Algorithmization of the solution of dynamic boundary value problems of the theory of flexible plates taking into account.pdf Известно, что большинство задач о гибких пластинах решены в постановке Феипля - Кармана являются частным случаем задач теории Лява. Поэтому построение автоматизированной системы полного расчета гибких пластин с заданной степенью точности является актуальной задачей. Разрабатываемые алгоритмы должны удовлетворять ряду требований, ориентированных на расчет достаточно широкого класса конструкций в различных условиях. Это возможно лишь в том случае, если в основу алгоритмов закладываются достаточно общие механические модели и достаточно разносторонние математические методы, такие, как, например, метод конечных разностей, метод конечных элементов и т. д. Среди многочисленных теорий оболочек, отличающихся по сложности, обладающих различными границами применимости, выделяется нелинейная динамическая теория типа Тимощенко, учитывающая эффекты деформации поперечного сдвига и инерции вращения. В связи с этим, методы динамического расчета пластин как в классической линейной, так и в геометрической нелинейной постановке задачи постоянно усовершенствуются. Проблемы создания автоматизированной системы вывода и решения уравнений теории упругости и пластичности впервые сформулированы в монографии В.К. Кабулова [2]. В этой работе рассмотрены основные задачи алгоритмизации и указаны пути их смешанного решения. Задачи алгоритмизации решаются в четыре этапа. На первом этапе, в зависимости от геометрических характеристик объекта и физических свойств материала, выбирается расчетная схема данной модели. Второй этап связан с выводом исходных дифференциальных уравнений и соответствующих им граничных и начальных условий. Выбор вычислительного алгоритма и численное решение полученных уравнений составляют третий этап исследований. Четвертый этап завершается анализом полученных численных результатов, описывающих напряженно-деформированное состояние рассматриваемой конструкции [11]. Алгоритмизация решения динамических краевых задач теории гибких пластин 151 Выбор вычислительного алгоритма и численное решение сформулированных краевых задач составляют основной этап алгоритмизации. Таким образом в настоящей работе рассматриваются следующие вопросы: 1. Построение единой вычислительной схемы решения краевых задач динамического расчета гибких прямоугольных пластин с учетом сдвига и инерции вращения с использованием нелинейной теории Лява. 2. Разработка автоматизированной системы динамического расчета гибких пластин. 3. Апробация построенной автоматизированной системы. 4. Использование напряженно-деформированного состояния гибких пластин. 