Determinability of a completely decomposable rank 3 group by its automorphism group.pdf Пусть B e X, где X - некоторый класс абелевых групп. Мы будем говорить, что B определяется своей группой автоморфизмов в классе X, если из изоморфизма групп автоморфизмов Aut B и Aut B', где B' e X, всегда следует B = B'. Всюду ниже под X понимается класс всех вполне разложимых групп (без кручения). Данная статья служит продолжением работ [1, 2] и развивает некоторые идеи цикла работ Вильданова [3-6], посвященного вопросам определяемости абелевых групп их группами автоморфизмов в классе X и некоторых его подклассах. Напомним, что вполне разложимой группой ранга к называется всякая группа B, представляющая собой прямую сумму к групп ранга 1; известно (см.: [7, предложение 86.1]), что любые два таких разложения группы B изоморфны. Так как всякая группа ранга 1 изоморфна подходящей рациональной группе (т.е. ненулевой подгруппе аддитивной группы поля рациональных чисел Q), то для удобства сразу рассматриваем группы из класса X как прямые суммы рациональных групп. Результаты работы [6] позволяют указать необходимые и достаточные условия для того, чтобы 2-делимая группа B e X ранга 3 определялась группой Aut B в классе всех 2-делимых групп, принадлежащих X. В настоящей статье аналогичная задача решена уже для произвольных групп ранга 3 из класса X (не обязательно являющихся 2-делимыми). Через M(n, R), где R - некоторое кольцо с единицей, мы обозначаем кольцо матриц порядка n над R, а через GLn(R) - группу всех обратимых матриц этого матричного кольца. Символом ■ будет обозначаться конец доказательства (либо отсутствие доказательства). Пусть P - множество всех простых чисел. Для всякого множества L с P будем обозначать символом Q(L) то подкольцо поля Q, которое порождается элементом 1 и числами p1, где p e L. Хорошо известно, что все подкольца (с единицей) поля Q исчерпываются кольцами вида Q(L). Для группы Y ранга 1 через t(Y) обозначается тип этой группы (подробнее о типах см.: [7]). Пусть B - прямая сумма рациональных групп Y,, где i eI. Для i, j e I положим Tij = (a e Q | aY; с Yj}. Несложно установить следующие свойства: 1. Всякий гомоморфизм Yi ^ Yj представляет собой умножение на некоторое число a e Tj. Таким образом, (Tj, +) - абелева группа, изоморфная группе гомоморфизмов Hom(Yi, Yj). 33 Математика / Mathematics 2. Г,-,- = Q(L), где L - множество всех простых чисел p, таких, что pYi = Yi. При этом кольцо Г,, изоморфно кольцу эндоморфизмов E(Yi) группы Y,, а группа обратимых элементов U (Г,,) кольца Г,, изоморфна группе Aut Y,. 3. Ту Tjk с Г^ для любых i, j, к е I. 4. Если неравенство t(Y,) < t(Y) не выполнено, то Г= 0. 5. Если t(Y) < t(Yj), то Гу ф 0 и ^Г„) = t(Yj) : t(Y,). Нетрудно убедиться, что кольцо E(B) изоморфно кольцу конечно-столбцовых (I х І)-матриц (ау), jeI, таких что ау е Гу, при всех i, j е I (напомним, что матрицу называют конечно-столбцовой, если каждый ее столбец содержит лишь конечное число элементов, отличных от 0). Поэтому в дальнейшем будем отождествлять кольцо E(B) с указанным матричным кольцом. Ясно, что всякая рациональная группа изоморфна некоторой рациональной группе, содержащей 1. Договоримся сразу считать, что 1 е Y, при всех i е I; для всякого простого р будем обозначать р-высоту элемента 1 в группе Y, через h(p, i). В формулировке следующей технической леммы считаем, что