Asymptotic simulation of the spectral problem.pdf Целью работы является приближенное решение спектральной задачи. Математическая модель как приближенное описание какого-либо класса явлений с помощью математической символики сводит исследование явления к математической задаче. Естественно, встает проблема выбора метода решения возникшей математической задачи. Так, в дифференциальных задачах, которые содержат малые параметры при старших производных, эффективным является применение асимптотических методов [1-3]. Дело в том, что такие задачи обнаруживают особую структуру интегралов, в число которых входят как «медленные» интегралы, существенные на всем промежутке интегралов, так и «быстрые» интегралы, локализованные в окрестности каких-либо точек, линий. Подобная структура возникает в ряде прикладных задач. Независимо от их физической сущности решение можно представить как асимптотические разложения [4-7]. Рассмотрим реализацию асимптотического моделирования спектральной задачи из теории оболочек [8, 9]. Пусть имеем класс оболочек, включающий в себя цилиндрические и близкие к ним оболочки. Спектральные задачи этого класса объектов описываются системой уравнений теории напряженных состояний с большой изменяемостью [10, 11]: е4 Д2 w + Д R Ф-Хц = 0, е 4 Д2 Ф-Д Rw = 0, (1) где w - нормальный прогиб, Ф - функция напряжения, е - малый параметр. Операторы Д и ДR , явный вид которых приведен в [10], содержат коэффициенты первой и второй квадратичных форм срединной поверхности оболочки. Их можно выразить, дифференцируя векторное уравнение срединной поверхности г = ^ +f (s, фН, (2) в котором радиус-вектор r определяется положением точки на цилиндрической поверхности, орт внешней нормали которой образует правую тройку с ортами Асимптотическое моделирование спектральной задачи 13 e1°, e20 координатных линий s, ф этой поверхности. Координата s отсчитывается вдоль образующей, ф - вдоль направляющей. Функция f (s, ф) описывает отклонение от цилиндрической поверхности, ц - малый параметр. Дифференцируя (2) по s, ф с учетом деривационных формул Гаусса - Вейнгартена [8], после преобразования получим коэффициенты первой квадратичной формы Л2 = 1 + ц2fS2, A22 = 1 + 2f + Ц2(fp'2 + f2k2), fp'2 + f2k2),fp'2 + f2k2), k(p) - A20 /R20. (3) Коэффициенты второй квадратичной формы имеют более громоздкие выражения, из которых в дальнейшем используются один-два члена. Поэтому выпишем их, удерживая лишь старшие члены разложений по параметру ц: 1/R = f + 0(ц2), 1/Rj2 = f' - fp') + 0(ц2), 1/R2 = k-p(k2 f + fpP'+ fS) + 0(ц2). (4) В том случае, когда функция отклонений f (s, ф) зависит только от s, координатные линии s, ф являются линиями кривизны и главные кривизны сравнительно просто записываются без каких-либо отбрасываний: 1/Ri =f /(1 + ц2 (f's )2)3/2, 1/R2 = (k-ц/s' )/[(1 + ц2 (f's )2)f (5) С помощью формул (4) операторы Д и ДR, приобретают следующий вид: Ди = д2 w / ds2 + д2 w / дф2, ДRW = k dw / ds - ц( fss д2 w / дф2 - 2 f^ д2 w / dpds - (fpss )'''dw / ds) + 0(ц). (6) Теперь, исключив функцию напряжения при помощи второго уравнения исходной системы (1), получим из первого уравнения этой системы после преобразований последовательность уравнений для определения прогиба Hоw0 = 0, H0 w1 + H1w0 = 0, H 0w2 + H1w1 + H 2w0 = 0,... (7) Применительно к анализу уравнений тонкостенных упругих систем асимптотические методы настолько эффективны, что очень хорошую аппроксимацию дает уже нулевое приближение. В силу этих достоинств, не выписывая довольно громоздких выражений операторов Hb H2 , ..., приведем только H0: H0 w0 - (k2/q4)w0V + (k / q2)((fV 0)'' + ^ ) + (q4 + f"2-^^ . (8) Если поверхность (2) близка к круговому цилиндру, то в (8) кривизна k постоянна и можно положить k = 1, Число q вещественно и определяет изменяемость в направлении ф. Дополнив уравнение H0 w0 = 0 граничными условиями, получим задачу на собственные значения, решением которой будет набор значений параметра Х0. Таким образом, асимптотическое моделирование позволяет существенно редуцировать исходную математическую модель (1), которая имеет 8-й порядок. Нулевое приближение (8) асимптотической задачи описывается уравнением 4-го порядка. Если отклонение от прямолинейной образующей имеет параболическую форму, то вторая производная f" является постоянной. В этом случае (8) являет- Е.