Application of the Loewner-Kufarev theory to the construction of a parametric set of univalent functions of a certain fo.pdf Дифференциальные уравнения Левнера - Куфарева имеют большой класс применимости [1-9], а именно, с их помощью решены многие проблемные задачи, ранее считавшиеся не поддающимися исследованию. Интегралы дифференциальных уравнений Левнера - Куфарева рассматриваются как достаточные условия однолистности функций. Уравнения Левнера - Куфарева считаются формой вариационных формул как эффективный метод исследований. Большой вклад в развитие геометрической теории функций комплексного переменного, создание вариационно-параметрического метода исследования функционалов, рассмотрение случаев интегрируемости дифференциального уравнения Левнера - Куфарева внесли ученые ведущих научных центров Томска, Казани, Краснодара, Санкт-Петербурга, Саратова и др. Дифференциальное уравнение Левнера - Куфарева. Формула Базилеваича Введем обозначения: • С - множество регулярных в E = {z :| z |< 1} функций p(z), удовлетворяющих условию Re[p(z)] > 0 в E; • P - множество функций p(z) класса С, удовлетворяющих условию p(0) = 1; • C(T) - множество функций p(z,t), принадлежащих классу С при каждом фиксированном t е T = {t :t > 0} и непрерывных по t е T ; О.В. Задорожная, В.К. Кочетков 6 • S - класс выпуклых в E функций ф(z), ф(0) = 0, ф'(0) = 1, отображающих E на выпуклую область Dw; • S - класс регулярных и однолистных в E функций f(z), удовлетворяющих условию f (0) = 0, f '(0) = 1. Дифференциальное уравнение вида f = -fp(f, t), |f|< 1, t £ T dt называется первым дифференциальным уравнением Левнера - Куфарева, а дифференциальное уравнение в частных производных zgT = p(z, t), p(z, t) £ C(T) - вторым дифференциальным уравнением Левнера - Куфарева. Рассматривая первое дифференциальное уравнение Левнера - Куфарева И.Е. Базилевич доказал, что функция 1 f (z) Pi(0) P0(0) V j P0( z) 0 zPi(0)-i zp1( z )-p1(0) dz e0 z dz Л P1(0) J z + axz2 +... принадлежит классу S, где fz) - однозначная ветвь данного разложения, P0(z), P1(z) £ C . Функции вида ■P0( z) v( z)dz, v( z) = e j dz z назовем составляющими функциями формулы Базилевича, а функцию P(z, t) £ C(T) - ядром уравнения Левнера - Куфарева. Построение однопараметрического множества однолистных функций вида g (z, t) n \\a S ak(z /1 k=0 J t > 0 () сводится к построению ядра P(z,t) класса C(T) с учетом исходной позиции zg z z S ak(z )tk k=0 P(z, t) . k-1 S kak(z)t k=1 Работа состоит из трех параграфов. Первый метод изложен в первом параграфе при рассмотрении g(z,t) в (*) последовательно при m = 1, 2, 3, n. Кроме того, получено, что • показатель а зависит от n; • функции ak (z), k = 0, n выражаются в терминах составляющих функций Базилевича. Реализация теории Левнера - Куфарева в вопросе построения параметрического множества 7 Во втором параграфе вводится специальное множество функций вида - ]PZ±dz g(]) = I h(])e0 - d] , где h(]) e С, p(z) e P, и исследуются некоторые свойства: • однолистность; • линейность. Третий параграф посвящен изложению в обзорной форме некоторых альтернативных методов построения ядра в случае функций вида (*) при n = 3. § 1. Первый способ построения однопараметрического множества Г n -1“ однолистных функций вида w = g(z,t) = aktk ^ I k=0 i 