A Couette-type flow with a perfect slip condition on a solid surface.pdf Одной из наиболее распространенных моделей, используемых для описания вихревых конвективных течений вязких жидкостей, является система уравнений Обербека - Буссинеска [1-5]. Эта модель строится при помощи гипотезы о линейной зависимости плотности жидкости от температуры, которая учитывается только в массовых силах [6]. Для решения практических задач и проведения теоретической оценки устойчивости установившихся движений жидкости часто используются и исследуются однонаправленные течения жидкости V = (Vx(z), 0, 0) [7-11]. Одним из первых слоистых течений, свойства которого описаны в точной постановке решений вида V = (Vx(z), 0, 0) уравнений движения вязкой жидкости, является изотермическое и изобарическое течение Куэтта [12]. Еще одним известным однонаправленным изотермическим течением такого вида является градиентное течение Пуазейля [13], вызванное перепадом давления. И эксперименты, и анализ данного решения показывают, что оно обладает ненулевой завихренностью, обусловленной (в отличие от течения Куэтта) неоднородным распределением поля скорости относительно координаты z. Таким образом, учет неодномерности (по координатам) гидродинамических полей позволяет создавать модели, наиболее приближенные к действительности, поскольку реальные течения жидкостей являются вихревыми [14, 15]. Более сложным объектом для моделирования являются конвективные течения, поскольку требуется дополнительно учитывать температурные факторы, распределение которых зависит от положения элементарного жидкого объема в рассматриваемой области течения. Одним из первых в этом классе было решение Остроумова - Бириха [16, 17]. Краевые условия, отвечающие этому решению, подразумевают задание неоднородного поля температуры, характеризуемого одинаковыми значениями продольных градиентов на обеих границах рассматриваемого слоя жидкости, а также замкнутость потока. Однако независимо от структуры поля скоростей, закладываемой при выводе точного решения уравнений гидродинамики, все известные (классические) тече-1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-19-00571). Н.В. Бурмашева, Е.А. Ларина, Е.Ю. Просвиряков 80 ния используют условие прилипания для описания взаимодействия жидкости на контакте с твердой поверхностью [2, 3, 8, 18-23]. На настоящий момент для специалистов, занимающихся поиском приложений теоретических достижений к областям практики, вызывает отдельный интерес течение жидкостей на контакте со слабо смачиваемыми (гидрофобными) покрытиями [24-26]. В этом случае использование условия прилипания является неприемлемым, необходимо брать в расчет альтернативные условия - условия скольжения [20, 27-31]. В данной работе исследуется обобщение течения Остроумова - Бириха на предельный случай проскальзывания жидкости (случай идеального скольжения [32-34] Навье) при постоянном (нулевом) расходе жидкости и неоднородном распределении поля температуры. Постановка задачи Рассматривается установившееся однонаправленное сдвиговое конвективное течение вязкой несжимаемой жидкости, движущейся со скоростью V = (Vx(z),0,0), в горизонтальном слое постоянной толщины h. Введем декартову систему координат таким образом, что ось Oz направлена строго вверх, ось Ox - вдоль исследуемого потока жидкости (рис. 1). Система уравнений тепловой конвекции для таких течений принимает следующий вид [35]: др _ дх дѴ dz2 дР _ 0, дР _ gpr ; ду дz (1) ТЛ дТ f д2Т д2Т д2Т1 Ѵх - _ х --1---1-дх ч йх2 ду2 3z2 , дѴх _ 0. дх (2) (3) Здесь Ѵх - скорость течения вдоль оси Ox; Р = P(x,y,z) - отклонение давления от гидростатического, отнесённое к постоянной средней плотности жидкости р; T = T(x,y,z) - отклонение от средней температуры; ѵ и х - коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности жидкости соответственно; в - тем- Течение типа Куэтта с учетом идеального скольжения на контакте с твердой поверхностью 81 пературный коэффициент объёмного расширения жидкости; g - ускорение свободного падения. Уравнения (1) есть проекции векторного уравнения движения вязкой жидкости (уравнений Навье - Стокса с учетом приближения Буссинеска) на оси выбранной системы координат, уравнение (2) представляет собой закон изменения температуры при движении этой жидкости, а уравнение (3) отражает свойство ее несжимаемости. Заметим, что