Minimizing vibration of low-noise fans.pdf Введение По мере развития техники все чаще приходится иметь дело с колебательными явлениями. Все механизмы (устройства, аппараты), имеющие подвижные части, совершающие периодические движения, являются генераторами колебательного движения, т.е. обладают определенным уровнем виброактивности [1-4]. Вибрация в любых устройствах оказывает отрицательное воздействие на их функционирование. Кроме того, вибрация вредна также с экологической точки зрения, так как является источником шума. Поэтому в определенных случаях борьба с вибрацией (шумом) становится одной из главных технологических задач и зачастую превращается в научно-техническую проблему. Малошумный вентилятор, будучи неотъемлемой частью системы жизнеобеспечения, является электромеханической системой, содержащей элементы массы 102 Дмитриев В.С., Миньков Л.Л., Костюченко Т.Г. и др. Минимизация виброактивности и упругости, поэтому при воздействии периодических сил (моментов) от внутреннего источника (электродвигателя) в рабочем режиме он находится в вибрационном состоянии [5, 6]. В настоящей статье показано влияние взаимосвязанных параметров малошумного вентилятора: собственной частоты элементов конструкции, частоты возбуждающих воздействий, разницы этих частот, коэффициента демпфирования, - на уровень виброактивности механической системы, которой является электровентилятор. Общий принцип вибродемпфирования Малошумный вентилятор является многопараметрической электромеханической системой, математическая модель которой представляет систему дифференциальных и алгебраических уравнений, содержащую десятки параметров, связанных прямой и обратной зависимостями [7-9]. Технически малошумный вентилятор представляет собой электродвигатель с закрепленной на валу крыльчаткой (лопастным колесом), который через систему амортизаторов зафиксирован в корпусе вентилятора (рис. 1). 12 3 4 Рис. 1. Конструктивная схема вентилятора: 1 - корпус, 2 - крыльчатка, 3 - амортизированный узел крепления вентилятора к корпусу, 4 - электродвигатель Fig. 1. Design diagram of the fan: (1) housing, (2) impeller, (3) damped fan attachment unit to the housing, and (4) electric motor Расчетная схема рассматриваемого малошумного вентилятора представлена на рис. 2. Для составления уравнения движения технической системы (см. рис. 2) воспользуемся вторым методом Лагранжа. Эту систему можно с достаточной степенью точности рассматривать как систему с одной степенью свободы. Электродвигатель, имеющий ротор в качестве рабочей части, является ротационной машиной, в которой центр тяжести ротора не совпадает с его осью вращения. Неуравновешенность измеряется произведением неуравновешенной массы m на эксцентриситет е. Эксцентричная масса вращается со скоростью ю, и ее вертикальное перемещение равно x0 + e sin ю t. 103 Механика / Mechanics Fэкв Рис. 2. Расчетная схема малошумного вентилятора (вариант 1) Fig. 2. Calculation diagram of a low-noise fan circuit (option 1) Рассмотрим уравнение движения такой механической системы [1, 2, 7]: AFc + kDx + kx = F3ts sincoi. (1) Здесь Fkb - амплитуда вынуждающей силы, равная meю2; kD - коэффициент демпфирования; M - масса механической системы, к - коэффициент упругости конструкции. Уравнение (1) - неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого равно сумме решений - общего x1, описывающего собственные колебания системы, и частного решения x2, определяющего ее вынужденные колебания. Для практики инженерного проектирования важно знать не только значения амплитуды и частоты колебательного движения, но и степень эффективности демпфирования этих колебаний. Общее решение уравнения (1) имеет вид: F x (t) = x (t) + X (t) = Ae sin(roat + y) + ^^ X sin(rot - ф), (2) к где юа - круговая частота при демпфировании, равная юэ = размерный коэффициент демпфирования, равный £, = кп 24км Ѵ1-^2 -юс; 4 - без; X - коэффициент передачи (динамический коэффициент), равный X = ]Д/(1- r2)2 + (2^r)2 ; r - отношение вынужденной частоты к собственной, ю/юс ; юс - собственная частота системы, равная ^к/М ; ф - сдвиг фаз между перемещением и приложенной силой, равный arctg (2fy/(1- r2)). Константы A и у в решении (2) находятся из начальных условий x (0) = x0 , і(0) = х0. Так как при проектировании интересен только установившийся процесс с незатухающими колебаниями, решение (2) следует рассматривать при t ^ ж. F X (t ) = X sin(rot -ф). (3) к 104 Дмитриев В.С., Миньков Л.Л., Костюченко Т.