1. Уравнения движения прямоугольных пластин с учетом сдвига и инерции вращения Для вывода уравнений движения пластинки с учетом сдвига и инерции вращения при наличии соответствующих граничных условий используем наиболее удобный вариационный подход [1]. Рассмотрим движение материальной системы на произвольном отрезке от t0 до t1. Известно, что для различных траекторий движения точек системы между начальными и конечными положениями истинные траектории отличаются от других возможных траектории тем, что для истинных должно выполняться условие h I (5k -5n + 5w)dt = 0, (1) t0 где k - кинетическая энергия системы; п - потенциальная энергия и 5w - сумма элементарных работ внешних сил. Подставим выражения 8k, 5л, 5w из [1] в уравнение (1) (соответствующее принципу Гамильтона - Остроградского). Так как вариации 5м, 8ѵ и т.д., рассмат риваемые на функции z , произвольны, то мы придем к следующему уравнению. Уравнения движения с учетом сдвига и инерции вращения [1]: д 2м dt2 dNx дТ дх ду о.+5Ql+а дх ду дх дТ dNу + дх ду д 2v + Py-ph^Y = 0 у д^ ,, дw ,т дw Nx--+ Ny - х дх у ду Т ^ + ,\\'у ^ дх у ду д2 w +q-р h-r дt2 = 0, (2) дмх --+ дх дН ду Qx-р 12 дt2 = 0, дН дМ -+-дх ду h2 5^ 12 ді1 = 0, 152 А. Юлдашев, Ш. Т. Пирматов где Eh \\ды 1 (dw Л Nx =-- 1- ^1 - I + ц 1 -ц2 \\дх 2ѵдт) 1lT Eh \\ дѵ 1 (dw Лу 1 -ц2 \\ду 21 ду) (3) T Eh I ды + дѵ + дw дw 2(1 + ц) ^ ду дх дх ду Mx = D + цд^^.у My = D дх ду ■+ц ду дх H = D дх Qx = k2 Qy = k2 2 V ду Eh 2(1 + ц) V дх Eh (дw дw ^ + Ѵ х 2(1 + ц) \\.ду - + Ѵ у (4) (5) Подставляя (2), (3), (4) и (5) в (1) и вводя безразмерную величину [2], получим систему квазилинейных дифференциальных уравнений движения в перемещениях a --+a2дх2 дхду д2ы b -г+b дх2 дхду д 2ы д 2 w д2 w д 2 w ■ + Р| + а3 - + а4 дх2 + а5 --+ а6 ду2 дхду ду2 +b < + І4 д 2 w + b5 д2 w д2 w ду2 ду 2 + Ь6 дхду дх 2 + Р2 д2ы д 2 ѵ д 2 ѵ д 2 w 1 дх2 • + Со д 2 w д 2 w - + сзууу + С4 дхду ду2 дw дух у --+ С5--+ с 6--+ с7--+ q = w, дх ду дх ду (6) д2\\ух д2ух д2ух , д-w d1 . 2 + d2 д д + d3 . 2 + d4 д7 + d5'Vх = 'Ѵх дх дхду ду дх д2Ѵу д^у -Г + е2дх2 дхду + еdw 3-Г + е4 яу + e5V у = V у • ду2 ду Здесь 2 1+ц 1 -ц 2 д a-1 = п , а0 =--п, аз = --, a4 = п Y-, 1 2 2 3 2 4 дх 1+ Ц 1 -Ц 1 -ц2 2 а5 = -m аб =- УП-, р =-ТРх, 2 2 дх Ey Алгоритмизация решения динамических краевых задач теории гибких пластин 153 Ь5 = , 1 -ц 2 , 1+ ц , , , dw Ь1 = -n , b2 =-,n> b3 = 1 ь4 =^-, 2 2 dy 1 + ц 2 dw = 1 -ц 2 dw 1 -ц2 2 Уп dx ’ b 2 Yn dy ’ Р Eу2 P 2 i 21 -ц du dv ) ( du dv c1 = n \\k -у+ny-+m~yj>c2 =(1 ^njj-+yn- , 2 1 -ц du dv c3 = k--+ЦПУ + y_ dx dy c4 =П c5 =П УПd 2u 1 dx2 d 2v 1 -ц +цу^-+ dxdy d2u y d2v 1 -ц цѵ--+------- dxdy n dy2 2 2 Y d2u + Y П dy2 dxdy ( d2u Y--+Yn dxdy dx2 /J nk^ , k2(1 -ц) , 1 -ц2 , 2.1 + ц c6 =-2-(1 -цхc7 =-2- >q =~Bgq>d1 = n , d2 =-^> 2y 2y y2 E 2 d3 = ---, d4 = -6k2 --- n, d5 = -6k2 1 ?ц, ex = 1 ^цп2 Y Y 1 + ц ,,21 -ц ,, e2 =-n, e3 = 1, e4 = -6k -, e5 = -6k 2 2 1 -ц 2 Y Система уравнений (6) решается в области fQ = ( 0 < x < 1; 0 < y < 1) [T = (0 < t < tx) со следующими начальными и граничными условиями: Z It=0 = Z 0, Z It =0 = Z 0, Z = {U, v, w, Vx, Vy }• G = Qx T = NvSuv |r = 0, Tv5uv |r= 0, Mv5 dw 5v = 0, 2 Г (7’) (7) (8) tfvSw Ir= 0, MvSyx Ir= 0, Hv5vy Ir= 0.J Условия (8) для случая произвольной вариации 5uv , 5w на той части ГN контура Г , где заданы внешние нагрузки, приводят к равенствам Nv = Tv = Mv = Rv= 0, что соответствует свободному от внешних нагрузок краю. В общем же случае, когда на