Boundary state method in solving torsion problems for transversely isotropic bodies of revolution.pdf Большинство задач кручения для анизотропных тел решаются с использованием принципа Сен-Венана, т.е. характеристики напряженно-деформированного состояния вблизи мест приложения нагрузок в рассмотрение не берутся. Однако для расчета напряжений для проверки прочности материала на различные виды поверхностного разрушения необходимо иметь точную картину распределения напряжений вблизи поверхности тела. Задачи кручения в механике твердого тела изучены в полной мере. В области решения задач для усложненных сред, можно выделить следующие работы. Так, авторами [1] исследовалась задача кручения радиально-неоднородной транстроп-ной оболочки. Асимптотические решения получены с помощью метода однородных решений. В работе [2] представлены соотношения теории трансляционной анизотропии при кручении. Исследовались деформации тела. Задачам кручения для неоднородных, нелинейных и слоистых тел посвящен ряд работ. Так, в [3] получено аналитическое решение задачи о действии крутящего момента и осевой силы на цилиндрически ортотропный цилиндр. Авторами [4] проведено исследование распределения напряжений в задаче кручения для сплошного нелинейного цилиндрически ортотропного цилиндра с зажатыми торцами. В работе [5] рассмотрена осесимметричная контактная задача о кручении штампа о транстропное полупространство с неоднородным покрытием. С помощью интегральных преобразований задача сводится к решению интегрального уравнения. В [6] приведены основные соотношения теории идеальной пластичности при кручении анизотропных призматических и цилиндрических стержней. Конечно-элементное представление решения просматривалось в следующих работах. Авторы [7] численно исследовали кручение сплошных круговых анизотропных цилиндров, вырезанных из сплавов с пониженной сопротивляемостью деформациям ползучести. Моделирование показало, что возникает депланация 1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Липецкой области в рамках научного проекта № 19-41-480003 "р_а". Д.А. Иванычев 74 поперечных сечений. Также рассмотрено кручение пластин. В работе [8] с помощью МКЭ разработан алгоритм, позволяющий определять НДС многослойных стержней произвольного сечения при кручении. Рассмотрены задачи деформирования стержней ромбовидной формы и формы компрессорной лопатки. Для трансверсально-изотропных тел вращения методом граничных состояний решены осесимметричные краевые задачи с участием массовых сил [9-11]. Решение строится на основе вариационного принципа Лагранжа. Полученные упругие поля одновременно удовлетворяют условиям на поверхности тела и массовым силам. Целью данной работы является развитие метода граничных состояний на класс задач кручения ограниченных трансверсально-изотропных тел вращения. В качестве скручивающих условий на границе тела задаются усилия (первая основная задача), перемещения (вторая основная задача) и усилия или перемещения на разных частях границы (основная смешанная задача). 1. Постановка задачи Рассматривается упругое равновесие трансверсально-изотропного тела, ограниченного одной или несколькими коаксиальными поверхностями вращения под действием скручивающих условий: поверхностных усилий pvi = {0, рѲ ,0} (рис. 1), Рис. 1. Трансверсальноизотропное тело вращения Fig. 1. Transversely isotropic body of revolution перемещений точек границы vvi = {0, v,0} или когда на одной части поверхности Sp заданы усилия, а на части поверхности Su - перемещения. Заданные условия не зависят от угла Ѳ в цилиндрической системе координат r, Ѳ , z . Ось анизотропии совпадает с геометрической осью вращения z. В первой основной задаче усилия на поверхности тела могут быть распределены по различным законам, но должны быть уравновешены в интегральном смысле. Необходимо восстановить напряженно-деформированное состояние, возникающее в теле под действием внешних факторов. 