да - да = да: Лемма 1. Пусть t(Y,) < t(Yr). Тогда: а) множество M = {р е P | h(p,j) < h(p, i) < да} конечно; б) группа Г у содержит натуральное число т, равное произведению выражений ph(p, г) - h(p,у) по всем р е M. При этом p-высота элемента т в группе Гу равна 0, если р е M, и равна h(p,у) - h(p, i), если p £ M. ■ Абелеву группу Y называем почти делимой, если pY = Y почти для всех p е P. Следующий результат для полноты изложения приведем с доказательством. Теорема 2 [8]. Если хотя бы одно из слагаемых Y, в прямом разложении группы B не является почти делимым, то существует группа B' е X, не изоморфная B и такая, что E(B' ) = E(B). Доказательство. Пусть для некоторого к е I слагаемое Yk не является почти делимым, т.е. множество L = {p е P | h(p, к) < да} бесконечно. Для всех i е I определим группу Zі с Q, такую что 1 е Zi и p-высота элемента 1 в Zi равна числу [ h(p,i), если p £ L, h (p,i) = < [h(p, i) + h(p, к) +1, если p е L. Для ij е I положим Q.y = {а е Q | aZ, с Zу}. Ясно, что условия h(p,у) + h(p, к) + 1 < h(p, i) + h(p, к) + 1 < да и h(p,у) < h(p, i) < да равносильных при любых i, у е I и p е L. Следовательно, условия h’(p, у) < h'(p, i) < да и h(p,у) < h(p, i) < да равносильны для всякого p е P. Так как при всехp е P равносильны также условия h'(p, у) < h'(p, i) = да и h(p, у) < h(p, i) = да, для любых і,у е I можно записать следующие эквивалентности: Гу ф 0 » t(Yi) < t(Y) ^ t(Zi) < t(Zj) » Qi,- ф 0. Зафиксируем произвольную пару i, у' е I, для которой t(Y,) < t(Y^) и t(Z,) < t(Z/). Легко видеть, что конечное множество M = {p е P | h(p,у) < h(p, i) < да} совпадает с множеством {p е P | h'(p,у) < h'(p, i) < да} и при всехp е M выполнено равенство h'(p, i) - h'(p,у) = h(p, i)- h(p,у). Кроме того, h'(p,у) - h'(p, i) = h(p,у) - h(p, i) для каждого p £ M. Применяя теперь пункт б) леммы 1, мы найдем натуральное число т, принадлежащее группам Гу и 0.у и имеющее в этих группах одинаковые p-высоты для всех p е P. Таким образом, 0.у = Гу. 34 Тимошенко Е.А., Третьяков И.В. Определяемость вполне разложимой группы ранга 3 Мы показали, что при всех i,j е I выполнено Qij = Гу. Поэтому для группы B', равной прямой сумме групп Zi по всем i е I, будем иметь E(B’ ) = E(B). С другой стороны, для всякого i е I множество {р е P | h'(p, i) > h(p, k)} = L является бесконечным, и значит t(Zi) Ф t(Yk). Поэтому B' и B не могут быть изоморфны, так как в противном случае прямое разложение группы B' в прямую сумму групп ранга 1 содержало бы слагаемое, изоморфное Yk. ■ Поскольку из E(B’ ) = E(B) вытекает изоморфизм Aut B' = Aut B, мы приходим к такому результату: Следствие 3. Если хотя бы одно слагаемое Yi в прямом разложении группы B не является почти делимым, то B не определяется своей группой автоморфизмов в классе X. ■ Если группа B е X имеет конечный ранг n, то можно взять I = {1, 2, ..., n}; при этом кольцо конечно-столбцовых матриц превратится в кольцо обычных квадратных матриц порядка п, элементы которых должны удовлетворять условию a,j е Гji. В этом случае E(B) оказывается подкольцом кольца M(n, Q), а матричная группа Aut B = U(E(B)) - подгруппой группы GLn(Q). Мы будем использовать следующий результат: Теорема 4 [6]. Если B = Yi Ѳ Y2 Ѳ ... Ѳ Yn и ни для какого i е {2, 3, ., п} не выполнено t(Yi) < t(Yi), то B не определяется группой Aut B в классе X. ■ Ранее была установлена Теорема 5 [2]. Группа