1.1. Случай множества функций вида w = g (], t) = ( (]) + a (])t )a Относительно функции вида (1.1.1) (1.1.2) (1.1.3) (1.1.4) w = g (], t) = (o (])+a (])t )a составим отношение -+--11 = p(],t). ]g ] = ]a0o , ]a1 gt a1 Проблема сводится к построению функцииp(],t) класса C(T). Полагая - = Pi(]) e C, - = Po( ]) e C, выражение в (1.1.2) перепишем в виде -g g't - = Po (]) + Pi (])t = p(], t) e C(T) являющемся вторым дифференциальным уравнением Левнера - Куфарева. Проинтегрируем (1.1.3): I d] a1 (]) = e -М-Н^СО) d] или a1( ]) = ]p1(0)e0 z Из (1.1.4), с учетом (1.1.5), имеем "■ po( ]) (1.1.5) )(]) = I -p0^-)a 1( ] )d] J "7 О.В. Задорожная, В.К. Кочетков 8 или z |pl( z )-pi(0) dz (1.1.6) aa(z) = f Po(z) ■ zPl(0)-1 ■ e0 z dz . 0 Объединяя вышеизложенное, сформулируем утверждение. Утверждение 1. Пусть 1) функции Po(z), Pi(z) e C ; 2) функции аДz),a()(z) вычисляются по формулам (1.1.5), (1.1.6) соответственно. Тогда однозначная ветвь функции g(z,t) 1 w = g (z, t) = (o(z) + ^(z)t )P1c0) = ^(t)z +... (1.1.7) с фиксированным коэффициентом при z в первой степени в разложении g(z,t) по степеням z регулярна и однолистна в E при каждом фиксированном t e T . Заметим, что функция Ф( z, t) g (z, t) gz(0,t) e S, z e E , при каждом фиксированном t e T , где Ф^,0) = fz), является функцией И.Е. Базилевича, которая хорошо изучена в геометрической теории функций комплексного переменного и для которой указаны функциональные и геометрические свойства. Поэтому в данной статье ограничимся лишь указанием факта, что И.Е. Базилевич получил свой результат рассмотрением первого дифференциального уравнения Левнера - Куфарева. Фундаментальной же основой данной статьи является второе дифференциальное уравнение Левнера - Куфарева. Укажем, с учетом (1.1.5), (1.1.6), развернутую запись выражения в (1.1.7) 1 V(0) w = g (z, t) zP1(0)-1 I p1(z)-p1(0)dz e0 z I p1(z)-p1(0)dz ,0 z dz + tzP1(0) J При t = 0 это выражение перепишется в виде g (z ,0) = I P0( z) ^ • P1(0)-1 I P1(z)-P1(0) dz \\ P1(0) e0 z dz которое при p1 (0) = 1 примет вид z I p1(z)-1 dz g (z,0) = I P0( z) ■ e0 z dz 0 или g (z) = j h( z) 0 jP( z )-1 0z e0 dz dz при P0 (z) = h(z), P1 (z) = p(z). Реализация теории Левнера - Куфарева в вопросе построения параметрического множества 9 Замечание. При t = 0 выражение в (1.1.7) совпадает с ненормированной формулой Базилевича, являющейся функцией в то время, как в (1.1.7) имеем семейство функций, что является некоторым обобщением. 1.2. Случай множества функций вида (2 \\ а a0 (z) + a1 (z)t + a2t ) Относительно функции вида (2 \\ а a0 (z) + a1 (z)t + a2t ) , а ) 1 2 P2 (0) составим отношение zg 'z za'0 + za[t + za'212 gt a1 + 2a2t = P( z, t). Проблема состоит в построении функции p(z,t) класса C(T). Полагая £a1 2 a. = P2 (z) e C 2 или za'2 = 2p2 (z)a2 , интегрированием (1.2.3), (1.2.4) получим 2 J^M-p^CO) dz a2(z) = z2P2(0) • e 0 z . Пусть (z) = f P'k ( )q2 (z)dz, k = 0,1, pk (z) e C , z откуда имеем zak = pka2 . Используя (1.2.4), (1.2.7), преобразуем правую часть (1.2.2) к виду p( z, t) = p0 • a2 + fl • a2t + 2p2 • a2t a1 + 2a2t (1.2.1) (1.2.2) (1.2.3) (1.2.4) (1.2.5) (1.2.6) (1.2.7) (1.2.8) Разделим на a2 числитель и знаменатель в (1.2.8) p( z, t) = p0 + p1t + 2 p2t 2 a, + 2t a 2 Разделим теперь числитель на знаменатель последнего выражения p1 L p2 It + p0 p( z, t) = p2t + ~ a, 2t (1.2.9) a 2 О.