уравнение несжимаемости выполняется тождественно для поля скоростей V = (Vx(z),0,0), поэтому при записи уравнений сохранения моментов импульса (1) обнуляются конвективное слагаемое и вторые производные от скорости по переменным x и у. Кроме того, в системе (1) - (3) число уравнений превосходит число неизвестных функций, поэтому рассматриваемая система является также и переопределенной. Факт переопределенности приводит к вопросу о существовании совместного нетривиального решения данной системы. Разрешимость переопределенной системы будет обеспечена, если удовлетворить «избыточным» уравнениям. Для этого решение системы (1) - (3) будем искать в классе функций следующего вида [36-40]: Vx = U (z); (4) P = Po (z) + xPx (z), T = To (z) + xT1 (z). (5) Представление (4) обеспечивает тождественное удовлетворение уравнения несжимаемости (3) и тем самым выравнивает баланс числа уравнений и числа неизвестных в системе уравнений тепловой конвекции (1) - (3). Отметим, что представление (4), (5) является частным случаем класса Линя - Сидорова - Аристова [2, 3, 8, 19, 37-39, 41-43]. В результате подстановки представлений (4) и (5) в систему уравнений тепловой конвекции и проецирования получившихся выражений на оси Ox, Oy, Oz выбранной декартовой системы координат приходим к следующей редуцированной системе обыкновенных дифференциальных уравнений [2, 8, 12, 13, 16, 17, 37-39, 44]: т; = 0, P = gPT , vU" = P , XTo" = UT , Po' = gpTo . (6) Операция дифференцирования в системе (6) ведется по вертикальной координате z. Полученная редуцированная (в классе (4), (5)) система наследует свойство нелинейности от изначальной системы (1) - (3). При этом, согласно порядку системы (6), для описания с ее помощью конкретных течений необходимо задать соответствующее число краевых условий. Будем считать, что нижняя граница бесконечного горизонтального слоя жидкости, задаваемая уравнением z = o (рис. 1), является абсолютно твёрдой и неподвижной. При этом на этой границе выполняется условие идеального скольжения [32 - 34]. Значение температуры на нижней границе принимаем за отсчётное значение. С учетом структуры (4), (5) выбранного обобщенного класса решений эти условия записываются в следующем виде: To (o ) = o, U' (o ) = o. (7) На верхней границе z = h (рис. 1) задано неоднородное распределение температурного поля и однородное распределение поля давления. Кроме того, полагаем верхнюю границу свободной (поле касательных напряжений, действующее на Н.В. Бурмашева, Е.А. Ларина, Е.Ю. Просвиряков 82 ней, считаем нулевым). Согласно структуре класса решений (4), (5) эти условия принимают вид T0 (h ) = 0, T (h) = A , U' (h ) = 0, P0 (h ) = 0, p (h ) = 0. (8) Кроме того, полагаем, что течение происходит с нулевым расходом жидкости [17, 37]: h I Udz = 0 . (9) 0 Условие (9) для однонаправленных течений является аналогом уравнения неразрывности. Решение системы уравнений (6), удовлетворяющее граничным условиям (7) - (9), с учетом замены Z = z/h£[0,1] является полиномиальным: U = Age (-3 + 30Z2 - 40Z3 + 15Z4 ); (10) 120ѵ Ѵ ’ T = A gh P (-1 + Z )Z (15 - 27Z - 6Z2 + 64Z3 - 55Z4 + 15Z5); (11) 0 1680vx V ’ T = A (-2 + 3Z); (12) A^ g2 h6r2 P0 = s0 + (-1+Z)2 (25 + 50Z -150Z 2 + 76Z3 +131Z4 -150Z5 + 45Z 6 ); (13) 0 0 40320vx V ’ V ’ P = 2 Aghp(-1 + Z )(-1 + 3Z). (14) Введение нормированной вертикальной координаты Z позволяет рассматривать слой фиксированной толщины, не зависящей от параметров краевой задачи, что в свою очередь снижает зависимость анализа свойств решения (10) - (14) от этих параметров. Анализ точного решения для поля скорости Проанализируем точное решение (10), описывающее свойства поля скорости. Известно, что границами зон обратного (возвратного) течения [2, 45, 46] при их наличии выступают точки, в которых скорость принимает нулевое значение. Изучим свойства полинома (10) на этот предмет. Очевидно, что коэффициент AgPh3/(120v) не оказывает влияния на расположение нулевых точек. Поэтому при нормировке скорости на этот коэффициент можно без потери общности рассматривать полином - 3 + 30Z2 - 40Z3 + 15Z4, входящий в выражение (10). Этот многочлен имеет единственный на интервале [0,1] нуль - это точка Z = 0.4445 (рис. 2). Таким образом, поле скорости U расслаивается на две зоны относительно нулевого значения: в одной скорость U совпадает по направлению