B е X ранга 2 определяется своей группой автоморфизмов в классе всех вполне разложимых групп ранга 2 тогда и только тогда, когда B = Y Ѳ Y, где Y - почти делимая группа ранга 1. ■ Будем называть инволюцией всякую матрицу, у которой квадрат совпадает с единичной матрицей. Если группа B е X имеет конечный ранг n, то наибольшая мощность множества попарно коммутирующих инволюций, которое содержится в Aut B, равна 2n (см.: [3, 6, 9]). Если же ранг группы B е X бесконечен, то Aut B содержит бесконечное множество попарно коммутирующих инволюций (в качестве таких инволюций можно взять диагональные матрицы из E(B), на главной диагонали которых стоят только 1 и -1). Отсюда следует, что если B, B' е X и B имеет конечный ранг n, то изоморфизм Aut B' = Aut B возможен лишь тогда, когда и B' имеет ранг n. Таким образом, группа B определяется своей группой автоморфизмов в классе X тогда и только тогда, когда она определяется группой Aut B в классе всех вполне разложимых групп ранга n. В частности, теорема 5 описывает те группы B ранга 2, которые определяются группой Aut B во всем классе X. Перейдём к рассмотрению вопроса об определяемое™ вполне разложимых групп ранга 3 их группами автоморфизмов в классе X (или, что то же самое, в классе всех вполне разложимых групп ранга 3). Будем нумеровать слагаемые Yi таким образом, чтобы матрицы кольца E(B) были блочно-верхнетреугольными либо блочно-нижнетреугольными; критерии принадлежности таких матриц группе Aut B = U (E(B)) приведены в [6, 9]. Мы выделим пять случаев. I. Пусть B = Yi Ѳ Y2 Ѳ Y3, где Yi, Y2, Y3 - попарно неизоморфные рациональные группы. Так как в трехэлементном множестве {t(Y1), t(Y2), t(Y3)} есть минимальный элемент, то в силу теоремы 4 группа B не определяется своей группой автоморфизмов в классе X. 35 Математика / Mathematics II. Пусть B = Yi Ѳ Y2 Ѳ Y2, причем типы t(Yi) и tY) несравнимы. Вновь применяя теорему 4, получаем, что B не определяется группой Aut B в классе X. III. Если B = Yi Ѳ Y2 Ѳ Y2 и t(Yi) < t(Y2), то, полагая А12 = Г, 12 Г имеем 12 E(B) = Г 0 Aut B = U (Гц) 0 ѵ А12 M(2, Г22)) ^ А12 GL2 (Г22)) По теореме 4 группа B не определяется своей группой автоморфизмов в классе X. IV. Пусть B = Yi Ѳ Y2 Ѳ Y2, причем t(Yi) > t(Y2). Полагая А21 = (Г21, Г21), имеем E(B) = Г А 21 0 M (2, Г22) Aut B = U (Гц) А 21 0 ОІ2(Т22) V. Если B = Yi Ѳ Yi Ѳ Yi, то, очевидно, E(B) = M(3, Гц) и Aut B = ОЬз(Тц). Пользуясь результатами работ [6, 9], соберем в следующей таблице некоторые свойства группы Aut B для каждого из рассматриваемых пяти случаев. Инварианты группы Aut B Тип группы B е X ранга 3 I II III IV V Наибольшая мощность содержащегося в Aut B множества попарно коммутирующих инволюций, являющихся квадратами элементов группы Aut B i 2 2 2 4 Число центральных инволюций группы Aut B 2, 4 или 8 4 2 2 2 Из этой таблицы можно сделать два вывода: - если группа B е X относится к типу IV и для группы B' е X имеет место изоморфизм Aut B' = Aut B, то группа B' относится к типу IV либо к типу III; - если группа B е X относится к типу V и для группы B' е X имеет место изоморфизм Aut B' = Aut B, то группа B' может относиться только к типу V. Теорема 6. Пусть B = Yi Ѳ Yi Ѳ Yi, где Yi - рациональная группа. Для группы B' е X эквивалентны следующие условия: 1) Aut B' = Aut B. 2) B' = Y2 Ѳ Y2 Ѳ Y2, где Y2 - рациональная группа, такая, что E(Y2) = E(Yi). 