В. Задорожная, В.К. Кочетков 10 Приравнивая к нулю выражение в скобках в правой части данного выражения a Р--L Р2 = °> 2 получим соотношение aL = рі_ a2 Р2 подставив которое в (1.2.9), получим Р( г, t) = P2t + Ро 2t + Р- = P2t +- 1 2-!- + ■ Pi Р2 Ро РоР2 Это выражение при Р0 = - примет вид Р2 Р( г, t) = P2t + : 1 2 P2t + Рі Построенная функция р(г, t) принадлежит классу C(T) и, следовательно, уравнение (1.2.2) является вторым дифференциальным уравнением Левнера - Ку-фарева. Объединяя вышеизложенное, сформулируем утверждение. Утверждение 2. Пусть 1) функции Рі (г), Р2 (г) е C, Ро = -; Р2 2) функция a2 определяется по формуле (1.2.5); 3) функции a1(г), а0(г) вычисляются по формуле (1.2.6) с учетом того, что 1 Ро = -. Р2 Тогда однозначная ветвь функции g(z,t) в (1.2.1) при a = 1 2 Р2 (о) с фиксиро ванным коэффициентом при г в первой степени в разложении g^,t) по степеням г регулярна и однолистна в E при каждом фиксированном t е T . З а м е ч а н и е. При Р1 Ро Р2 = Но е C имеем также р(г, t) е C(T). 1.3. Случай множества функций вида (2 3 \\ a ао (г) + a (г^ + a2t + a3t ) Построим биективные интегралы вида (1.3.1) w = g^,t) = fxak(г)к + aз(г)t3'] , a= * , I k=о ) 3 Рз(о) Реализация теории Левнера - Куфарева в вопросе построения параметрического множества 11 дифференциального уравнения , z X a'k (zyk + za3 (z)t3 p(z, t) . (1.3.2) zg z = _k=0_ „> 2 t X kak (z )tk 1 + 3a3( z )t2 k=1 Проблема сводится к построению функцииp(z,t) класса C(T). При za3 t л n - = P3(z) 6 C 3a3 (1.3.3) или при za3 = 3P3 (z)a3, (1.3.4) в результате интегрирования (1.3.4), имеем 3j P3( z)-P3(0) dz a3(z) = z3P3(0) e 0 z . (1.3.5) Пусть ak (z) = f Pk ( )a3 (z)dz, Pk 6 C, k = 0,2. 0 z (1.3.6) Откуда имеем zak = Pka3 . (1.3.7) Подставляя (1.3.4) и (1.3.7) в (1.3.2), с последующим делением на а3, выражение в правой части (1.3.2) приведем к виду Р( z, t) = X р/ + 3 P3t 3 k=0 (1.3.8) X k k=1 3 k_tk-1 + 3t2 Разделим числитель на знаменатель в (1.3.8) Po +XI Pk - kP3 -\\tk Р( z, t) = p^t + k=1 3t2 +X Ak-1 (1.3.9) Приравнивая к нулю выражение в скобках, получим соотношения k- = Pk-, k = 1,2. a3 P3 При условии (1.3.10), выражение в (1.3.9) примет вид Po (1.3.10) P( z, t) = P3t + 3t 2 + P2-1 + * P3 P3 О.В. Задорожная, В.К. Кочетков 12 или вид p( z, t) = P3t +-- 3 P3t + p2t + p а также вид p( z, t) = P3t + 1 3 P3t + P2t + P (1.3.11) 1 пРи Po = -. P3 Построенная функция p(z,t) в (1.3.11) принадлежит классу C(T). Объединяя вышеизложенное, сформулируем утверждение. Утверждение 3. Пусть 1) функции P (z), P2 (z), P3 (z) £ C, Po = - ; P3 2) функция a3 определяется по формуле (1.3.5); 3) функции a0,ax,a2 определяются по формулам (1.3.6), с учетом того, что 1 Po = -. P3 Тогда однозначная ветвь функции g(z,t) в (1.3.1) при а = 1 3 P3(0) с фиксиро ванным коэффициентом при z в первой степени в разложении g(z,t) по степеням z, регулярна и однолистна в E при каждом фиксированном t £ T . 