Differential equations of continuum equilibrium for plane deformation in cartesian axials at biquadratic approximation o.pdf Качество моделирования напряженно-деформированного состояния сплошной среды определяется многими факторами, но ключевую роль при этом играет выбор закона состояния, или математической модели, описывающей связь между напряжениями и деформациями. Математическая модель сплошной среды, позволяющая определить напряженно-деформированное состояние деформированного тела, представляет собой, при определенном упрощении, совокупность двух математических зависимостей, одна из которых описывает связь между первыми инвариантами тензоров напряжений и деформаций, а вторая - связь между вторыми инвариантами девиаторов напряжений и деформаций [1]. Для построения математических моделей используется либо экспериментальный, либо феноменологический подход. В первом случае математические зависимости между напряжениями и деформациями строятся на основании экспериментальных данных; во втором случае феноменологически построенные математические модели подтверждаются данными экспериментов. Вместе с тем в настоящее время прослеживается тенденция построения математических моделей сплошных сред без должного экспериментального обоснования [2]. В работах [2-4] обозначены пути совершенствования математических моделей сплошных сред и строительных конструкций с целью их максимального приближения к изучению реальных явлений. Приведены примеры построения расчетных и математических моделей на основе физических моделей и мотивированных гипотез, а также использования результатов корректно поставленных экспериментальных исследований. Первой математической моделью для сплошной среды, не потерявшей своей актуальности и в настоящее время, является закон упругости, экспериментально установленный еще в 1678 г. Р. Гуком. Первыми законами состояния для нели-71 Механика / Mechanics нейно-упругого тела явились законы, предложенные B.R. Seth [5], Н.В. Зволин-ским и П.М. Ризом [6], A. Signorini [7], F.D. Mumaghan [8]. Математические модели в виде математических зависимостей, описывающих законы объемного и сдвигового деформирования, представлены в ряде работ профессора Г. А. Гениева [9-11]. Математические модели деформирования бетона и железобетона разрабатываются профессором Н.И. Карпенко [12, 13]. Для моделирования работы деформируемых тел, учитывающего как физическую, так и геометрическую нелинейность, предложен принцип эквивалентности формы записи замыкающих уравнений [14]. Согласно этому принципу форма записи зависимостей между инвариантами тензоров деформаций и напряжений в геометрически линейных средах и форма записи зависимостей между инвариантами тензоров нелинейных деформаций и обобщенных напряжений в геометрически нелинейных средах должна быть одной и той же [15]. В настоящее время совершенствование законов состояния и математических моделей сплошных сред и деформируемых тел активно продолжается. В ряде работ, в частности в [16, 17], предложена дискретная модель сплошной среды, допускающая модификацию на случай задач в геометрически нелинейной постановке [18]. В работе [19] на примере модели многокомпонентной сплошной среды рассматриваются возможные пути перехода от традиционных моделей механики сплошных сред к математическим моделям нового поколения. В статье [20] сплошная среда моделируется эквивалентной по физико-механическим свойствам системой взаимодействующих частиц. Данный подход позволяет имитировать и упругость, и пластичность, и вязкоупругость, а также физическую и геометрическую нелинейность. В работе [21] рассматривается применение решений неевклидовой модели сплошной среды [22] для описания остаточных напряжений в деформированном теле, находящемся в условиях плоско-деформированного состояния. В статье [23] выполнено построение кинематических и физических соотношений для исследования конечных упругопластических деформаций, получены определяющие соотношения для скоростей и приращений истинных напряжений Коши. Публикация [24] посвящена описанию способа формирования физических соотношений для составных многофазных стержней, основанного на аппроксимации диаграмм деформирования фазовых материалов целыми рациональными полиномами произвольной степени. В работе [25], предложен простейший вариант разномодульной теории упругости, в основе которой лежат тензорнолинейные определяющие уравнения, базирующиеся на трехконстантных потенциалах, не зависящих от третьего инварианта: модуль сдвига является константой, а модуль объемного расширения (сжатия) зависит от знака первого инварианта тензора напряжений. В статье [26], основываясь на исследовании решения плоской задачи теории упругости об изгибе консольной полосы, делается вывод, что сингулярность решений задач теории упругости связана с постановкой этих задач, явно или неявно предполагающей нарушение симметрии тензора напряжений. В статье [27] представлено решение физически нелинейной (зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций принята в виде кубического полинома) плоской задачи теории упругости в перемещениях. Принимая для перемещений разложение по В.