2. Определяющие соотношения В случае кручения трансверсально-изотропного тела вращения происходит только депланация меридиональных сечений, перемещения точек тела вдоль осей r и z не происходит: u = {0, v,0}, поэтому компоненты тензора напряжения стг, стѲ , ctz , Tzr и компоненты тензора деформации er, еѲ, еz, уzr равны нулю. В связи с этим определяющие соотношения [12] для транстропной среды упрощаются. Компоненты упругого поля (не зависят от угла Ѳ ) при отсутствии объемных сил должны удовлетворять следующим соотношениям. Уравнение равновесия: dz dr = 0. r (1) Метод граничных состояний в решении задач кручения 75 Соотношения Коши: Y гѳ = dv_ dr v dv ; Y zѲ = д r dz (2) Уравнения совместности деформаций: d { 1 d{r&zѳ) ) + ±_ d_{r2 д&гѳ 2 dr dr dr j r d {1 ds r dz ->zѲ d 2s гѲ dz = 0; (3) dr dz2 = 0. Обобщенный закон Гука: 1 1 YгѲ =ТГтгѲ ; Yzѳ =-■т G, G„ zѲ • (4) Здесь v - компонента вектора перемещения u вдоль оси Ѳ ; yгѲ , Yѳ ~ компоненты тензора деформаций; тгѲ , тЛ - компоненты тензора напряжений; Gr и Gz -модули сдвига в плоскости изотропии и перпендикулярной к ней. 3. Метод решения Для решения задачи кручения используется метод граничных состояний (МГС) [13]. Основу метода составляют пространства внутренних Н и граничных Г состояний H = fe>|г,5з>...>\\k>...} ; Г = {Y1>Y2>Y3>...>Yk>...}. Внутреннее состояние определяется наборами компонент вектора перемещений, тензоров деформаций и напряжений (индекс k в правой части перенесен наверх) ik = u, 4,4}. (5) Скалярное произведение в пространстве Н внутренних состояний выражается через внутреннюю энергию упругого деформирования. Например, для 1-го и 2-го внутреннего состояния тела, занимающего область V (І1, І2 ) = J 4 jV ; (|„ І2 ) = (І2,І1) =/s14} dV = J 4 4}dV . (6) V V V Граничное состояние Yk определяется наборами компонент вектора перемещения точек границы ui и поверхностными усилиями p Yk = {uk, pk}; pk =4]n], (7) где nj - компонента нормали к границе. В пространстве граничных состояний Г скалярное произведение выражает работу внешних сил по поверхности тела S, например для 1-го и 2-го состояний: Сь Y2) = J p)uІdS ; (Yl, Y2) = (Y2, Y1) = J p1 ui2dS = J piudS . S S S Д.А. Иванычев 76 Пространства внутренних и граничных состояний являются гильбертовыми и сопряжены изоморфизмом. Каждому элементу |k еН взаимно однозначно соответствует единственный элемент уk е Г. Это позволяет поиск внутреннего состояния свести к построению изоморфного ему граничного состояния. Основную сложность формирования решения в МГС составляет конструирование базиса внутренних состояний, который опирается на общее или фундаментальное решение для среды, также возможно использование каких-либо частных или специальных решений. После построения базиса внутренних состояний, методика которого описана ниже, проводится его ортонормирование, используя рекурсивно-матричный алгоритм ортогонализации [14]. Алгоритм реализует процесс ортогонализации Грама - Шмидта, в котором перекрестные скалярные произведения вычисляются по формуле (6). Алгоритм автоматически удаляет нулевые и линейно-зависимые элементы исходного базиса и формирует ортонормированный базис внутренних состояний, для которого (|;, |j) =Sj (5j - дельта Кронекера). Ортонормированный базис Г редуцируется из ортонормированного базиса внутренних состояний, используя предельный переход к границе тела для перемещений и выражения (7) для усилий на границе. Окончательно, проблема