Г. и др. Минимизация виброактивности Если в (3) числитель и знаменатель умножить на М, а амплитуду обозначить черезX, то это решение можно записать в виде: (4) X (t) = ~^ersrnC^t-ф) = X2 sin(rot-ф). В результате из (4) следует удобное для проектирования соотношение MX, (r, Е) , , , -= r2X(r,t) . (5) me Представление решения установившегося режима в виде (4), (5) удобно использовать при расчете параметров вентилятора, так как оно позволяет регулировать параметры уровня шума через подбор отношения собственных частот конструкции и вынуждающих сил, а также коэффициента демпфирования. Для удобства восприятия на рис. 3 представлена зависимость левой части соотношения (5) (относительная амплитуда колебания системы) от отношения частот г. Вид графического представления определяется коэффициентом передачи (динамическим коэффициентом) X, который зависит от отношения частот г и от безразмерного коэффициента демпфирования £. При резонансе, г = 1, динамический коэффициент X будет зависеть только от £. Амплитуда установившейся реакции есть функция амплитуды и частоты возбуждающих сил; чем больше упругость конструкции, тем амплитуда реакции больше [2]. Рис. 3. Установившаяся реакция на инерционное возмущение системы: 1 - Е, = 0, 2 - Е, = 0.2, 3 - Е, = 0.3, 4 - Е, = 0.5, 5 - Е, = 1, 6 - Е, = 2 Fig. 3. Steady-state reaction to the inertial perturbation of the system: Е, = (1) 0, (2) 0.2, (3) 0.3, (4) 0.5, (5) 1, and (6) 2 г Изменение фазового угла ф с изменением частоты происходит вследствие 2Ег процесса демпфирования в технической системе (ф = arctg-- ). На рис. 4, 5 1- r 105 Механика / Mechanics представлено изменение фазового угла и динамического коэффициента соответственно в зависимости от отношения частот г. Рис. 4. Зависимость фазового угла ф от отношения частот г при разных значениях коэффициента затухания 1 - Е = 0.2, 2 - Е = 0.5, 3 - Е = 1, 4 - Е = 2, 5 - Е = 5 Fig. 4. Dependence of the phase angle ф on the ratio of frequencies г at different values of the attenuation coefficient ^: Е = (1) 0.2, (2) 0.5, (3) 1, (4) 2, and (5) 5 Рис. 5. Зависимость коэффициента передачи сил от отношения частот г при разных значениях безразмерного коэффициента затухания ^: 1 - Е = 0, 2 - Е = 0.2, 3 - Е = 0.3, 4 - Е = 0.5, 5 - Е = 1, 6 - Е = 2 Fig. 5. Dependence of the force transfer coefficient on the frequency ratio г at different values of the dimensionless attenuation coefficient ^: Е = (1) 0, (2) 0.2, (3) 0.3, (4) 0.5, (5) 1, and (6) 2 r 106 Дмитриев В.С., Миньков Л.Л., Костюченко Т.Г. и др. Минимизация виброактивности Виброактивность механических систем без демпфирования Предлагаемый метод минимизации виброактивности предполагает, что начальным эталоном является определение исходных данных на базе схемы недемпфированной конструкции электродвигателя. В нем минимальная величина коэффициентов демпфирования обеспечивается материалом элементов конструкции последнего, поэтому в алгоритме расчета параметров малошумного вентилятора следует начинать со схемы, представленной на рис. 6. На этой схеме показано, что вентилятор испытывает вынужденные механические воздействия без демпфирования. Тогда уравнение (1) преобразуется к виду: Мх + kx = F3KB sin со?. (6) Соответствующее перемещение х(?) при начальных условиях х(0) = х0, х(0) = х0 определяется решением X = Xn COS СО ? + ( - ----L_ I sin со ? + -^2--L_ sin со?. (7) 0 с [со с к 1-г2] с к 1-г2 ^Сэкв Рис. 6. Расчетная схема вентилятора без демпфирования колебаний Fig. 6. Design scheme of the fan without vibration damping Если принять начальные условия нулевыми, то из (7) следует, что установившиеся колебания системы будут определяться частотой колебаний внешней силы и частотой собственных колебаний: F 1 X(?) = -_[sin (rrnct)~ r sin(ract)) . (8) к 1 r Установившаяся реакция проиллюстрирована на рис. 3 для коэффициента затухания | = 0. Так же, как и в предыдущем случае, коэффициент передачи X зависит от отношения частот и может быть больше или меньше единицы. При резонансе отношение частот равно единице и теоретически коэффициент передачи - бесконечная величина. Для таких систем амплитуда увеличивается пропорционально времени и, как следует из (8), при r ^ 1 решение имеет вид: X = (sin К0_ю/cos КО). (9) 107 Механика / Mechanics То есть теоретически амплитуда может возрастать до бесконечности, а практически амплитуда возрастает до величины, при которой механизм становится неработоспособным. Дополнительно следует иметь