3) B' = Y2 Ѳ Y2 Ѳ Y2, где Y2 - рациональная группа, обладающая тем свойством, что кольцо Г22 = (а е Q | aY2 с Y2} совпадает с Гц. Доказательство. 2) ^ 3). Если 2) выполнено, то Гі1 = E(Yi) = E(Y2) = Г22. Так как подкольца поля Q изоморфны лишь тогда, когда они равны, то Г22 = Г11. 3) ^ 1). Если выполняется 3), то E(B' ) = M(3, Г22) = M(3, Г11) = E(B), а значит, Aut B' = U (E(B' )) = U (E(B)) = Aut B. i) ^ 2). Ввиду сказанного перед теоремой из условия 1) следует, что B' - группа типа V, т.е. B' = Y2 Ѳ Y2 Ѳ Y2, где Y2 - рациональная группа. Так как выполнено GL3(E(Y2)) = Aut B' = Aut B = GL3(E(Yi)) и при этом кольца E(Yi) и E(Y2) являются коммутативными областями целостности, то в силу [10, теорема 5.7.7] имеет место изоморфизм E(Y2) = E(Yi), что и требовалось. ■ 36 Тимошенко Е.А., Третьяков И.В. Определяемость вполне разложимой группы ранга 3 Следствие 7. Пусть B = Yi Ѳ Yi Ѳ Yi, где Yi - рациональная группа. Следующие условия эквивалентны: 1) Группа B определяется своей группой автоморфизмов в классе X. 2) Слагаемое Yi является почти делимым. Доказательство. 1) ^ 2). Предположим, что группа Yi не является почти делимой. В этом случае существует рациональная группа Y2, такая что tY) > t(Yi) и E(Y2) = E(Yi). Ввиду теоремы 6 имеем Aut(Y2 Ѳ Y2 Ѳ Y2) = Aut B. Сами группы B и Y2 Ѳ Y2 Ѳ Y2 при этом не изоморфны, поскольку не изоморфны друг другу группы Yi и Y2, - получаем противоречие с условием 1). 2) ^ 1). Предположим, что B' e X и Aut B' = Aut B. Применяя теорему 6, получаем, что B' = Y2Ѳ Y2 Ѳ Y2, где Y2 - рациональная группа, такая что EY) = E(Yi). Так как группа Yi почти делима, то аддитивная группа кольца E(Yi) изоморфна Yi. Тогда аддитивная группа кольца E(Y2) также изоморфна Yi, что возможно лишь в случае Y2 = Yi. Таким образом, B' = B, т.е. B определяется своей группой автоморфизмов в классе X. ■ Пусть теперь группа B относится к типу III или IV, т.е. B = Yi Ѳ Y2 Ѳ Y2, где t(Yi) и t(Y2) - различные (но сравнимые) типы. Тогда имеем E(B) г„ А21 ^ , Autв JU(TU) Л21 ^ ; Д12 M(2,Г22)J ’ V Л12 ОІ2(Г22)J при этом в точности одна из групп Л12 и Л21 равна 0, так как выполняется ровно одно из условий Г12 = 0 и Г21 = 0. Через En далее обозначаем единичную матрицу порядка n, через G - группу Aut B. Лемма 8. Пусть А = (ap) - инволюция группы G, такая что aii = 1, a22 = a33 = -1 и a23 = a32 = 0, и пусть ЛА = {T~lATA | TeG}. Следующие условия эквивалентны: 1 2А, 2А En 21 1) Множество ЛА совпадает с множеством H = Ѵ2Л12 e2 2) Множество ЛА является подгруппой группы G. 3) Множество ЛА замкнуто относительно операции умножения. 4) ai2, ai3 e 2Г21 и a2i, a3i e 2Г12. 0 ДJ. 5) Инволюция А сопряжена в группе G с инволюцией J Доказательство. Импликации 1) ^ 2) ^ 3) очевидны. Запишем A = A21 A12 - E9 , где А12 = (ai2, ai3) и A21 a21 a31 3) ^ 4). Для произвольных u e U(Г11), U22 e GL2(Г22) и двух матриц Ui2 e Л21 и U2i e Л12, таких что Ui2 = 0 или U2i = 0, рассмотрим матрицы и U- ( и -1 и U12U22 ^ U = | " " 12 I и W = V21 U22 Легко видеть, что UW = WU = E3 и, следовательно, W = U-1. Тогда и - U U-1AU = W • AU = W V и U22U21 U U12 + A12U 22 (1) uA21 U 21 22 37 Математика / Mathematics / 1 u-\\A12U22 + 2U12) ' vU22 (uA21 - 2U21) - E2 у (мы воспользовались тем, что An = U12 = 0 или А21 = U21 = 0). Если JA е ЛА, то найдется матрица U еО со свойством U~lAU = J. Считая, что U имеет вид (1), можем записать Ai2U22 + 2Un = 0 и иА21 - 2U21 = 0. Следовательно, A12 = -2U12U- e 2Д21 и A21 = 2u-1U21 e 2Д12, т.