Conformal mapping of a half-plane onto a periodic polygon of half-plane type.pdf Пусть односвязная область A обладает следующими свойствами: - при линейном преобразовании L (w) = w + 2л область A остается неизменной L (A) = A; - существует M такое, что {w : Im w > M} c A ; - часть границы области от точки w0 до точки w0 + 2л состоит из конечного числа отрезков прямых. Такую область называют счетноугольником типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л. Такую область называют также периодическим многоугольником [1], будем использовать термин «счетноугольник», следуя работе [2]. Пусть отображение f (существование такого отображения следует из теоремы Римана) переводит верхнюю полуплоскость П+ ={z :Im z > 0} на счетноугольник A и f (ж) = ж . Для каждого отображения f существует вещественное число h, h > 0, такое, что f (z + kh) = f (z) + 2кл [2]. Пусть F - некоторое отображение, переводящее верхнюю полуплоскость П+ на заданный счетноугольник A и удовлетворяющее условию F (ж) = ж (переводящее простой конец на бесконечности в простой конец счетноугольника A на бесконечности, остающийся неподвижным при преобразовании L (w) = w + 2л). Множество всех отображений f: П+ ^ A, таких что f (ж) = ж , можно записать в виде /(z) = F(az + 6), a > 0, Ъ е R. Можно выбрать а и Ь так, чтобы /(0) = w0 и f (z + 2кл) = f (z) + 2кл . Таким образом, отображение f : П+ ^ A, нормированное условиями f (ж) = ж , f (z + 2кл) = f (z) + 2кл , f (0) = w0 - единственное. 6 Колесников И.А. Конформное отображение полуплоскости Лемма 1. Отображение f: П+ переводящее простой конец на бесконечности в простой конец счетноугольника А на бесконечности, остающийся неподвижным при преобразовании L (w) = w + 2л, и удовлетворяющее условию f (z + 2кл) = f (z) + 2кл , обладает свойством lim (f(z)-z) = y, (1) Imz^+co v 4 y 7 где у - константа, у е С, предел здесь равномерный относительно Rez. Доказательство. Рассмотрим сужение отображения f на область Z ={z :lm z > 0,0 < Re z < 2л}. Граница области f (Z) состоит из кривых: ^ (образ луча {z :Re z = 0, Im z > 0} ), /2 = ^ + 2л (образ луча {z :Re z = 2л, Im z > °}) и части границы счетноугольника А от точки w0 до точки w0 + 2л (образ отрезка {z: Imz = 0,0 < Re z < 2л}). Отображение C(w) = em однолистно переводит область f (Z) на область V, граница области V содержит разрез L, выходящий из точки С = 0, причем кривые С и 12 соответствуют различным берегам этого разреза. Отображение С (z) = e,z переводит область Z на единичный круг с разрезом по отрезку [0, 1]. Рассмотрим композицию х(С) = ^(f (z(С))), переводящую единичный круг с разрезом на область V. Так как ImC0 1ш1х(С) = Й?х(С), где Со е (0,1), то (по принципу единственности) аналитические продолжения х(С) через верхний и нижний берега разреза (0,1) совпадают, и отображение х(С) голоморфно в {С : |С| < 1}\\{0}, причем ноль - устранимая особенность. Таким образом, композиция х(С) = ^(f (z(С))) отображает голоморфно и однолистно единичный круг на область V без разреза L и раскладывается в нуле в ряд х( С) = СіС + с2С2+с3С3+..., с^о. Тогда отображение f в области {z: Im z > M, 0 < Re z < 2л} при некотором M > 0 представимо в виде / (z) = -г In С (С (z)) = z- / In (с, + c2elz + c-,e2l: +...}. и, следовательно, lim (f (z)-z) = -,lnc =: У равномерно относительно Rez. Возвращаясь к отображению f: П+ ^ А и учитывая свойство f (z + 2кл) = f (z) + 2кл , получаем утверждение леммы. Двигаясь по границе счетноугольника от точки w0 до точки w0 + 2л в положительном направлении, обозначим последовательно встречающиеся угловые точки границы через , А^ = А^ +2л , пеЖ,. Остальные вер шины A(m 1 определяются сдвигом вершин Af'1 вдоль вещественной оси называть А= А^ + 2пт, 7 Математика / Mathematics вершинами на основном периоде. Угол при вершине Aсчетноугольника обозначим через акп, к = 1,.. .,п . Если Д)"1-1 е С , то 0 < ак < 2, если же А4 = да, то ак = 0. Видно, что оц + а2 +... + а П=п. Обозначим через ак прообраз верпшны ■A? , к = 1,...,п , при отображении/ Для отображения/ нормированного условиями f (да) = да , f (z + 2k%) = f (z) + 2k% , (2) не ограничивая общности, можно считать, что ак е [0,2л), к = 1.....п . В работе [2] с помощью принципа симметрии Римана-Шварца получен следующий результат. Теорема 1. Отображение f верхней полуплоскости на счетноугольник А, удовлетворяющее условиям (2), представимо в виде: z f(z) = сі jG1 sin ,;„Q- ak d Q + c2 z где ak, k = 1,.. ,,n, - прообразы вершин на основном периоде, * (0(а*-0=°- І=1 Доказательство. Рассмотрим равенство п . С-aj (t) sm-j^v 2 J akW и / d C. A(t)- А-1(t) = c (t) j П ak-1(t) j= Аргумент левой части и аргумент подынтегрального выражения не зависят от t, следовательно, аргумент c (t) не зависит от t. Прологарифмируем и затем продифференцируем по t равенство (5), получим 11 Математика / Mathematics 40. c(t) I . . . . C\\l I Устремив Im z к -ню , получим -у1- + - ^(oct -1)ak (t) = 0 . Так как -у1- e E, c{t) 2Ы1 c(t) n то с (т) = 0 , и ^ -1) ctk (t) = 0. Лемма 2 доказана. k=1 Теорема 3. Параметры ak(t), k = \\,...,n, l e [(). 7), отображения f удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 'dk (0 + 7Ё(а; - 0( А: = 1,...,и. (9) Z j=\\ L j * k Доказательство. Введем обозначение ф(z,t) := ln/'(z,t), правую часть равенства (6) обозначим через /' (z, l) ѵ|/ (z, / ). Тогда ф(г,т) + ф2 (z,t) = Ч'(-гТ)ф,(гТ) + Ч',(-гТ)-Преобразовав это равенство с помощью (5), получим -^i(ak-OdAOctgz ^ k=1 ^ 1 / ч . 2 / \\ • -2 ^ 1 ^ -тХК-О^ЛО5111 -~ 1 т- І=1 Z 4 Ё («*-!)«* (О ’-«ЛО 2 = jl>.-!)«■ ^ £=1 ^ £ = 1 ^ ^ к= 1 z Раскладывая левую и правую части этого равенства в ряд Лорана в окрестности точки ак (t) и приравнивая коэффициенты при (z - a (t)) *, получаем (9). Теорема 3 доказана. Пусть отображение /, /: П+ х [0,Г] -> A (t), при фиксированном t переводит П+ на счетноугольник A(t). Рассмотрим случай, когда семейство счетноугольников А(/) имеет п вершин . Ік'1 (/). к = 1.....п . на основном периоде при / е [0.7 ). /-1 (?)) = ак (/) е [0,2л) . В этом случае a (0 < аг (0 < • ■ ■ < ап (О при f е [О,Г). Угол при вершине ЛЛО равен

Скачать электронную версию публикации