сводится к разрешающей системе уравнений относительно коэффициентов Фурье, разложения искомых внутреннего | и граничного Y состояний в ряд по элементам ортонормированного базиса: Р; = X ckPf;u; = X ckuf; = X ck; ey = X ckЩ . (8) k=1 k=1 k=1 k=1 Если на поверхности тела заданы скручивающие усилия (первая основная задача), то коэффициенты Фурье ck определяются из выражения (9) ck =|Рѵі ukdS ; k = 1,2,3...N , k где pvi - компоненты заданного вектора усилия на границе и uf - вектор перемещения в k-м базисном элементе пространства граничных (7) состояний. Кручение тела вращения можно обеспечить и заданием перемещения точек границы тела (вторая основная задача). В этом случае коэффициенты Фурье рассчитываются так: Ck =j иѵіРІ dS , (10) S k где Uvi - компоненты заданного вектора перемещения на границе тела; Р; - компоненты вектора усилия в k-м базисном элементе пространства граничных (7) состояний. Если на части поверхности Sp тела заданы усилия рѵЛ, а на другой части Su перемещения uvi (основная смешанная задача), то возникает необходимость в решении системы алгебраических уравнений [15]: Pm = j Р u™dSp + j py\\dSu ; В = [Pm]NyN ; (11) Sp Su Метод граничных состояний в решении задач кручения 77 am = 2 I PviUTdSp + 2 I PiUvidSu ; A = [am к , Sp Su где B - матрица коэффициентов plm ; А - матрица-столбец коэффициентов am . Матрица-столбец коэффициентов Фурье C = {ck }N рассчитывается так: C = B-1A. Во всех задачах тестирование коэффициентов Фурье осуществляется подстановкой одного из базисных элементов с соответствующими ГУ в качестве заданного, при этом должны выполняться условия cn = 1, n - номер тестируемого элемента, остальные коэффициенты Фурье должны равняться нулю. 4. Формирование базиса внутренних состояний В работе [12] методом интегральных наложений установлена зависимость между пространственным напряженно-деформированным состоянием упругого трансверсально-изотропного тела вращения и некоторыми вспомогательными двумерными состояниями, компоненты которого зависят от двух координат z и y (переменных). Ось п перпендикулярна плоскости zy. В задаче кручения, где происходит только депланация меридиональных сечений тела вращения, в качестве вспомогательных двумерных состояний используется депланация плоских сечений трансверсально-изотропного тела [12]: иП = -Re[l 9зФз fe)]; тР = Re[l Y3Ф3 fo)]; ТУРП = -МФ3 fo)], (12) pl где ип - компонента вектора перемещения плоского вспомогательного состояния вдоль оси п; q3, Y3 - комплексные константы: y3 =-JG~Tg~ , q3 =-1/Gr; q3 = z / y3 + iy ; функции ф(q) - аналитические по своим переменным. Базисный набор плоских вспомогательных состояний (12) можно сконструировать, последовательно придавая аналитической функции ф3 (q3) следующие значения: Ф3 (^3 )e{qn, iqn,...}, n = 1,2,3,...А. Переход к трехмерному состоянию осуществляется по формулам л П 1 П 1 п v=_Іup cos Р dP; тгѳ =- Iт РП cos2P dP; ^ѳ = -|трcos Р dP; y=r cos P. П 0 П 0 П 0 Совокупность всех пространственных состояний образует конечномерный базис внутренних состояний (5). 5. Решение задач Первая основная задача Исследуем упругое равновесие трансверсально-изотропного тела в форме усеченного конуса (рис. 2) из горной породы алевролита крупного темно-серого [16]. После процедуры обезразмеривания параметров задачи (с масштабным коэффициентом п* = 105 кгс/см2), аналогия которой представлена в работе [17], упругие Д.А. Иванычев 78 характеристики материала составили: Ez = 6.21; Er = 5.68; Gr = 2.29 Gz = 2.55 ; vz = 0.22 ; vr = 0.24 . На поверхностях S3 и S4 зададим распределенные усилия, различающиеся по форме (рис. 2). Рѳ = 0, S1 ^ S2; Рѳ = 33r2, S3| z = 1,0

Скачать электронную версию публикации