е. условие 4) выполнено. Предположим теперь, что JA г ЛА. Рассмотрим матрицы T = U = 1 0 0 U, . где т22 = 1 -1 1 0 U 22 = 0 1 -1 1 L 22 J V0 U 22 у заметим, что T22 + U22 = T22U22 = U22T22 = E2. С учетом проделанных ранее вычислений имеем T~lAT ■ A ■U~lAU = T~lAT ■ A =( 1 A12T22 j ( 1 VT22 A21 - e2 J V ( e2 - U 2-2) A21 A12 (T22 + U22 " (T22 + U 22 - ' E2) A21 - E2 A12(U 22 E2) 2 1 A12U 22 U 22 A21 - E2 E, 1 0 0 - E, = J. Следовательно, JA есть произведение матриц T~lATA и U~lAUA, принадлежащих множеству Ла. Ввиду условия 3) отсюда сразу вытекает JA е ЛА, что невозможно. Полученное противоречие завершает доказательство импликации. 4) ^ 5). Матрица U вида (1) удовлетворяет соотношению U~lAU = J, если выполнено Ai2U22 + 2Ui2 = 0 и uA2i - 2U2i = 0. Этого можно добиться, положив и = 1, U22 = -E2 и выбрав матрицы U12 и U21 таким образом, чтобы А12 = 2U12 и А21 = 2U21 (ясно, что тогда U12 = 0 или U21 = 0). 5) ^ 1). Найдем сначала множество ЛJ = {U~lJUJ| UеО}. Пусть U - произвольная матрица из О, заданная условием (1). С учетом выкладок в доказательстве импликации 3) ^ 4) имеем соотношения U lJUJ = 1 V- 2U -U21 2u “U - E 12 2 J J= 1 V- 2U £U 21 - 2u “U, E 12 таким образом, ЛJ c H. Обратно, полагая и = -1 и U22 = -E2, мы видим, что всякая матрица из H принадлежит множеству Л. Тем самым доказано, что ЛJ совпадает с группой H. Ввиду условия 5) можно записать А = F-1JF, где F е О. Тогда Ла = {T-1F-lJFTF ~lJF | TеО} = {(FT)JFT)J■ JF-lJF | T еО} = = { U~1JUJ | UeО} ■ JF-lJF = Л ■ JF-lJF. Поскольку матрица JF -1 JF = J-1F -1JFJJ = (FJ)-1J(FJ)J принадлежит группе Л/, то Ла = Л, что завершает доказательство. ■ Замечание. Если инволюция А еО удовлетворяет эквивалентным условиям леммы 8, то легко видеть, что (ЛА, ■) - абелева группа, изоморфная той из аддитивных групп Д12 и Д21, которая отлична от 0. Итак, мультипликативная группа 38 Тимошенко Е.А., Третьяков И.В. Определяемость вполне разложимой группы ранга 3 Аа изоморфна Г12 Ѳ Г12 (соответственно Г21 Ѳ Г2і), если группа B относится к типу III (соответственно к типу IV). Нетрудно найти централизатор инволюции J eG, т.е. множество всех матриц из G, перестановочных с J: Лемма 9. Централизатор матрицы J в группе G равен U (Гп) 0 0 I. ■ GL2 (Г22 )J Для подкольца R поля Q обозначим через ML2(R) подгруппу группы GL2(R), состоящую из всех матриц с определителем + 1. Из евклидовости кольца R можно вывести (см., напр.: [11]), что ML2(R) является вторым слоем группы GL2(R), т.е. порождается множеством всех инволюций из GL2(R). Справедлив такой факт: Теорема 10 [2]. Для подколец R и S поля Q эквивалентны условия: 1) GL2(R) = GL2(S). 2) ML2(R) = ML2(S). 3) R = S. ■ Предположим теперь, что в дополнение к группе B e X имеется группа B' e X типа IV, такая что существует изоморфизм ф: Aut B ^ Aut B'. Можно считать, что B' = Y3 Ѳ Y4 Ѳ Y4, где t(Y3) > t(Y4). Обозначим через A ту инволюцию группы Aut B', в которую J переходит при отображении ф. Запишем Aut B’ U(Гзз) А43 j a Ai2 j. 0 GL2 (Г44)J , = [0 A22 J ’ здесь А43 = (Г43, Г43), A12 e А43 и A22 e GL2(Y44). Ясно, что A22 - инволюция и a = + 1. Так как J есть квадрат элемента группы G = Aut B, то инволюция A должна быть квадратом некоторого элемента из Aut B'. Отсюда вытекает, что a = 1 и что A22 является квадратом некоторой матрицы (в частности, |A22| не может быть отрицательным числом). Из приведенного в [1] описания инволюций группы GL2(R) для колец R с Q можно сделать вывод, что из всех инволюций группы GL2^44) только Е2 и -Е2 имеют определитель, отличный от -1. Если A22 = Е2, то A может быть инволюцией лишь при условии A12 = 0. Но тогда ф(.