в виду, что резонанс наступает через определенное время, и поэтому, если пройти быстро зону резонанса, механизмы могут работать в зарезонансной зоне и при частотах значительно выше резонансной, при этом коэффициент передачи будет меньше единицы. При остановке механизм снова проходит через критическую точку. Поэтому режим работы «разгоностановка» для зарезонансной зоны работы весьма нежелателен. Вибродемпфирование с демпфером, установленным на упругое основание При минимизации (редуцировании) уровня шума для повышения эффективности целесообразно использовать установку демпфера на упругую основу (рис. 7) Рис. 7. Установка демпфера на упругом основании: а - вариант 2; b - расчетная схема прибора; c - расчетная схема демпфера Fig. 7. Installing the damper on an elastic base: (a) option 2; (b) design diagram of the device; and (c) design diagram of the damper Динамика технической системы (см. рис. 7) описывается уравнением Мх + kD (х - хг) + kx = F^ sin со t . (10) Демпфер с пружиной устанавливается последовательно, поэтому kD (х - Xj) = A'jXj . (11) В результате получаем уравнение в виде: (12) Xj=- (F sin со/-Mr-Ах). К ' Подставляя производные по времени уравнения (12) в уравнение (10), получаем дифференциальное уравнение 3-го порядка: А'А' А' ... к. .. к. + к х н-- х н---х + - А'п М А'„М -F экв kjM sin at + F cos at. M экв (13) Таким образом, движение массы М описывается дифференциальным уравнением 3-го порядка, получение общего решения которого весьма затруднительно, в отличие от получения решения дифференциального уравнения 2-го порядка, для которого математический аппарат довольно хорошо разработан для различного вида технических систем. 108 Дмитриев В.С., Миньков Л.Л., Костюченко Т.Г. и др. Минимизация виброактивности Однако установившуюся реакцию для уравнения (13) сравнительно просто получить методом импеданса с одновременным решением уравнений (10) и (11). Для этого возмущение представим комплексной функцией FsmseJm‘ , а соответствующие перемещения x(t) и x\\ (t) - функциями Xejmt и Xxejmt , где X и Хх -комплексные амплитуды. Подставив эти выражения в уравнения (10) и (11) и сократив на eJm‘, получаем (k - Mm2 + jkD ю) X - jkD mXx = FmB, -jkDmX + (kx + jkD m)Xx = 0 . (14) Далее комплексные амплитуды определяются по правилу (признаку) Крамера через определители: F*. (k1 + j'kDa) X = Xj = k (k - Mm2) + jkD m(k + kx - Mm2) _jkDmF_ kx (k - Mm2) + jkD m(k + kx - Mm2) (15) Используя отношение коэффициентов N = - , m = A- , - = 2£,m , r = - . k \\M M mc в выражении (15) получаем - F _ экв +IN 2 = Xe~ -12 (1 - r2)2 + 2^r I 1 + - - - 1 N N 2^r N e-j у =Xxe-= (16) (1 - r2)2 + 2%r1 1 + - - - 1 N N где у = arctg 2Zr\\ 1+- I N 1 - r2 N 2Zr arctg- N У1 = arctg 2Zr\\ 1 +1 S I N 1 - r2 N n 2 . Так как возмущение задается синус-функцией, то установившуюся реакцию можно записать в виде: х = X sin (mt-у) , x = Xx sin (mt-у). (17) Далее приведем выражение реакции Х к виду, удобному для инженерного использования в методе минимизации. Выразим силу Fkb через составляющие и разделим числитель и знаменатель на массу М, получим выражение аналогичное (5), отличающееся только динамическим коэффициентом X: Ш(r’ZN) = r2S(r,Z,,N), (18) 109 Механика / Mechanics где S(r,N) = - V 1+ (2% )2 2 (1 - r2 )2 + На рис. 8 для сравнения представлены в графическом виде решения уравнения (5) и уравнения (18), при этом видна разница в эффективности виброгашения для варианта, представленного на рис. 2, и варианта на рис. 7, а. Из представленных сравнительных результатов вариантов кинематических схем демпфирующих устройств видно заметное преимущество эффективности схемы устройства с установленным демпфером на упругом основании (см. рис. 8, кривая 3). Рис. 8. График сравнительных результатов эффективности виброгашения: 1 - система без демпфирования, 2 - система демпфирования по варианту 1, 3 - система демпфирования по варианту 2, £, = 0.25, N = 0.5 Fig. 8. Graph of comparative results of vibration damping efficiency: (1) system without damping, (2) damping system according to option 1, (3) damping system according to option 2, £, = 0.25, N = 0.5 Определим параметры N, Е, r, при которых амплитуда колебания системы для схемы демпфирования на упругом основании будет меньше амплитуды колебания системы для схемы демпфирования на жестком основании, т.е. r2-Э(r,Е,N)< r2Х(r,Е) . (19) Из неравенства (19) после преобразований получается следующее: _1 r

Скачать электронную версию публикации