On the varying brachistochrone shape with allowance for chute loading limitation.pdf В настоящем сообщении мы продолжим решение весьма интересного, с нашей точки зрения, класса задач, придерживаясь методики, намеченной в предыдущих авторских работах [1-6]. Однако в отличие от упомянутых работ, имеющих обычный академический интерес, здесь мы приведем решение другой не менее любопытной проблемы, суть которой определяет ее чисто практическое значение. Предположим, что имеется брахистохрона в виде желоба, по которой движется тело массой т. Понятно, что при его движении, как и положено, появляется некоторая сила реакции желоба N, обязанная результирующему воздействию центростремительной силы и силы тяжести. При этом возникает следующий вполне закономерный вопрос о том, как может повлиять на форму брахистохроны условие ограничения нагрузки на материал желоба? Совершенно понятно, что в областях наибольшего изгиба траектории центростремительное ускорение становится довольно большим, а это, в свою очередь, означает, что если, например, желоб не металлический, а сделан, скажем, из пробки, то, несомненно, произойдет разрушение материала. Таким образом, если материал имеет предел прочности, характеризуемый некоторой предельной нагрузкой Ncr, то в этом случае во избежание его разрушения всегда должно выполняться неравенство (1) N < Nc Система уравнений Если ввести удобный в рамках решаемой задачи подвижный базис т - n (рис. 1), где т - единичный вектор касательной к кривой y = y(х), задающей форму желоба, а n - вектор единичной нормали к нему, то проекцию вектора силы реакции желоба N = Nn на направление единичной нормали n можно представить в виде \\ (2) 2021 ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика № 73 УДК 531.332.1 DOI 10.17223/19988621/73/6 N = т--g cos а , IR Об изменении формы брахистохроны при учете ограничения нагрузки на желоб 61 Рис. 1. Схематическое изображение геометрии задачи Fig. 1. Schematic representation of the problem geometry где g - ускорение силы тяжести, a - угол наклона касательной к оси (ox), который в случае вогнутой кривой является тупым (cosa 0 и a' > 0 . Это означает, что в любом случае модуль скорости должен определяться по формуле v = Ra , (3) где производная по времени всегда одного знака с у" (см. рис. 1). Поскольку для вогнутой кривой брахистохрона определяется условием v2 / R = -g cos a > 0 (см. также работы [1, 5]), то есть когда величина силы реакции N = 2mg |cos a, то в идеальных условиях результат проектирования действующих сил на орты мгновенного базиса т - n немедленно приводит нас к следующей системе уравнений: v = v 2 R g sin a, = - g cos a, (4) где n / 2 < a < n . С. О. Гладков, С. Б. Богданова 62 Ее элементарное решение определяет классическое уравнение брахистохроны: . . C2 ( 2gt . 2 gt x(t) =-I -2-- sin- 4g I C C >' 1. Тогда из (9) следует, что v = C(p -|cosа|), (10) gt а потому из верхнего уравнения системы (7) находим а = а0 + C ■ Совершенно очевидно, что в начальный момент времени тело под влиянием одной только силы гравитации может скатываться лишь из самой верхней точки желоба. Считая эту точку максимумом функции, без ограничения общности можно положить, что в начальный момент времени а0 = 0. То есть (11) ML с И решение (10) следует записать в виде v = C p - cos Поэтому из уравнений движения x = -v cos а, y = v sin а следует (12) x = x0 - J(( - cosa)cosadt, y = y0 +J(p - cosa)sinadt, где x0, y0 - константы интегрирования. Поскольку согласно (6) с учетом (3) сила реакции есть Ncr = m (va + g cos a), то благодаря найденным зависимостям (10) и (11) имеем отсюда, что N = m I C(p - cos a) + g cos a ] = pmg = Ncr То есть для всех 2 > p > 0 условие N = Ncr < Ncr выполняется автоматически. Выбирая начальное условие для скорости в виде v (0) = v0, в