Variational simulation of the spectral problem.pdf Целью работы является приближенное решение спектральной задачи. Задачи, описываемые системами дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка, не имея точного решения, требуют применения методов приближенного анализа. Значительным упрощением исходного уравнения является близкое к нему уравнение более низкого порядка. Так, для уравнения с малым параметром ц при старшей производной, применяя асимптотический метод [1, 2], можно иметь решение, близкое к решению исходной задачи уже из задачи нулевого приближения, которое является частью формального асимптотического разложения Hw = H 0 w0 +|д(Н0 w1 + H 1 w0) +..., (1) в котором H0 W0 - W01V + 2q2 f"(w 0)" + q4(q4 -X0 + f"2^. (2) Обыкновенное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка (2) является нулевым приближением задачи о колебании цилиндрических и близких к ним оболочек [3]. Исходная система имеет восьмой порядок и является системой дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнение (2), являясь обыкновенным дифференциальным уравнением, имеет четвертый порядок и содержит несколько параметров. В частности, функция f определяет отклонение от прямолинейной образующей цилиндра, Х0 - нулевое приближение параметра частоты, значение которого и является решением спектральной задачи. Как уравнение четвертого порядка уравнение (2) можно решать разными способами. При некотором соотношении параметров можно получить даже точные решения, которые, впрочем, могут иметь громоздкие выражения. Имея ввиду получение явной формулы для собственных значений Х0, перейдем от задачи дифференциальной (2) к задаче вариационной. Однако соответствующих формул для функционала и его вариации в явном виде выписывать не будем, предполагая использование вариационного уравнения Галеркина [4-7]. Е.А. Молчанова 34 В соответствии с этим умножим обе части (2) на функцию w0 (x) и проинтегрируем по x е [0, l]. Получим уравнение, выражающее вариационный принцип возможных перемещений (3) I w0 H0 w0 dx = 0. Применяя в (3) к вычислению интеграла способ интегрирования по частям и разрешая полученное выражение относительно искомого параметра Х0, получим t п l п (w0IVw0 - w0w0 )| 0 + | w0 2 dx + X0 = q +" q41W02 dx 0 i l i I (f 'Ц)" W0dx -1w02dx + W0 W 10 I f"2 w0dx + -1 -+ H-. (4) q21w 02 dx | W02 dx 0 0 Для завершения вывода формул надо подставить в (4) функции w0 (x) и f (x). Функция f (x) задается, а функция w0 (x), являясь нулевым приближением исходной задачи, выбирается в известном смысле произвольно, но в соответствии с вариационным уравнением Галеркина обязательно должна удовлетворять граничным условиям. Для простоты далее считаем функцию f (x) квадратичной, тогда вторая производная f" (x) = const. Зададим, например, граничные условия (5) W (0) = W0 (1) = 0, W0 (0) = W0 (1) = 0. Выберем функцию w0( x) = sin2 n(n /1) x, удовлетворяющую граничным условиям. Подставим W0 (x) в выражение (4) и после вычисления входящих в него интегралов получим Х0 = q4 + [(16/3)(nn/ql)4 -(8/3)(f"/q2(nn/1)2 + f"2)]. (6) Полученная формула является приближенной, так как выбранная функция w0 (x), точно удовлетворяя граничным условиям, дифференциальному уравнению (2) удовлетворяет приближенно. Аналогично для граничных условий w0 (0) = w0 (0) = 0, w0 (1) = w0 (1) = 0 при помощи функции получим w0 (x) = sin(nn /1) x + sin(nn / 2i) x X0 = q4 + [(41/16)(пт/ql)4 -(5/2)f"(пт/ql)2 + f"2)]. (7) n n Для граничных условий w0 (0) = w0 (0) = w0 (1) = w0 (1) = 0 , используя функцию w0( x) = sin(nn /1) x, получим (8) X0 = q4 + [(nn / ql)2 - f"]2. Вариационное моделирование спектральной задачи 35 В отличие от предыдущих граничных условий принятая здесь собственная функция w0(0) точно удовлетворяет и граничным условиям, и дифференциальному уравнению (1). Если в полученных формулах положить f" = 0 , то будем иметь частотные параметры чисто цилиндрических оболочек. Формулы (6) - (8) удобны для анализа зависимости основного параметра Х0 от параметра кривизны f" и параметра волнообразования q . Дифференцируя (8) по f , получаем равенство 5Х0 / df " = 2[(nn / ql)2 - f "]2, из которого определяются значения параметра f " = (nn / ql)2, такие, которые доставляют минимум Х0, а уравнение (2) приводится к известному балочному уравнению [3]. На рис. 1 изобразим две зависимости Х0 от f "(x) при фиксированных q = 2, l = 3 по формуле (8). Штрих-пунктирная кривая соответствует значению n = 1, сплошная - значению n = 2. Из рисунка видно, что обе кривые достигают минимум на одном и том же уровне Х0 = q4, обозначенном горизонтальной пунктирной линией. 10 _І_і_і_і_і_і_і_і_і_I_і_і_і_і_I_і_і_і_і_I_і_і_і_і_L -5 0 5 10 15 f" Рис. 1. График зависимостей собственного значения Х0 от f"(x) по формуле (8) при фиксированных значениях q = 2, l = 3 Fig. 1. Graph of dependencies of eigenvalues X0 with f(x) by formula (8) at fixed values q = 2, l = 3 Явные формулы (6) - (8) удобны для исследования зависимости Х0 от параметров. Так, например, из формулы (6) можно установить значения (здесь постоянной) кривизны f "(x), такие, при которых Х0 достигает минимума 4 3 nn ql . 4 + 32 (nn']4 и далее А0 = q + I I 9 ^ ql ) (9) Подобные результаты можно получить менее наглядным путем прямо из (2). Действительно, продифференцируем (2) по f "(x), полагая w0 = w0 (x, f "), f "(x) = const. Так как полученная производная Е.А. Молчанова 36 то условие существования минимума функции Х0 (f") выражается равенством f w0 H0 -0 dx + f w0-0 w0 dx = 0 при -0 = 0. (11) J 0 0 Qf J 0 df" 0 df' В силу самосопряженности оператора Н0 с граничными условиями (5) первый интеграл в (11) равен нулю. Тогда \\ дН0 дХп f w0 ~д^Г w0dx = 0 при dF = °’ () 0 df df что равносильно уравнению і f w0( w0 + q2 f V0 )dx = 0. (13) 0 Подставляя сюда выбранную функцию w0 (x) = sin2 (п /1)kx, получаем снова, как в (9), значения f"(x) и далее из (2) значения Х0. На рис. 2 изобразим две зависимости Х0 от f"(x) по формуле (6) при фиксированных q = 2, і = 3 . Штрих-пунктирная кривая соответствует значению n = 1, сплошная - значению n = 2. Из рисунка, так же, как и из формул (6), видно, что значение минимума Х0 зависит от номера n, увеличиваясь с ростом n. 150 - 100 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1.5 2.0 2.5 3.0 f'' Рис. 2. График зависимостей собственного значения от f''(x) по формуле (6) при фиксированных значениях q = 2, і = 3 Fig. 2. Graph of dependencies of eigenvalues with f(x) by formula (6) at fixed values q = 2, і = 3 0-1- 1.0 Таким образом, имеем следующие результаты: из построения вариационной модели получены приближенные формулы для нулевого приближения собственных значений и собственных функций спектральной задачи. Явные формулы являются удобным инструментом анализа многопараметрических зависимостей. В частности, дифференцируя по параметру, можно производить исследования на экстремум. При необходимости можно строить области изменения параметров.

Скачать электронную версию публикации