1.4. Случай множества функций вида = g (z, t) = 1 X ak (z)tk + a4( z)t4 V k=0 Построим биективные интегралы вида а 1 w = g (z,t) = 1 X ak (z)t + a4 (z )t 4 I , a=“ ~ , V k=0 J 4 P4(0) дифференциального уравнения в частных производных , z X a'k (z)tk + za4 (z)t4 zg z _ k=o z £ E , (1.4.1) ■ = P( z, t). (1.4.2) X kak (z )tk 1 + 4a4( z)t3 k=1 Проблема сводится к построению функции p(z,t) класса C(T). При (1.4.3) za4 , ч п -- = P4 (z) £ C 4a4 Реализация теории Левнера - Куфарева в вопросе построения параметрического множества 13 или при za\\= 4 p4( z)a4 (1-4.4) в результате интегрирования (1.4.4) имеем 4|p4( z )- p4(0) dz a4(z) = z4p4(0) e 0 z . (1.4.5) Пусть ak (z) = f Pk ( )a4(z)dz, pk e C, k = 0,3. (1.4.6) 0 z Откуда za'k = pka4, k = 0,3. (1.4.7) Подстановкой (1.4.4), (1.4.7) в (1.4.2), с последующим делением на а4, выражение в правой части (1.4.2) приведем к виду X pktk + 4 p 44 p( z, t) = k=°-. (1.4.8) V k%k-1 + 4t3 k=1 a4 Делением числителя на знаменатель в (1.4.8) получим p0 + Vpk - kp4 -]tk p( z, t) = p4t +-k=i^-a^- . (1.4.9) 4t3 +V Ak-1 k=1 a4 Полагая равными нулю выражения в скобках в числителе (1.4.9), последующими арифметическими операциями находим соотношения k- = -^, k = 13. (1.4.10) a4 p4 При условии (1.4.10), выражение в (1.4.9) преобразуем к виду p( z, t) = p4t + _p0_ 4t3 + p312 + p21 + p p4 Pa pa или к виду p(z, t) = p4t +--p0-p4-, (1.4.11) 4 p4t + p3t + p2t + px 1 при p0 = - . p4 Функция p( z, t) в (1.4.11) принадлежит классу C(T). Объединяя вышеизложенное, сформулируем утверждение. О.В. Задорожная, В.К. Кочетков 14 Утверждение 4. Пусть 1) функции p (z), Р2 (z), Рз (z), p4 (z) £ C, p0 = - ; Р4 2) функция a4 определяется по формуле (1.4.5); 3) функции a0,a1,a2,a3 определяются по формулам (1.4.6) с учетом того, что 1 Тогда однозначная ветвь функции g(z,t) в (1.4.1) при а =- с фиксиро- 4 Р4(0) ванным коэффициентом при z в первой степени в разложении g(z,t) по степеням z регулярна и однолистна в E при каждом фиксированном t £ T . 1.5. Случай множества функций вида 1 w = g (z, t) = I X ak (z)tk + an (z)tn nPn(0) k=0 Построим биективные интегралы вида (1.5.1) (1.5.2) (1.5.3) (1.5.4) (1.5.5) (1.5.6) (1.5.7) w = g(z, t) = X ak (z)tk + an (z)tn, z £ E, t £ T k=0 дифференциального уравнения в частных производных n-1 , z X ak(z)tk + za'n(z )tn P(z, t) . zg z _ k=0 gt X kak (z)tk 1 + nan (z)tn 1 k=1 Проблема сводится к построению функции p(z,t) класса C(T). При zaa - = Pn (z) £ C nan или при za’n= nPn (z)an в результате интегрирования (1.5.4) получаем n jp„ (z)-pn (0) dz an (z) = z„p„ (0) • e 0 z . Пусть ak (z) = f p>k ( )qn (z)dz, pk £ C, k = 0, n -1. 0 z Откуда имеем za’k = pka4, k = 0, n -1. Реализация теории Левнера - Куфарева в вопросе построения параметрического множества 15 Подстановкой (1.5.4), (1.5.7) в (1.5.2) с последующим делением на ап выражение в правой части (1.5.2) приведем к виду п-1 nPntn + Z Pk{k + Po P( ^t) =-n1- (1.5.8) nt n-1 k ,k-1 k=1 a4 Делением числителя на знаменатель в (1.5.8) получим a a n-1 Zl Pk - kP4JT |tk + Po P(z, t) = Pnt + - = ntn +Z k-tk (1.5.9) Приравнивая к нулю выражения в скобках в числителе (1.5.9), с последующими арифметическими операциями, находим соотношения k^ = Pk-, k = 1, n -1. an (1.5.10) При условии (1.5.10), выражение в (1.5.9) преобразуем к виду Po P( ^t) = Pnt + ntn-1 +Z P^tk-1 k=1 Pn Откуда умножением на Pn числителя и знаменателя последнего выражения, 1 полагая p0 = -, будем иметь Pn Р( ^t) = Pnt + 1 npntn-1 +g Pktk-1 (1.5.11) k=1 Функция p( z, t) в (1.5.11) принадлежит классу C(T). Объединяя вышеизложенное, сформулируем общее утверждение. Утверждение (общее). Пусть 1) функции pk (z) e C, k = 1, n e C, p0 = -1; Pn 2) функция an определяется по формуле (1.5.5); 3) функции ak,k = 0,n -1 определяются по формулам (1.5.6) с учетом того, 1 что р0 = - . Pn Тогда однозначная ветвь функции g(z,t) в (1.5.1) при а = - 1 с фиксироnPn (0) ванным коэффициентом при z в первой степени в разложении g(z,t) по степеням z, регулярна и однолистна в E при каждом фиксированном t e T . О.