Calculation of a stepped rod under longitudinal-transverse bending with discrete axis loading.pdf Введение Достаточно часто несущие колонны и стойки гражданских и промышленных зданий находятся в условиях продольно-поперечного изгиба. Причем и продольная, и поперечная нагрузка изменяется по длине стержня, как правило, дискретно. Более того, площадь и форма поперечного сечения также не остаются постоянными и на разных участках стержня могут иметь разные значения. Кроме того, и материал стержня, или по крайней мере его механические характеристики, на разных участках стержня могут иметь разные значения. Это приводит к необходимости иметь методику расчета таких ступенчатых стержней при продольнопоперечном изгибе с дискретной осевой нагрузкой. Надо сказать, что расчету стержней при продольно-поперечном изгибе посвящены многие разработки как отечественных, так и зарубежных инженеров. Так, в работе [1] рассматривается продольно-поперечный изгиб балок, материал которых описывается нелинейной диаграммой деформирования. В статье [2] разработано дифференциальное уравнение для прогибов сжато-изогнутого стержня в начальных параметрах. В работе [3] выполнено теоретическое и экспериментальное исследование упругого деформирования прямого гибкого стержня при продольно-поперечном изгибе. В статье [4] на основе энергетического метода определения критической нагрузки и метода Галеркина рассмотрена методика расчета на прочность и устойчивость ферменной мачты - трехгранной фермы постоянного поперечного сечения, находящейся в условиях продольно-поперечного изгиба от действия собственного веса мачты и поперечной ветровой нагрузки. В работе [5] рассматривается проблема расчета на продольно-поперечный изгиб и устойчивость стержней ступенчато-переменного сечения при наличии сосредоточенных и распределенных продольных нагрузок. Принятая математическая 39 Механика / Mechanics модель, полученная на основе аналитического решения уравнения изгиба в функциях Бесселя и Ломмеля, позволяет рассматривать стержневые системы с любым видом граничных условий. В статье [6] приводится аналитическое решение задачи продольно-поперечного изгиба для стержней, изгибная жесткость которых изменяется по степенному закону. В работе [7] предложена математическая модель, позволяющая учесть поперечную нагрузку, возникающую из-за поддерживающего влияния сальника и возможных погрешностей при изготовлении и монтаже винта, при моделировании потери продольной устойчивости винтов приводов затворов напорных трубопроводов. В статье [8] рассматривается процедура вычисления изгибающих моментов в сжато-изогнутом, статически неопределимом стержне, нагруженном распределенной вдоль его оси сжимающей силой. В работе [9] рассматриваются вопросы определения прочности стержней переменного сечения при продольнопоперечном изгибе. В статье [10] установлены источник и характер систематической ошибки, вкравшейся в методической базе в расчетные формулы для продольно-поперечного изгиба трубопроводов на участках с активными грунтовыми изменениями. В работе [11] описывается новое направление в моделировании стержневых и континуальных систем при расчете на статические и динамические нагрузки, а также на устойчивость, основанное на синтезируемой электронной модели исследуемого объекта, позволяющей получить точные алгебраические уравнения, соответствующие дифференциальным уравнениям равновесия при поперечном и продольно-поперечном изгибе как с учетом, так и без учёта вязкоупругих свойств материала. В статье [12] получены дифференциальные уравнения равновесия трубопровода, моделируемого протяженной упругой балкой с исходной кривизной. Для прямолинейных участков трубопровода полученные уравнения переходят в общеизвестные уравнения продольно-поперечного изгиба и продольного сдвига. В работе [13] описывается способ определения перемещений стержня малой жесткости при продольно-поперечном изгибе от равномерно распределенной поперечной нагрузки и продольной силы. На основе решения полного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня выполнено сравнение результатов расчета при линейном и нелинейном решении. В статье [14] рассматривается обратная задача продольно-поперечного изгиба стержня: по значениям прогибов стержня в пяти точках требуется найти общие краевые условия упругого закрепления стержня и интенсивность поперечной распределенной нагрузки. В работах [15, 16] рассматриваются многослойные бетонные стержни постоянного поперечного сечения, находящиеся в условиях продольно-поперечного изгиба. Закон деформирования каждого слоя стержня аппроксимирован полиномом третьего порядка. Решение строится методом Бубнова-Галёркина. В статье [17] рассматривается предельное состояние многослойных бетонных и железобетонных стержней постоянного поперечного сечения при сложном и продольно-поперечном изгибе. В качестве критерия условного предельного состояния принимается условие, при котором в одном или нескольких слоях стержня возникает максимальная деформация, соответствующая предельно допустимому значению при растяжении или сжатии, соответствующему на диаграмме деформирования точкам перехода к ниспадающей ветви. Исследование и анализ работы бетонных и железобетонных стержней, находящихся 40 Бакушев С.В. Расчет ступенчатого стержня при продольно-поперечном изгибе в условиях продольно-поперечного изгиба, нашли свое отражение в ряде публикаций в зарубежных журналах [18-29]. В данной работе поставлена цель модификации расчетной методики профессора С.Н. Соколова для определения внутренних усилий (изгибающих моментов и поперечных сил) в ступенчатых стержнях при продольно-поперечном изгибе с дискретной осевой нагрузкой. Описание метода профессора С.