k-м атомом центрального тора и j-м атомом окружения. Уравнения (2) замыкаются кинематическими соотношениями, связывающими проекции вектора мгновенной угловой скорости с углами Эйлера и их производными: p = у sin Ѳ sin ф + Ѳ cos ф, q = у sin Ѳ cos ф - Ѳ sin ф, (5) r = у cos Ѳ +ф. Уравнения (2) и (5) интегрируются при следующих начальных условиях: t = 0; p = q = r = 0; ф = ф = 0; Ѳ = п /2. (6) Последнее равенство в (6), нарушающее однородность условий, берется для того, чтобы отойти от координатной особенности, которая имеется в уравнениях (5) при Ѳ= 0, ±п, ± 2п и т.д. Типичный тор, находящийся в центре выделенного кристаллического фрагмента, будет представлен совокупностью 158 атомов углерода. Таким образом, эти атомы будут являться силовыми центрами и результирующие воздействия окружения будут направлены в позиции отдельных атомов. Суммируя все эти воздействия, можно найти главный вектор внешних сил, который по теореме о движении центра масс объекта будет пропорционален его ускорению: Вращения торов в структуре жидкого кристалла 45 (7) dvc / \\ drc ^ = j g ^ ^ ),~Л = Vc Здесь M - масса тора; vc - скорость центра масс перемещающейся молекулы; S = 158 - число атомов в молекуле; р]k =pk]-; U (р]k) - LJ-потенциал атом-атомного взаимодействия; V - оператор градиента, индекс «с» определяет центр вращающегося тора. Система векторных уравнений (7) может интегрироваться со следующими простейшими начальными условиями: t = 0, vс = v0, Гс = 0. (8) Здесь rc - радиус-вектор центра масс молекулы; vc0 - начальная тепловая скорость молекулы. Численная реализация математической модели и результаты расчетов В основу математической модели положены атом-атомные взаимодействия атомов, находящихся в поверхностных структурах различных торов. Центральный тор имеет особый статус, поскольку его центр масс является центром симметрии фрагмента структуры. Отсутствие в молекулярной системе ковалентных связей дает возможность наноторам вращаться и участвовать в поступательных перемещениях вместе с центром масс. Для описания вращательного движения молекул используется подход Эйлера. Поступательные перемещения молекул определяются на основе теоремы о движении центра масс молекулярной частицы. Система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, определяющих динамику молекулярного кластера обычным приемом, сводится к системе уравнений первого порядка, которая интегрируется с использованием пошаговых методов высокого порядка точности. Все расчеты проведены с постоянным шагом интегрирования по времени At = 10-6 нс. Рассмотрим некоторые результаты расчетов динамики центрального тора. На рис. 2 приведены распределения кинематических характеристик типичного тора гексагональной столбчатой структуры. В центральном столбце этой структуры три смежных тора являются подвижными, положения других торов окружения зафиксированы. Как следует из рис. 2, а среднее значение скорости центра масс составляет величину ѵс = 60 м/с. Это значение отвечает колебательной температуре молекул T = 290 К. На рис. 2, b показаны координаты центра масс тора, находящегося в середине выделенного фрагмента структуры. Видно, что тор покидает изначальное симметричное положение, поскольку черная кривая колеблется около значения 0.1 нм. Из рис. 2, с видно, что одна из проекций угловой скоростей, а именно проекция на главную ось тора, на достаточно продолжительных интервалах принимает значения определенного знака. Последнее выражается в том (рис. 2, d), что угол собственного вращения тора изменяется более плавно и с большой амплитудой, а период его изменения составляет величину около 0.25 нс. В связи с этим главная частота колебаний тора C158 составляет величину 4 ГГц. 0 0.05 0.1 0.15 t, нс Рис. 2. Кинематические характеристики центрального тора: a - величина скорости движения центра масс тора, b - координаты центра масс, c - проекции вектора угловой скорости, d - углы Эйлера Fig. 2. Kinematic characteristics of the central torus: (a) velocity magnitude for the torus center of mass, (b) coordinates of the center of mass, (c) projections of the angular velocity vector, and (d) the Euler angles Заключение Классический алгоритм атом-атомных взаимодействий применен к моделированию динамики наноторов в колончатых структурах. Расчеты показывают, что типичный тор рассматриваемой структуры совершает вокруг собственной оси угловые колебания с амплитудой по углу больше одного оборота и имеет определенную частоту этих колебаний. Таким образом, жидкий кристалл, составленный торами C158 может выступать генератором колебаний в гигагерцовом диапазоне.

Скачать электронную версию публикации