А. Молчанова 14 ся уравнением с постоянными коэффициентами, что позволяет получить сравнительно удобные формулы для собственного значения Х0. Решение уравнения H0 w0 = 0 ищем в виде линейной комбинации W = £ akebks , () к=1 в которой корни характеристического уравнения bk = ±q(- f" ± (Х0 - q ) ) , к = 1,...,4, а константыak находятся из условия равенства нулю определителя системы линейных алгебраических уравнений, которая получается в результате подчинения (9) граничным условиям. Так, при граничных условиях W (0) = W (1) = W0 (0) = W0 (1) = 0 получаем равенство F = (р2 - r2)sh(r/)sin(p/) + 2rp(ch(r/)cos(p/) -1) = 0, (10) в котором 7/ f I /л 4\\M2\\M2 r = q/(- f + 0- q ) ) p = q/(f ’’+(K (11) При параболической форме отклонения вторая производная f" = const и является параметром задачи. Параметр q определяет изменяемость собственной функции в окружном направлении, / - длина оболочки. Асимптотический генезис возникающих трансцендентных уравнений позволяет и к этим уравнениям применить асимптотический анализ [12, 13], с помощью которого можно обнаружить компоненты уравнения, такие, которые вносят главный вклад в формирование спектра. Опуская менее существенные компоненты, получим более простые выражения и даже явные формулы для собственных значений. Исследуем поведение корней. Левая часть уравнения (10) является суммой двух слагаемых F = F1 + F2. Нули функции F1 = (р2 - r 2)sh(r/)sin(p/) совпадает с нулями sin(p/). Нули функции F2 = 2rp(ch(r/) cos(p/) -1) совпадают с корнями уравнения dh(r/) ^s(p/) -1 = 0. Это известное из теории колебаний частотное уравнение балки, защемленной с обеих сторон [14]. Графическое решение уравнений F = 0, F1 = 0, F2 = 0 обнаруживает их близость в определенных диапазонах изменения параметра Х0. На рис. 1 изобразим графики функций F (сплошная линия), F1 (штрих-пунктирная линия), F2 (пунктирная линия). Из рисунка видно, что в области малых значений Х0 слагаемые F1, F2 равноудалены от их суммы F. С увеличением значений Х0 обнаруживается явная тенденция к сближению F, F2, а F1 существенно отстает. Эта тенденция хорошо иллюстрируется рис. 2, где взяты большие значения Х0. Для сравнения числовых значений зафиксируем значения числовых параметров / = 3, q = 2, f" = -1 и, применяя численный метод для определения значений параметра Х0, получим для первых десяти значений таблицу. Асимптотическое моделирование спектральной задачи 15 >>-10-5 Рис. 1. Графики в диапазоне X от 0 до 40 трёх функций F (сплошная линия), F1 (штрих-пунктирная линия), F2 (пунктирная линия), фигурирующих в левой части трансцендентного уравнения (10) Fig. 1. Graphs ranging from X from 0 to 40 for three functions F (solid line), F1 (chain-dotted line), and F2 (dashed line) appearing on the left side of the transcendent equation (10) Рис. 2. Графики в диапазоне X от 0 до 300 трёх функций F (сплошная линия), F1 (штрих-пунктирная линия), F2 (пунктирная линия), фигурирующих в левой части трансцендентного уравнения (10) Fig. 2. Graphs ranging from X from 0 to 300 for three functions F (solid line), F1 (chain-dotted line), and F2 (dashed line) appearing on the left side of the transcendent equation (10) Е.А. Молчанова 16 В первой строке таблицы содержатся корни уравнения F = 0, во второй -корни уравнения F = 0 , в третьей - корни уравнения F2 = 0. 18.0402 21.7021 31.177 51.4256 89.2123 153.106 253.478 402.505 614.167 904.247 18.0476 22.4595 33.7547 57.3408 100.435 172.059 283.035 445.992 675.36 987.375 18.6142 23.3629 34.9957 58.9242 102.364 174.334 285.658 448.962 678.379 991.042 Из этих решений следует, что при больших значениях X0 их можно определять, решая уравнение F2 = 0 или ch(r/)cos(p/) -1 = 0. (12) Корни этого уравнения близки к нулям функции cos(pl). Поэтому следует решить уравнение COS(ql(f'' + (X

Скачать электронную версию публикации