В. Задорожная, В.К. Кочетков 16 § 2. Подмножество функций типа Базилевича с фиксированной выпуклой функцией и некоторые его свойства Обозначим через: В - ненормированное в Е множество функций вида ]p(z)± dz g (z) = I h(z )e0 z dz (2.2.1) где h(z) e C, p(z) e P; Вф - множество функций g (z) e B с фиксированной производной ф'( z) = e0 ]?^dz (2.2.2) выпуклой функции ф( z) = | e0 dz. (2.2.3) Заметим, что записанная как определенный интеграл функция g(z) в (2.2.1) может быть представлена как неопределенный интеграл в виде (2.2.4) rh(z) Idz g (z) = I-- e z dz . z Аналогично, в случае (2.2.2) имеем I Ж dz e z ф'( z) =-. (2.2.5) z Запись в виде (2.2.4), (2.2.5) удобна при выкладках. Приведем доказательство однолистности функции g(z) в (2.2.1), отличное от ранее известных вариантов. Теорема 2.1. Пусть h(z) e C, p(z) e P. Тогда функция g(z) вида (2.2.1) регулярна и однолистна в E. Доказательство. Пусть w = ф^): E ^ Dw есть выпуклая функция вида (2.2.3), отображающая единичный круг E = {z :| z |< 1} на выпуклую область Dw. Так как функция w = 9(z) однолистна в Е, то существует обратная функция z = ф-1 (w): Dw ^ E , которая определена и однолистна в выпуклой области Dw. Пусть точкам z1, z2 e E, z1 Ф z2 соответствуют точки w1 = ф(z1) e Dw, w2 = ф(z2 ) eDw , W1 Ф w2 . Обратно, точкам w1, w2 e Dw, w1 Ф w2 соответствуют точки z1 = ф-1^), z2 = ф-1 (w2), z1 Ф z2 (в силу однолистности). С учетом (2.2.1), (2.2.2) рассмотрим разность при z1 Ф z2, z1, z2 e E , W2 g(z2) - g(^) = | h(ф_J (ф)Уф. (2.2.6) w1 Реализация теории Левнера - Куфарева в вопросе построения параметрического множества 17 В силу регулярности подынтегральных функций, интеграл в правой части (2.2.6) не зависит от пути интегрирования в Dw, а зависит только от концевых точек wj, w2, соответствующих zj, z2. В качестве пути интегрирования в Dw возьмем отрезок с концевыми точками wj, w2: w(t) = (1 -1)wj + tw2, 0 < t < 1. (2.2.7) Заметим, что w(0) = w1, w(1) = w2 и dф = dw(t) = (w2 -w1)dt. (2.2.8) С учетом (2.2.7), (2.2.8) выражение в (2.2.6) перепишется в виде 1 g (Z2) - g (Zj) = (w2 - Wj) I h(t )dt. (2.2.9) 0 Так как по условию h(z) e C , то Re[h(z)] > 0 в Е (по определению). В этом случае Re[h(z)] > 0 и, следовательно, правая часть в (2.2.9) отлична от нуля. В силу этого, с учетом (2.2.9), имеем g(z2) -g(zj) * 0,g(z2) * g(zj) , при любых zj, z2 e E, zj *z2, а это означает, что функция g(z) вида (2.2.2) однолистна в Е. Теорема 2.L доказана. Линейность класса Bф Известно, что в общем случае класс однолистных функций не является линейным множеством, что является препятствием при решении некоторых экстремальных задач геометрической теории функций комплексного переменного, теории однолистных функций и конформных отображений. Поэтому указание и исследование линейных подклассов класса однолистных функций представляет научный интерес. Теорема 2.2. Класс Вф является линейным подмножеством. Доказательство. Пусть gj (z), g2 (z) e Вф, сь с2 - произвольные неотрицательные числа. Рассмотрим z z z Cjgj (z) + c2g2 (z) = Cj I pj (z)dФ + c21 p2 (z)dф = I (Cjp (z) + c2p2 (z))dф. (2.2.