с осью Ox, а в другой - противоположна ей. Направление скорости U в каждой из этих двух областей определяется знаком параметра A, задаваемого на верхней границе. При этом положение границы этих областей не зависит от параметров краевой задачи, а определяется только структурой выбранного класса (4), (5) и типом краевых условий (7) - (9). Течение типа Куэтта с учетом идеального скольжения на контакте с твердой поверхностью 83 -3 -2 -1 0 1 U Рис. 2. Профиль скорости U, нормированной на множитель Agfik3 /(120ѵ) Fig. 2. A profile of the velocity U normalized to a multiplier AgPk3/(120v) Изучим далее зависимость касательного напряжения Txz, определяемого выражением (15) от граничных параметров (здесь п - коэффициент динамической вязкости). Очевидно, что напряжение Txz всюду в слое [0,1] принимает значения только одного знака. Анализ точного решения для поля температуры Исследуем теперь свойства поля температуры Т, определяемого точным решением (11), (12). Горизонтальный градиент температуры T1 = A(-2 + 3Z) (12) есть строго монотонно возрастающая функция. Он может принимать нулевое значение только в одной точке - точке Z = 2/3, причем независимым от значения параметра A (как и от значений других параметров краевой задачи) образом. Рассмотрим теперь многочлен (11), характеризующий распределение фоновой температуры T0. Очевидно, что фоновая температура обращается в нуль на границах интервала [0,1], а также может принимать нулевое значение в точках, являющихся нулями полинома f(Z) = 15 - 27Z - 6Z2 + 64Z3 - 55Z4 + 15Z5. Анализ свойств функции f (Z) показывает, что она всюду на интервале (0,1) принимает только положительные значения. Следовательно, фоновая температура, определяемая выражением (11), не имеет нулей внутри рассматриваемого слоя жидкости (рис. 3), но имеет немонотонный характер. Это говорит о том, что при некотором возмущении (в роли которых могут выступать дополнительно накладываемые тепловые поля, например поле T1 x) итоговое тепловое поле может стратифицироваться на зоны относительно отсчетного значения. Взаимодействие тепловых полей, определяемых компонентами Т0 и Ть представим, согласно выражениям (11), (12), в следующем виде: Т = Т0 + Тx=A[b(-1 + Z)Z(15-27Z -6Z2 + 64Z3 -55Z4 + 15Z5) + (-2 + 3Z)x] . (16) Н.В. Бурмашева, Е.А. Ларина, Е.Ю. Просвиряков 84 Здесь введено обозначение: b = AgPh5/1680vx. Выражение (16), описывающее поведение результирующего температурного поля T, является функцией трех переменных: координаты х, координаты Z, введенного параметра b. При этом параметр A, характеризующий распределение температуры на верхней границе слоя, не влияет на форму изолиний температурного поля T в явном виде, только опосредованно (как один из множителей, входящих в выражение для параметра b). На рис. 4 в качестве примера приведено распределение изолиний в плоскости xZ для значения b = 1 (для значений горизонтальной координаты х£[-1,1]). Fig. 3. A background temperature profile Рис. 4. Изолинии температуры T при b = 1 Fig. 4. Isolines of temperature T at b = 1 Течение типа Куэтта с учетом идеального скольжения на контакте с твердой поверхностью 85 Отметим, что случай b = 0 описывает распределение изолиний дополнительного поля Тух, отвечающего за неоднородность распределения тепловых эффектов. Кроме того, при увеличении значения параметра b происходит искривление изотерм. Это объясняется тем, что при увеличении значения параметра b возрастает влияние нелинейного (по переменной Z) слагаемого (вклад фоновой температуры) в выражении (16) для итогового температурного поля Т. Анализ точного решения для поля давления Изучение свойств поля давления начнем так же, как поля температуры, с исследования свойств его продольного градиента Ру. Решение (14) определяет квадратичную зависимость градиента Ру от координаты Z. Нулями этого полинома являются значения Z = 1 и Z = 1/3. В этих точках будет происходить переход от положительно значения градиента давления к отрицательному значению (или наоборот) (рис. 5). Далее изучим поведение фонового давления Р0. Заметим, что выражение (13) содержит слагаемое S0 - значение фонового давления на верхней границе слоя. Рассмотрим возможные варианты относительно этого значения. Если S0 = 0, тогда выражение (13) примет вид (-1 + Z)2 (25 + 50Z - 150Z2 + 76Z3 + 131Z4 - 150Z5 + 45Z6 ) . (17) Р = A2g2h6p2 0 40320vx Fig. 5. A profile of pressure component P! При анализе расположения нулей выражения (17) можно не брать во внимание общий коэффициент, стоящий перед выражением, так как он не влияет на корни полинома (17). Единственный корень на промежутке [0,1] - это значение Z = 1, отвечающее положению верхней границы рассматриваемого слоя. Это означает, что в случае S0 = 0 фоновое давление Р0 всюду внутри слоя отлично от нуля (рис. 6). Н.