части ГN контура заданы внешние условия N^, Tv0, RV и моменты M,° , то могут быть получены условия, аналогичные (8), которые приводят к равенствам Hv ІГ = Nv0, Tv Ir = Tv0, Rv Ir = Rv0, Mv Ir = Mv0 • А. Юлдашев, Ш. Т. Пирматов 154 2. Интегрирования уравнений движения гибких прямоугольных пластин с учетом сдвига и инерций вращения Система уравнений (6) с начальными и граничными условиями (7) и (8) решается методом сеток в области (7’). G= QxT= hh = {0 < X Уі = Jh2, h1 = - , h2 = -, i = 0 N1, І = 0 N2. N1 -2 Пользуясь центральными разностными формулами, аппроксимирующими частные производные по x и у с точностью до второго порядка [3, 5], вместо уравнений (6) получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений [4]: aPv -1, j-1 + 42)мъ-1, j-1 + 44-1, j+j w-1, j+«y5)vi-1, j+1 + «y6)wi-1, j+1 + 4741 -1 + +48)wi, j-1 + аѴиі, j + a(/10) wi, j+^"Ч, j+1 + 412) wi, j-1 + aij13)vi+1, j-1 + aij4) wi+1,j-1 + +a(15) u + a(16) w + a(17) v +aij ui+1, j + aij wi+1, j + aij vi+1, j+1 1 “ij .(18) +a, w+1, j+1 + P1 = u, j; (9) Ч'Ч-1, j-1 + -1, j-1 + 44-1, j + 44-1, j + 44-1, j+1 + by6) Wi-1, j+1 + by7)vi, j-1 + +bf wi, j-1 + bfVi, j + wi, j + 4\\ j+1 + wi, j-1 + bf)ui+1, j + ^ wi+1, j- + +by15)Vi+1, j + by16) wi+1, j + by17)Mi+1, j + by18) wi+1, j+1 + p2 = Vz, j ; 4° wi-1, j-1 + 4Ч-1, j + Cf wi-1, j + j Xi-1, j + 44-1, j+1 + 44 j+1 + j wi, j-1 + +4} yi, j+1 + j wi, j + 410) vi, j+1 + 41} wi, j+1 + 42) yi, j+1 + 43) wi+1,j-1 +44) ui+1,j + +c(15) w + c(16) x + c(17) w + a = w * +сі/ wi+1, j + cij Xi+1, j + 4j wi+1, j+1 + q wi, j; j yi-1, j-1 + 44 -1, j + 4'> Xi-1, j + j yi-1, j+1 + j Xi, j+1 + j Xi, j + j Xi, j+1 + +dip Уі+1, j + 4} wi+1, j + j X-1, j + jy+1, j+1 = Xy; e() X + e(2) y + e(3 X + e(4) w + e(5) y + e(6) y + e(7) w + eij xi-1, j-1 + eij Уі-1, j^eij xi-1, j+1 + eij wi, j-1 + eij Уі, j-1 ^ eij Уі, j^^ij Wi, j+1 ^ +e(8) у + e(9) X + e(10) у + e(11) X = у ™ij Уі, j+1 ^ ^ij xi+1, j-1 ^ ^ij Уі+1, j+1 ^ ^ij xi+1, j+1 Уц* Здесь a? = a?' = -aij5' = -a$3’ = a,-a® = af> = -a™ = -a™ = as -f1; a?) = aij15) = a-,2; a(4> = a4 -,2; af> = a4 -Г, j = aj1) = a3N2; af = a(12) = a6 -22; af = -2(a1 -2 + 2a3 -2); j = -2(a4 -2 + a6 -22)' Алгоритмизация решения динамических краевых задач теории гибких пластин 155 bj = b17) = -b5) = -b13) = b N N2. b2) = b18) = -b(6) = -b14) = ь N N-, 4 ' v v v v J 4 bj = bj3 = b Nj; bj = bp = b6 Nj; bj = b(jj = b3 N; bj = b4 N-; bf = -2(bjNj + 2b3Nj); bj0 = -2(b4Nj + b6N-2); bf> = b4N j =-j = 2NN2; j = -f’ = c6Nj; j = cN + c„^ j = cN + c, N-;. j = c, N-;. j =-2cN + -2c1N: c(8) = c,N2 -c, -^; c,(,9) = -c. , N2; j = cj Nj2 - c4 NL; 7 2 1 j j 4 2 j =-4™=c2Nfl; =-4*'; 4'>=dj"> = -j =-j=A^ -df = dj = d4NL; -df = df> = d,N{; j = dd> = d,X; Nj N2 df = -2(djNj2 + d3Nl) + d,; ej = ejf = -ef = -ef = e ef = bf> = e,,V,2; -j = bf = e4 ^ j = j = e,N2; j = -2eiNi! -2e3-A2 + e,; a, =n4VL(wi*1.,-w,-1.,)• a6 = iJ,i j + M„,„2 N2 1 -Ц 2 УП -(w,.j+j -w,.j-j). a, =- Njyn(w,+j.j -w,-j.j). N j +u 2 Nj b5 = M^W.j+j-w,.i-j). b6 = “^“Yn ^(w,+j.j -wi-j.j). j -^„ 2 N2 b7 = -Yn -(wi. j+j - W. j-j). cj =n k2 j-M , n,N! 2 2 c2 = (j -K> nY -■1 N2 + nY-(ui+j.j -U.j-j) + MY“2“(v,.j+j -vi.j-j) N2 4 Nj, -(u,.j+j -Ui,j-j) + П^(ѵ,+і.