З. Власову, задача свелась к решению системы (n + т) обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. В статье [28] для бетона, находящегося в плоском напряженном состоянии, предложен новый 72 Бакушев С.В. Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды подход к построению физических соотношений, основанный на инвариантах механики деформируемого твердого тела. Показано, что предлагаемые зависимости соответствуют реальному напряженному и деформируемому состоянию материала. В статье [29] предлагается математическая модель теории упругости непрерывно-неоднородных тел. Получены новые формы определяющих уравнений для двумерной задачи. В работе [30], в отличие от общей нелинейной постановки задачи [31, 32], рассматривается квадратичное приближение для нелинейной теории физически линейных упругих стержней Коссера-Тимошенко. Следует отметить, что разработка новых и уточнение существующих математических моделей сплошной среды, проводимые с целью достоверно точного описания механического поведения деформируемых тел и конструкций под нагрузкой, практически всегда приводят к их усложнению. При этом существует предложение аппроксимировать замыкающие уравнения физических соотношений механики деформируемого твердого тела либо билинейными [33], либо биквадратичными [34] функциями, что может привести к значительному упрощению как расчетных соотношений, так и процедуры расчета. В работе [35] приведены расчетные дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях для характерных случаев деформирования физически нелинейной сплошной среды: одномерного плоского, центрально-симметричного, осесимметричного, а также плоской деформации в прямоугольных и цилиндрических координатах при билинейной аппроксимации замыкающих уравнений для физических соотношений как без учета, так и с учетом геометрической нелинейности. В данной работе рассматривается построение расчетных дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях для случая плоской деформации u = и (х, у), v = v (х, y), w = 0 физически нелинейной сплошной среды в прямоугольных декартовых координатах при аппроксимации замыкающих уравнений произвольного, вообще говоря, вида биквадратичными функциями как для геометрически линейной, так и для геометрически нелинейной модели сплошной среды. Построение физических уравнений для геометрически линейной модели В соответствии с работой [34] секущие модули объемного расширения (сжатия) К = К (е, Г) и сдвига G = G (е, Г) на первом криволинейном участке диаграмм ст = ст(е) и T = T (Г) (рис. 1) будут определяться выражениями K (в) =1 Ко + Кие ; G1 (Г) = Go + Go, Г . Здесь Ко! = ^-І0^ ; Go! = 3е! Г! (1) (2) На втором криволинейном участке диаграмм ст = ст(е) и T = T (Г) секущий модуль объемного расширения (сжатия) К = К (е, Г) и секущий модуль сдвига G = G (е, Г) будут вычисляться по формулам: (3) К11 (е) = а,е + b + ^ ; G11 (Г) = а2Г + b2 + ^ . 73 Механика / Mechanics Здесь a .(СТг-СТьЬ^&г-Д); b = 1 1 С = 3 ст1 - K1S1 - 3(s2-6і) (g2 -CTi)-Ki (s2 -Si) (s2 -S1 )2 ; a = (ст2-ст1)-K1 (s2-S1) E (S2 -S1 )2 T - T)-G ( г2 - Г1) _ (Г2 - Г1 )2 (4) b2 = G1 - 2 (T - T)- Gj (Г2 - Г) (Г2 - Г1 )2 Г1; С2 = T - g^ - T -T)-G (Г2 -Г1 )^2 11 • (Г2 - Г1 )2 Параметры I и II, введенные в соотношениях (1) и (3), здесь и в дальнейшем используются для обозначения переменных модулей объемного расширения (сжатия) K (s) и сдвига G (Г), относящихся к первому и второму участкам диаграмм объемного и сдвигового деформирования соответственно. В формулах (2) и (4) обозначено: K0 - начальный модуль объемного расширения (сжатия); G0 - начальный модуль сдвига; Kx - начальный модуль упрочнения при объемном расширении (сжатии); G - начальный модуль упрочнения при сдвиге; CTj, Sj - координаты конечной точки первого участка (координаты начальной точки второго участка) на диаграмме ст = ct(s) ; T, Г - координаты конечной точки первого участка (координаты начальной точки второго участка) на диаграмме T = T (Г); ст2, s2 - координаты конечной точки второго участка на диаграмме ct = ct(s) ; T2, Г2 - координаты конечной точки второго участка на диаграмме T = T (Г). Здесь также с - первый инвариант тензора напряжений; е первый инвариант тензора деформаций; T - интенсивность касательных напряжений; Г - интенсивность деформаций сдвига. Рис. 1. Диаграммы объемного и сдвигового деформирования: а - диаграмма с = с(е); b - диаграмма T = Т(Г). Пунктирные толстые линии -исходные кривые объемного и сдвигового деформирования; сплошные толстые линии - аппроксимирующие отрезки парабол Fig. 1. Diagrams of volumetric and shear deformation: а - diagram с = с(е); b - diagram T = Т(Г). Dotted thick lines are original curves of volume and shear deformation; solid thick lines are approximating segments of parabolas 74 Бакушев С.В. Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды При плоской деформации в декартовых координатах е = е хх + е ^ и ~ 12 I/ \\2 2 2 3 2 тг ди Г =*/- Л(ехх-еуу ) +exx + еуу + “еху . Кроме того^ exx = ^f; Физические уравнения запишем в следующем виде: УУ дѵ_, ду ’ ди дѵ е =--1-. xy ду дх а хх = K (е)-е + 2Gj (Г)/ехх -± еі; ауу = K (е)-е + 2Gj (Г)-Геуу -1 е!; а =а =gg ( г )- K (е)- 2 G (Г) (5) Значения величин i и j определяются как взаимным расположением точек излома на диаграммах объемного и сдвигового деформирования, так и текущими значениями первого инварианта тензора деформации и интенсивности деформаций сдвига. При этом следует иметь в виду, что в результате нагружения тела его напряженно-деформированное состояние может быть таковым, что точки излома графиков на квадратичных диаграммах объемного и сдвигового деформирования при некотором значении параметра внешней нагрузки могут достигаться одновременно (состояние 1) или не одновременно: когда первый инвариант тензора деформации уже достиг величины, соответствующей точке излома диаграммы объемного деформирования, а интенсивность деформаций сдвига еще на достигла величины, соответствующей точке излома диаграммы сдвига (состояние 2); когда первый инвариант тензора деформации еще не достиг величины, соответствующей точке излома диаграммы объемного деформирования, а интенсивность деформаций сдвига уже достигла величины, соответствующей точке излома диаграммы сдвига (состояние 3); когда первый инвариант тензора деформации уже превысил величину, соответствующую точке излома диаграммы объемного деформирования, а интенсивность деформаций сдвига еще только достигла величины, соответствующей точке излома диаграммы сдвига (состояние 4); когда первый инвариант тензора деформации достиг величины, соответствующей точке излома диаграммы объемного деформирования, а интенсивность деформаций сдвига уже превысила величину, соответствующую точке излома диаграммы сдвига (состояние 5). Случай 1: d а1 (е) d е е=еі dT1 (Г) dГ * G , т.е. диаграммы и объемного, и сдвигового деформирования, аппроксимированные двумя параболами каждая, имеют точки излома графиков. При этом возможны три состояния диаграмм объемного и сдвигового деформирования. Состояние 1. На рис. 1 данное состояние соответствует точкам A и Аг. При этом и первый инвариант тензора деформации, и интенсивность деформаций сдвига удовлетворяют неравенствам (6) 0 < е < е, и 0 < Г < Г,. Состояние 2. На рис. 1 данное состояние соответствует точкам A и Вг. При этом и первый инвариант тензора деформации, и интенсивность деформаций сдвига удовлетворяют неравенствам 0 £(2в:-в;)(1 + |) + 3 3Г ( * 1 * )„вху ди +21в. - 3в 1р 3=* ¥ G = . ди „*.\\ ди ( * 1 * "1 4 / * * \\ди A - + 2Gj(Г)--+ 1 в -в р-Н2в-в ) - + ду ѵ ’ ду ( уу 3 ) 3Г ѵ уу хх’ ду +2|в уу- 3 в*)р Г* (1+f н = K = L = A(1 + 1) + (•' -33(2в33 + |J + 2(3-3 A|г + (^(Ыуу -в ;)§ + 2(вхх -1 в']рі(1 + вху ди _4 3 J' 3Г дѵ дх ду сх + ( )' дх 3 в ,]р 3Г* ( вхі вуу) дх + +2|в; - 3в*)р Г* (1+ду 81 Механика / Mechanics M = , (.+|)+a?j (г • )■(,+f)+(.; -1 .•) ± -6;)(,+| j+ + 2K, -.6* jp% * 1 yy 3 Г г dx N = J, dv 1 f • 1 • 1 4 / • • \\L dv1 ( • 1 • 1 ^6xy dv A\\1+d+(6x*-,6 jp^*(26yy-6xx)I1+dyJ+2k-IPt*: Г dx . dv f • 1 • 1 _ 4 /„ • • \\ dv „ ( • 1 • V,6xy L dv dx I yy 3 М!Г • v xx I yy Д У г *1 Pb, 4 dv --(26 xx-6 yy) - + 21 6yy -6 Ip-I 1 + 3Г*Ѵ xx W dx \\ ^ 3 ) Г | dy , В формулах (29) для геометрически нелинейного аналога физических уравнений (5) - с коэффициентами (11): i = I; j = I; а = K01; p = G01; P = ( * \\ - с коэффициентами (13): i = II; j = I; а = а1 - « 1 6*2 - с коэффициентами (15): i = I; j = II; a = K01; p = - с коэффициентами (19): i = II; j = II; a = a1 о.--, 1 6*2 ; P=Gffl; • Л • C-) a2-ik \\ 1 ; P = 2 r*2 \\ 1 m (31) (32) (33) Таким образом, дифференциальные уравнения в перемещениях для плоской деформации сплошной среды в прямоугольных декартовых координатах при биквадратичной аппроксимации замыкающих уравнений для физических соотношений с учетом геометрической нелинейности построены. Заключение Построенные в статье дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях в прямоугольных декартовых координатах могут найти применение при определении напряженно-деформированного состояния сплошных сред как с учетом, так и без учета геометрической нелинейности, находящихся в условиях плоской деформации, замыкающие уравнения физических соотношений для которых аппроксимированы биквадратичными функциями.

Скачать электронную версию публикации