В. Бурмашева, Е.А. Ларина, Е.Ю. Просвиряков при S0 = 0 (сплошная линия) и S0 = -5 (пунктирная линия) Fig. 6. Typical profiles of background pressure P0 at S0 = 0 (solid line) and S0 = -5 (dashed line) 86 Заметим, что слагаемое S0 в выражении (13) определяет сдвиг, а не формоизменение профиля фонового давления. Таким образом, в случае S0 ф 0 при определенных значениях этого параметра возможно появление одной нулевой точки (рис. 6). Теперь изучим распределение итогового поля давления, определяемого точным решением (13), (14). Заметим, что в тривиальном случае, когда A = 0, продольный градиент давления P1 = 0, а фоновое давление P0 принимает постоянное значение S0. И, очевидно, стратификации поля давления такого вида не наблюдается. Поэтому будем далее полагать, что параметр A отличен от нуля. Рассмотрим сначала частный случай S0 = 0. Давление тогда примет вид (-1 + Z)2 (25 + 50Z - 150Z2 + 76Z3 + 131Z4 - 150Z5 + 45Z6 ) + р = A2g2h6p2 40320v% +xA^(-1 + z )(-1 + 3Z). Выполним элементарные преобразования и используем замену b = AgPh5/1680vx: P = (-1+Z )840ѵ% 2 - (-1+Z )25+50Z-105Z 2 + 76Z3 +131Z 4 -150Z5 + 45Z6 )+ +xb (-1 + 3Z)]. (18) Из структуры полинома (18) видно, что одним из его корней будет граничная точка Z = 1. Разберем поведение функции b2 f = 12(-1 + Z)(25 + 50Z - 105Z2 + 76Z3 + 131Z4 - 150Z5 + 45Z6 ) + xb (-1 + 3Z), стоящей в квадратных скобках выражения (18). Функция f зависит от трех параметров - x, b и Z. Рассмотрим, как влияют параметры x, b на поведение f Течение типа Куэтта с учетом идеального скольжения на контакте с твердой поверхностью 87 Для сравнения с характером распределения поля температуры на рис. 7 приведено распределение изолиний поля давления на промежутке xE[-1,1] при значении b = 1. Рис. 7. Изолинии функции f при b = 1 Fig. 7. Isolines of function f at b = 1 Функция f в зависимости от расположения выбранного (по координате х) сечения имеет не более одной нулевой точки внутри слоя Z£[0,1] . Значит, итоговое давление (18) также имеет не более одной нулевой точки внутри промежутка ZE[0,1]. (рис. 8). в случае S0 = 0 (сплошная линия) и в случае S0 = -1.3 (пунктирная линия) Fig. 8. Typical profiles of pressure P at b = 1, x = -0.9 in the case of S0 = 0 (solid line) and S0 = -1.3 (dashed line) Н.В. Бурмашева, Е.А. Ларина, Е.Ю. Просвиряков 88 Как было сказано выше, учет ненулевого значения S0 в выражениях для давления (в частности, в выражении (18)) приводит к сдвигу профилей. Это означает, что в случае S0 Ф 0 итоговое давление P в некоторых сечениях может иметь две нулевые точки (рис. 8). Характерные профили такого же, как на рис. 8, типа говорят о явной локализации поля давления в придонной области для рассматриваемых сечений. Заключение В ходе анализа приведенного в статье точного решения было установлено, что распределение полей скорости, температуры и давления в общем случае неоднородно и зависит от значений краевых параметров. Было показано, что поле скорости может расслаиваться на две зоны относительно нулевого значения: в одной направление течения жидкости совпадает с соответствующей координатной осью, а в другой - противоположно ей. При этом соответствующее касательное напряжение не допускает возникновения стратификации. Температурное поле, в свою очередь, демонстрирует аналогичное поведение: наблюдается переход от нагрева жидкости в одной из зон к охлаждению в соседней с ней зоне. Поле давление может иметь не более двух нулевых (относительно отсчетного значения) точек внутри рассматриваемого слоя жидкости, т. е. смена знака давления происходит не более двух раз по толщине изучаемого слоя. Полученные выводы применимы к различным по своей природе вязким жидкостям, так как анализ был проведен в общем виде (без конкретизации значений физических констант, однозначным образом идентифицирующих исследуемую жидкость).

Скачать электронную версию публикации