Н. Соколова Один из приемов расчета стержней при продольно-поперечном изгибе был разработан доктором техничсеских наук, профессором кафедры сопротивления материалов Московского института химического машиностроения С.Н. Соколовым еще в конце 40-х - начале 50-х гг. XX столетия. Этот метод основан не на определении формы упругой линии стержня, а на вычислении в сжато-изогнутом стержне изгибающих моментов. Метод профессора С.Н. Соколова изложен в руководствах по сопротивлению материалов [30, 31] М.В. Рубинина. Отсылая читателей к указанным выше руководствам по сопротивлению материалов для более подробного ознакомления с методом С.Н. Соколова, приведем здесь лишь окончательные расчетные формулы для определения функций изгибающих моментов и поперечных сил на различных участках сжато-изогнутого упругого стержня постоянного поперечного сечения, выполненного из материала c модулем упругости E и моментом инерции поперечного сечения относительно нейтральной линии I (рис. 1). Рис. 1. Стержень в условиях продольно-поперечного изгиба Fig. 1. A rod under longitudinal-transverse bending Участок I: 0 < z < a. M1)z)= M0 cos (kz) + I°sin (kz); Q1 )z) = -M0k sin )() + Q cos {kz). (1) 41 Механика / Mechanics Участок II: a < z < b. M11 (z)= M1 (z) + m cos [k (z - a)]; Q11 (z) = Q1 (z)- mk sin ([k (z - a)]). (2) Участок III: b < z < c . M111 (z )= M11 (z) + - sin [k (z - b)]; Q111 (z ) = Q11 (z) + F cos [k (z - b )]. (3) k Участок IV: c < z < d . Mw (z) = M11 (z) + q {1 - cos [k (z - c)]}; (4) (5) qw (z)=Qiu (z)+qsin [ k (z - c)]. Участок V: z > d. Mv (z) = MIV (z) -q {l - cos [k (z - d)]}; qv (z)=qi (z)- qsin [k (z - d)]. В формулах (1)-(5) параметр k2 P_ EI Величины M0 и Q0 представляют со бой начальные параметры (постоянные интегрирования на первом участке) и определяются из условий на опорах. При выводе соотношений (1)-(5) С.Н. Соколов исходил из условий, что каждый силовой участок имеет свое дифференциальное уравнение для изгибающих моментов, а постоянные интегрирования на каждом последующем участке выражаются через постоянные предыдущего участка, причем на стыке участков выполняются граничные условия для изгибающих моментов и поперечных сил (рис. 2). Рис. 2. Стыки участков стержня Fig. 2. Joints of rod sections Если стык участков соответствует сосредоточенному изгибающему моменту (см. рис. 2, а), то граничные условия имеют вид: Mn + m = Mn+1; Qn = Qn+l. (6) Если стык участков соответствует сосредоточенной силе (рис. 2, b), то граничные условия записываются в форме: Mn = Mn+1; Qn + F = Qn+1. (7) 42 Бакушев С.В. Расчет ступенчатого стержня при продольно-поперечном изгибе Модификация метода проф. С.Н. Соколова. Составим уравнения изгибающих моментов и поперечных сил для стержня, имеющего несколько, например п, интервалов, на каждом из которых имеется пять, вообще говоря, участков, показанных на рис. 1. В начале каждого j-го интервала приложена сосредоточенная продольная сила р, совпадающая по направлению с центральной осью j-го интервала. Изгибная жесткость в пределах интервала остается постоянной: Elj = const (рис. 3). При составлении уравнений изгибающих моментов и поперечных сил будем исходить из уравнений (1)-(5) и равенств (6) и (7), а также из условия, что на стыке интервалов изгибающие моменты и сосредоточенные силы на пятом участке предыдущего интервала будут равны изгибающим моментам и поперечным силам на первом участке последующего интервала с учетом изгибающего момента, возникающего за счет эксцентриситета центральных осей на (j - 1)-м и j-м интервалах. На рис. 3 показан j-й интервал длиной e., для которого параметр k=(t р )/(EA). (*) Рис. 3. j-й интервал стержня в условиях продольно-поперечного изгиба Fig 3. jth segment of the rod under longitudinal-transverse bending Изгибающий момент, возникающий за счет эксцентриситета центральных осей AM, можно рассматривать как внешний момент, приложенный в начале j-го участка (рис. 4). Тогда + AM1 = Ц; Q(V)1) = 1), где AM1 = р)-1) \\yZj - y^ ) (9) Для изгибающего момента AM^ примем следующее правило знаков: если момент направлен по ходу часовой стрелки, то он считается положительным. 43 Механика / Mechanics Рис. 4. Стыки интервалов стержня с разными жесткостями Fig. 4. Joints of rod segments with different stiffness Итак, уравнения изгибающих моментов и поперечных сил на каждом участке у-го интервала будут иметь вид: j-і J-і Участок I: Eet < z = 2Рі = 80 кН-см; A^3) = 2(Pi + Р2) = 240 кНюм; Q(0) = Qo = = 18.350 кН. Замечание. Ненулевое значение изгибающего момента на правой шарнирно -неподвижной опоре сжато-изогнутого стержня объясняется накоплением погрешностей округлений при выполнении арифметических операций. Выводы Численные расчеты позволили сделать следующие выводы. 1. Учет продольного воздействия при изгибе ступенчатого стержня с дискретной осевой нагрузкой приводит к увеличению ординат эпюр, изгибающих моментов и поперечных сил, а следовательно, и опорных реакций по сравнению поперечным изгибом только от поперечной нагрузки. 2. На участках стержня, свободных от равномерно-распределенной поперечной нагрузки, при продольно-поперечном изгибе внутренние поперечные силы не остаются постоянными, в отличие от плоского поперечного изгиба. 3. Учет эксцентриситета продольных сил в начале каждой ступени (интервала), возникающий за счет несовпадения продольных осей на текущей и предыдущей ступенях, приводит к незначительному скачку на эпюре моментов. 4. Полученные расчетные соотношения для изгибающих моментов и поперечных сил могут найти применение при расчете упругих ступенчатых стержней, находящихся в условиях продольно-поперечного изгиба.

Скачать электронную версию публикации