і -ѵ,-і.і) £2a -m) N, . N2. c3 =-2-+ M^Y-(«i+j.j - U-j.i ) + ^^(vi. j+j - V. j -j) . c4 =П2 [ynNj2 (u , +j. j -2и,. j + u,-j. j) + ^^N2(Vi+j.j+i -v, +j. j-j -Vi-j. j+j +Vi-j. j-j) + і-m + ;t“Y 2 -,2 , 4 NN2, -(uij+j- 2u,j - щ,і-j)+-4-(у,+j.j+j - v,+j.j+j- v,-j.j+j N2 4 +v,-j. j-j) Применяя центральные разностные формулы со вторым порядком аппроксимации [3, 6] к условиям (11’), получаем x0,1 : 4 3 1,1 1 3 2,1 Ц N2 / +-NT (y0,1+1 П Nj - У0, 1 -1), = 4 = 3 xN1 -1,1 ' 1 -xN 3 N1 + Ц (y 2,1 +n Nj ^ , 1+1" _УЧ, 1 -1 4 1 , ц N2 / \\ Уі ,0 = - Уі ,1 -- Уі ,2 + --(xi+1,0 - Уі - 1,0 ), 3 3 n N/ , 4 1 ц N, / ! = 3 yi, N2 -1 - 3 ym 2- 2 +n Nj ^ + 1,N2" ~yi-1, N2 (11’) С5 =П ' , N N , Г(Ц-^(Ч 1 -ц ( N1 N. -Y i+1, j+1 Ui+1, j-1 + Ui-1,j+1 + Ui-1,j-1 N2 ) + - (V1.J +1 -2vi ,1 + Vi, j-1) - -(Ui+1,1+1 - U+1,1 -1 - U-1,1+1) + nN12 (vi+1,1 - 2v, 1 + vi-1,1) 2 Л 4 Начальные условия в этом случае приобретают вид \\1 \\t=0 = zh; \\1 = Р 1(z = {щ,1,vi, 1, wu, \\1 = vxо-, 1), ytJ = Vyo,1)}•) a0) В случае защемления контура должны выполняться условия z0,1 = 0 zNu 1 = 0, zi,0 = 0, Zi,N2 = °- (11) В случае шарнирного опирания необходимо выполнение условий (11) и, кроме того, 156 А. Юлдашев, Ш. Т. Пирматов Mx . = 0, при x = 0, Mx . = 0 при x = 1, x0,1 ’ r ’ XN1,1 r My, ,0 = 0, при y = 0, Myj,n2 = 0 при y = 1. (12) Таким же образом можно рассмотреть и другие граничные условия, которые получаются из (8). Учитывая соответствующие краевые условия (8), систему (9) представим в следующей матричной форме: Z = MZ, + g. (13) Здесь M= (B C 0 A2 B2 C2 0 A3 B3 0 C3 0 0 0 0 > 1 4^ jw 1 4^ yP 1 4^ О О 0 0 0 0 AN1 -3 BN1 -3 CN1 -3 0 0 0 0 0 0 AN1 -2 BN1 -2 CN1 -2 v0 0 0 0 О О > jw £ Алгоритмизация решения динамических краевых задач теории гибких пластин 157 a11 a12 0 a21 a22 a23 0 0 a32 a33 a34 0 0 aN2-3, N2 0 aN2 - 2, N2 aN2-2, N2aN2-1, N2-1 aN2 -1,N2 -1 у Bi = ( b11 b12 b13 0 0 Л b21 b22 b23 0 0 0 b32 b33 b34 0 0 bN2-3, N2 -3 bN2 -2, N2-2 bN2 -1, N 2 - V 0 bN2 -2, N2 - 2 bN2 -1,N2 у ( C C11 C12 0 0 Л C21 C22 C23 0 0 0 C32 C33 C34 0 0 CN2-3, N2 0 V У CN2 - 2, N2-2 CN2-2, N2 CN2 - 2, N2-2 CN2 -1,N2- ( g1 ( g1 ( P1 ' g2 g2 P2 gN1 -2 V gN1-1 J , gj = gN2-2 v gN2-1 у , g = /" О О ^ V op 0 ap 0 0 ^ ( a(3) V 0 j 0 0 j 0 j 0 0 0 bf bp 0 0 0 0 C(1) с-] 0 0 , ab j = C(2) c j 0 C(3) ci] j 0 0 0 0 0 dp 0 0 j 0 j 0 0 0 0 0 e(1) 0 у V0 0 e(2) ei] ( 0 a(5) -j j 0 0 ^ ( a(7) -j 0 a(8) -j 0 0 bf 0 bf 0 0 0 b7) CO . ' n2 n My =-(x,j+i-x.j-i)+^^2“(Уг+і,j -Уі-i,j^ Ni H=-^L( xi, j+i- x, j-i)+^2L( Уі+i, j- У'-i, j^ Ni Qx =Yn - (wz+i, j - W+i. j) + x, j, N Qy =^r(wi,J+i - wi.j-i)+y,j • Для решения системы (i3) с начальными условиями (7) можно применить симметричную формулу Рунге - Кутты четвертого порядка точности как в (i3): (i4) где Z = й Z = YZ + b 0 E Y = M 0 b = Cf -ii , Z | = Z0 Z I = Z0 Ai if=0 ^i ■> ^ii if=0 ^ii ■ С учетом (i5) уравнение (i4) решается по известной схеме: Zj = Z° + xaZII, ZII = Zjj + xaZII, zi = zi + TPZji , zii = zii + TPZii • Здесь Zj, Zu, Zj, Z0 - соответственно текущие и начальные значения, ZI , zii искомые функции, т - шаг по времени, а а, р - векторы константы, фигурирующие в схеме Рунге - Кутты [4-6]. После определения искомых функции методом Рунге - Кутты по формуле (i6) вычисляются расчетные величины по следующим формулам: YNi 25 YNi u, j+i- u-i, j + ^5"(w+i, j- w-i, j) i г и yN N2 Si2 = 25^N2 (uz,J+i -U,j-i) + YNi(vi+i,j -V-i,j )J+-2i5- (wi+i,j - wi-i,j)(wi,J+i - wi,J-l), N2 25 Vj+i - vij-i .N2 45 (W,.j+i - Wj-i) (i7) Yii =^lNi) (+i,j -2W,j + W-i,j), Yi2 = yN N2 45 2 [W-,1 ■ 1 - W 1 ■ 1 - W 1 ■ ,1 + w ^ z+i. j -i z -i, j-i z-i, j +i ' z -i,j-i), £ (> Y22 = Tf (W,j+i - 2W,j + w idj -i\\& -4ac ) • А. Юлдашев, Ш. Т. Пирматов 160 Т1 -Sn + Ц^22, Т2 - 822 + М811, Mii - -(Уіі + MY22)5 M22 - -(У22 + MY11X Mi2 - -Yi2- 3. Динамический расчет гибких прямоугольных пластин, защемленных по контуру Займемся исследованием динамического напряженно-деформированного состояния защемленных по контуру гибких прямоугольных пластин с учетом сдвига и инерции вращения, подвергающихся действию мгновенно приложенной равномерно распределенной нагрузки постоянной интенсивности. Поставленные задачи решаются при нулевых начальных условиях и следующих значениях параметров счёта: шаг сетки по пространственным координатам N1 - N2 -10; отношение ширины пластин к длине a / b - 1; отношение ширины пластин к толщине b /h - 50; шаг по времени ту - 0.00125 при решение задачи в линейной, а тнл - 0.00025 при нелинейной постановке, интенсивность нагрузки в - 400 . Результаты расчета представлены в виде графиков (рис. 1 и 2). w(1/2, 1/2, t) 103 M11(1/2, 1/2, t) Рис. 1. Прогиб (a), моменты (b, c) Fig. 1. (a) Deflection; (b, c) moments Из рис. 1, а видно, что безразмерный прогиб в центре пластины по линейной теории (кривая 1) достигает первого максимума Wy - 1.12 при t - 0.10 и второго ^л -1.15 при t - 0.27, а по нелинейной теории (кривая 2) первый минимум и’нл - 0.87 наблюдается при t - 0.07 ; а второй wнл - 0.88 при t - 2.2 . Пренебрежение нелинейными эффектами приводит к завышению оценок максимальных прогибов приблизительно на 30% (29% для первого максимума и 31% для второго). Алгоритмизация решения динамических краевых задач теории гибких пластин 161 Картина изменения во времени изгибающих моментов по нелинейной теории показана на рис. 1, b и с. На рис. 1, b представлена кривая изменения M22 в середине боковой стороны пластины (x = 1/2, у = 0), а на рис. 1, с кривая изменения M11 в центре пластины (х = 1/2, у = 1/2). Отметим, что максимальные значения изгибающего момента на контуре защемленной пластины приблизительно в 2.2 раза превосходят значения изгибающего момента в её центре. w(1/2, у, t) 102w(1/2, у, t) 6/ 105«(1/2, у, t) 104v(1/2, у, t) 8 d =0.035 =0.030 4 - _f=0.025 0 0.2 0.4 v 1 у 0.6 0.8 ^ -4 - -8 - 102 v(1/2, 7/10, t) 104 «(1/2, 7/10, t) Рис. 2. Прогиб (a, b), перемещение по оси Ox (c, f), перемещение по оси (d, e) Fig. 2. (a, b) Deflection, (c,f) movement along the Ox axis, and (d, e) movement along the Оу axis А. Юлдашев, Ш. Т. Пирматов 162 Серии графиков, приведенных