соответствии с решениями (9) и (11) получаем тогда, что (13) v0 С. О. Гладков, С. Б. Богданова 64 Накладывая также начальные условия на координаты в виде х (0 ) = у (0) = 0, (14) после простого интегрирования уравнений (12) с учетом (13) и (14), можно прийти к следующим параметрическим зависимостям: х = g (p-1) p sin ( gfc1)_1 {gf + 1sin ( 2 g,lp - 'I у = g (Ip -1 )2 p cos gt\\p -11 1 f1 + 4p - cos 2 gt\\p -1 (15) В безразмерном виде эти решения удобно переписать следующим образом: 1 = 1 П =" (p-1) -1 p sin (т| p -1)-2 Гт| p -1 + Isin (2т| p - ф (\\p -1 )2 -где новые переменные есть p cos (т| p -1 )-4 (1 + 4 p -cos (2т| p -1)) (16) (17) Зависимость n = n(5) согласно решениям (16) для разных значений параметра p иллюстрируют рис. 2 - 4. Рис. 2. Зависимость n = n(5) при p = 0 (представляет собой классическую брахистохрону) Fig. 2. Dependence n = n(5) at p = 0 (represents a classical brachistochrone) Об изменении формы брахистохроны при учете ограничения нагрузки на желоб 65 Рис. 3. Зависимость п = п(?) при p = 2 (линия 1) и при p = 4 (линия 2), 0 < т < 30 Fig. 3. Dependence n = n(?) at Р = 2 (line 1) and p = 4 (line 2), 0 < т < 30 Рис. 4. Зависимость n = n(?) при p = 1/2 (линия 1) и p = 1/4 (линия 2), 0 p. Это означает, что при выполнении начальных условий (14) должна соблюдаться следующая «чехарда» дискретных времен: t2n < t < t2n+1, если cos т < p < 1, (19) и где t < t2n, t > t2n+1, если p < cos т , vn (1 - p), , t2n =---- (arccos p + 2nn), g t2n+1 = v0^1-- [arccos p +n(2n +1)]. g (20) (21) Заметим, что в этом случае форма желоба, материал которого характеризуется малым пределом прочности, показана на рис. 4, из которого с очевидностью видно, что вначале движения траектория должна быть почти вертикальной, плавно переходящей в горизонтальный участок, который затем выгибается в форму параболы, давление на которую, как мы знаем (см. работу [1]), равно нулю. Рассмотрим теперь последний, но также весьма важный случай, когда p = 1. Решение (9) при этом можно представить, как v = С (1 - cos а). Из уравнений (7) тогда следует, что gt (22) а = - С (23) В результате получаем С 2 1 sin а-I а+ -sin2а g V 21 2 С2 . у = у0 +--1 - cos а+- cos2а I. g V 4 1 (24) Из условий (14), когда траектория выходит из начала координат, то есть х(0) = у (0) = 0 , следует, что 3С2 4 g х0 = 0 У0 =- С2 1 1 Поэтому х =-1 sin а-I а+ -sin2а g V 2 V 2 2С2 . 4Га у =-sin I - V 2 (25) g Об изменении формы брахистохроны при учете ограничения нагрузки на желоб 67 Из решения (22) следует, что в начальный момент времени скорость тела автоматически должна быть равна нулю. Это означает, что решение (25) описывает не единственную кривую, выходящую из начала координат, а бесчисленный класс кривых с произвольными C, которые качественно совершенно идентичны, что и иллюстрирует рис. 5. Рис. 5. Зависимость y(х) при p = 1 и С2 /2g = 1 Fig. 5. Dependence y(x) at p = 1 and С2/2g = 1 Заключение Отметим основные результаты проведенного выше исследования. 1. Найдено аналитическое решение задачи, описывающее форму желоба при учете предела прочности его материала. 2. Проанализированы четыре различных случая: p = 0, p = 1, p > 1, p < 1 и с помощью численных методов приведены изображения четырех качественно различных форм желоба, одна из которых (при p = 0) представляет собой, как и должно быть, обычную брахистохрону. 3. Отмечено, что в случае не слишком прочных материалов форма желоба должна быть выбрана в форме, показанной на рис. 4. 4. Решение поставленной задачи найдено с помощью намеченного в [1-6] метода составления динамических уравнений движения в подвижной системе координат без привлечения традиционных методов вариационного исчисления [8-10] и управляющего параметра [9, 11, 12], как это сделано, например, в [13-20].

Скачать электронную версию публикации