Т) = A = Е3 = ф(Е3), что невозможно, так как ф - биекция. Значит, A22 = -Е2. В силу леммы 8 множество AJ = {U-1JUJ| U eG} является группой. Отсюда следует, что множество ф(А) = {T-ATA | Te Aut B'} есть группа, изоморфная Aj. С учетом замечания после леммы 8 получаем, что группа Г43 Ѳ Г43 изоморфна той из групп Г12 Ѳ Г12 и Г21 Ѳ Г21 , которая не равна 0. Из этого можно заключить, что Г43 = Г12 (Г43 = Г21), если группа B относится к типу III (соответственно к типу IV). Далее, применяя лемму 8 к инволюции A e Aut B', получаем, что A и J сопряжены в Aut B', т.е. найдется внутренний автоморфизм группы Aut B', переводящий матрицу A в J. Следовательно, существует изоморфизм G ^ Aut B', при котором J переходит в J. В связи с этим будем с самого начала считать, что ф^) = J. Заметим, что -Е3 - это единственная отличная от Е3 центральная инволюция как в G, так и в Aut B', а следовательно, ф(-Е3) = -Е3. Отсюда вытекают равенства ф(- J) = ф(-Ез)фЦ) = -EJ = - J. Далее, ф отображает централизатор матрицы J в группе G на ее же централизатор в группе Aut B'. Ввиду леммы 9 это означает, что ф индуцирует изоморфизм U(Гц) х GL2^22) ^ U(Г33) х GL2(^4). 39 Математика / Mathematics Ясно, что вторые слои групп U(Гц) х GL2^22) и U(Гзз) х ОЬ2(Г44) равны соответственно {-1, 1} х М£2(Г22) и {-1, 1} х М£2(Г44). Таким образом, ф индуцирует изоморфизм ф: {-1, 1} х МЬ2(Г22) ^ {-1, 1} х МЬ2(Гаа). Так как ф(- J) = - J, то ф отображает двухэлементную циклическую группу, порожденную парой (-1, E2), на себя. Факторизуя по этой циклической группе, получаем, что ф индуцирует изоморфизм МІ2(Г22) ^ МЬ2(Гаа). В силу теоремы 10 отсюда следует Г22 = Г44. Если слагаемое Y4 не является почти делимым, то в силу следствия 3 группа B' не определяется своей группой автоморфизмов в классе X. Поэтому далее рассматриваем случай, когда группа Y4 почти делима. Ввиду неравенства t(Y3) > t(Y4) группа Y3 тоже почти делима, а значит, t(^3) = t(Y3) : t(Y4) = t(Y3). Далее, так как Г44 = E(Y4), то аддитивная группа кольца Г44 изоморфна Y4; следовательно, аддитивная группа кольца Г22 также изоморфна Y4. Последнее возможно только при условии, что Y2 = Y4 (в частности, Y2 - почти делимая группа). Предположим, что группа B относится к типу III. Тогда имеем t(Yi) < t(Y2) и 1(Г 12) = t(Y2) : t(Y1) = t(Y2). С другой стороны, из соотношений Г43 = Г12 и Y4 = Y2 следует t(Гl2) = t(^3) = t(Y3) > t(Y4) = t(Y2) - получаем противоречие. Предположим теперь, что группа B относится к типу IV. Тогда t(Y1) > t(Y2) и t(^) = t(Y1) : t(Y2) = t(Y1). Так как t(Г4з) = t(Y3), то Y1 = Г21 = Г43 = Y3. Отсюда уже следует B = B'. Мы показали, что группа B' определяется своей группой автоморфизмов в X, если слагаемое Y4 почти делимо. Объединяя этот факт со следствием 7, приходим к основному результату: Теорема 11. Группа B е X ранга 3 определяется своей группой автоморфизмов в классе X тогда и только тогда, когда выполняется B = Y1 Ѳ Y2 Ѳ Y2, где Y2 -почти делимая группа ранга 1 и t(Y1) > t(Y2). Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Скачать электронную версию публикации