на рис. 2, a-d, изображают распределения прогиба w (рис. 2, a и Ь) а также смещений u (рис. 2, с) и v (рис. 2, d) вдоль средней линий пластины х = 1/2 в разные моменты времени непосредственно вслед за мгновенным приложением к пластине равномерного нормального давления. Наблюдаемая картина соответствует распространению волн от защемленного края к центру. Следует отметить, что графики прогибов w, построенные на рис. 2, a для безразмерных времени t < 0,015 носят, по-видимому, довольно условный характер, поскольку сопоставление решений, полученных по теориям и по трехмерной теории упругости, показывает, что теории оболочек не дают достаточно правильной картины до того момента, когда возбуждение еще не распространилось по толщине пластины (в нашем примере этот период времени приблизительно t < 0,02). Графики на рис. 2, e и f отражают изменение во времени смещений в плоскости пластины, в точке х = 1/2, у = 7/10 несколько смещенной от центра к боковой стороне пластины. Отметим, что эти смещения имеют почти такой же период колебаний, что и прогиб w середины пластин (рис. 2, a). Данная задача решена и для N1 = N2 = 20 при одинаковых параметрах N = N2 = 10 . Полученный результат показывает, что при одинаковых амплитудах колебаний совпадают два десятичных знака, т.е. метод конечных разностей при вычислении почти сходится. Заключение Таким образом, основные результаты работы следующие: 1. Создание пакетов прикладных программ нормативных расчетов является временным компромиссным решением проблемы автоматизированного расчета и проектирования конструкции. Основой систем автоматизированного расчета и проектирования должны стать высокоэффективные специализированные машинные программы, построенные с использованием современных достижений механики и вычислительной математики, утвержденных в качестве нормативов. 2. Построена единая вычислительная схема решения краевых задач динамического расчета гибких прямоугольных пластин с учетом сдвига и инерции вращения методом конечных разностей. При постановке краевых задач в перемещениях использована нелинейная теория Вольмира, причем в динамических задачах учтены как нормальное, так и тангенциальные инерционные слагаемые уравнения движения. 3. Построена единая автоматизированная система полного динамического расчета гибких прямоугольных пластин с учетом сдвига и инерции вращения с произвольными начальными и граничными условиями. В основу системы положены стандартные программы образования и решения больших систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. 4. Разработанная программа апробирована в ходе решения ряда динамических задач о внезапном нагружении нормальным давлением плоских прямоугольных пластин, различным образом закрепленных по внешнему контуру. 5. Учет сил инерции вращения и сдвига, введенных Вольмиром, что приводит к уменьшению изгибных и к увеличению мембранных расчетных величин. 6. Установлено, что с увеличением степени нелинейности задачи уменьшается амплитуда изгибных расчетных величин и период колебаний пластин.

Скачать электронную версию публикации