Ш) 0 0 0 Полагая Cj pj( z) + C2 P2 (z) = p( z), (2.2.П) имеем p(z) e C. В этом случае, с учетом (2.2.П), правая часть в (2.2.Ш) принадлежит классу Вф. Следовательно, левая часть тоже принадлежит классу Вф, что означает линейность множества Вф. Теорема 2.2 доказана. Следствие 1. Сумма П g(z) = X ckgk(z), ck > 0, z e E , k =0 функций gk (z) e Вф, k = 0, п , является функцией класса Вф. О.В. Задорожная, В.К. Кочетков 18 Следствие 2. Сумма сходящегося в Е ряда ад _ g (z) = S ckgk (z x ck ^0 k=°>ад , k=0 функций gk (z) e By, k = 0, ад , является функцией класса Вф. Следствие 3. Сумма П g(z, t) = S ckgk(z)tk ,0 < t < t0 0, k=0 функций gk (z) e By, k = 0, п , является функцией класса Вф при каждом t, 0 < t < t0 < ад . § 3. Альтернативные методы построения однопараметрического множества С з V* однолистных функций вида w = g(z, t) = Для функции вида Ч к=0 akt (3.3.1) w = g(z, t) = S aktk Ч k=0 составим соотношение где zgz _ k S za'ktk ■ = p( z, t), 5 = S kaktk 1 . k=1 (3.3.2) (3.3.3) Проблема состоит в построении функцииp(z,t) класса C(T). Полагая za3 3a3 = Рз e C, za2 - 2a2P3 3 a = P2 e C , za[ - a1 p3 - 2a2 p2 = a . za0- ai p2 = b , (3.3.4) (3.3.5) (3.3.6) (3.3.7) делением числителя на знаменатель в (3.3.2) получим, с учетом (3.3.3), (3.3.6), (3.3.7), p(z,t) = p3t + p2 + aa + b . (3.3.8) Реализация теории Левнера - Куфарева в вопросе построения параметрического множества 19 Очередная проблема состоит в построении функции (3.3.9) (3.3.10) (3.3.11) (3.3.12) . . at + b Pi(z,t) =s класса C(T) при a^0, ЬФ0. Рассмотрим сначала выражение в (3.3.8) при a = 0, b = 0. При a = za[ - ax p3 - 2a2 p2 = 0 ; b = zd0 - ax p2 = 0 выражение в (3.3.8) перепишется в виде ZgL = P3t + P2 6 C(T). St В данном случае уравнение (3.3.2) в виде (3.3.12) является уравнением Левнера - Куфарева. Функции a3(z),a2(z),a1(z),a0(z) в (3.3.1) определяются простейшим интегрированием выражений в (3.3.4), (3.3.5), (3.3.10), (3.3.11). Пусть теперь выражения a и b отличны от нуля a Ф 0, b Ф 0. Проблема построения функции класса C(T) в случае функции pt(z, t) = at + b s решаема и имеет несколько вариантов. В обзорной форме укажем один из них. Преобразуем А( z, t) =-^. (3.3.13) at + b Делением s на at+b и введением новой функции Нх 6 p построим выражение вида s , at + В = hjt + - и at + b at + b (3.3.14) Делением at + в на at + b , преобразованием и введением новых функций h2,h3,h4 6 p строим с учетом (3.3.14) выражение вида s = ht + h2 + 1 at + b Подставляя (3.3.15) в (3.3.13), получим А( z, t) =h3t + h4 (3.3.15) 1 ht + h2 + - 1 (3.3.16) h3t + h4 Таким образом, выражение (3.3.8), с учетом (3.3.16), запишется как 1 p( z, t) = p3t + p2 +ht + h2 + 1 h3t + h4 О.В. Задорожная, В.К. Кочетков 20 Замечание. В дополнение к сказанному, заметим, что конструирование p1(z,t) в (3.3.9) можно рассмотреть в случае, когда a = 0, b Ф 0, получим Pi(z, t) = b, s а также в случае, когда a Ф 0, b = 0, k > 0, . . at + b k и также в виде pl (z, t) =-=s hlt + h2 где hj, h2 e P, a Ф 0, b Ф 0.

Скачать электронную версию публикации