Left-invariant para-Kahler structures on six-dimensional nilpotent Lie groups.pdf Введение Как известно [1], нильпотентные группы Ли, за исключением абелевого случая, не допускают левоинвариантных положительно определенных кэлеровых метрик. Однако псевдокэлеровы структуры могут существовать. В работе [2] получен полный список из 13 классов некоммутативных шестимерных нильпотент-ных групп Ли, допускающих псевдокэлеровы структуры. В работе [3] проведено более полное исследование указанных выше классов шестимерных псевдокэле-ровых нильпотентных групп Ли. В последнее время большой интерес вызывают пара-комплексные и пара-кэлеровы структуры. Поэтому естественным является вопрос об инвариантных пара-кэлеровых структурах на шестимерных нильпо-тентных группах Ли. В данной статье будет показано, что 15 классов некоммутативных шестимерных нильпотентных групп Ли допускают пара-кэлеровы структуры. Напомним основные понятия и факты, которые будут использованы в работе. Почти пара-комплексной структурой на 2^мерном многообразии M называется поле J эндоморфизмов J: TM ^ TM, такое, что J2 = Id, причем ранги собственных распределений T±M := ker(Id + J) равны. Почти пара-комплексная структура J называется интегрируемой, если распределения T±M инволютивны. В этом случае J называется пара-комплексной структурой. Тензор Нийенхейса N почти пара-комплексной структуры J определяется равенством NJX, Y ) = [X, Y] + + [JX, JY] - J[JX, Y] - J[X, JY] для любых векторных полей X, Y на M. Как и в комплексном случае, пара-комплексная структура J интегрируема тогда и только тогда, когда Nj = 0. Пара-кэлерово многообразие можно определить как симплектическое многообразие (M, ю) с согласованной пара-комплексной структурой J, т.е. такой, что ra(JX, JY) = -rn(X, Y). В этом случае на M определена метрика g(X, Y) = m(X, JY), которая является псевдоримановой нейтральной сигнатуры. Отметим, что g(JX, JY) = -g(X, Y). В работе [4] представлен обзор теории пара-комплексных структур и рассмотрены инвариантные пара-комплексные и пара-кэлеровы структуры на однородных пространствах. 39 Математика / Mathematics Отметим, что термин «пара-кэлерово» многообразие употребляется также в другом смысле. А. Грей в работе [5] заметил, что замечательные геометрические и топологические свойства кэлеровых многообразий в большой степени объясняются тем, что тензор кривизны R удовлетворяет специальному тождеству Кэ-лера: g(R(X, Y)Z, W) = g(R(X, Y)JZ, JW) для любых векторных полей X, Y, Z, W, где J - тензор комплексной структуры, согласованный с римановой метрикой g. Однако класс многообразий, обладающих указанным свойством, несколько шире. В работе Рицы [6] 1974 г. почти эрмитовы многообразия, удовлетворяющие тождеству Кэлера, названы паракэлеровыми многообразиями. Имеется множество работ, посвященных изучению таких паракэлеровых многообразий (см. напр.; [7, 8]), где можно найти также ссылки на классические и более современные публикации. В данной работе паракэлеровы многообразия рассматриваются с точки зрения паракомплексной геометрии, которая была введена Либерманом [9] в 1952 г. по аналогии с комплексной геометрией. Более подробно о такой паракэлеровой геометрии см. в обзоре [4]. Отметим для сравнения, что такие пара-кэлеровы многообразия удовлетворяют следующему тождеству: g(R(X, Y)Z, W) = -g(R(X, YJZ, JW), где J - тензор пара-комплексной структуры, согласованный с псевдо-римановой метрикой g [4]. Мы будем рассматривать левоинвариантные (почти) пара-комплексные структуры на группе Ли G, которые задаются левоинвариантным полем эндоморфизмов J: TG ^ TG касательного расслоения TG. Поскольку такой тензор J определяется линейным оператором на алгебре Ли g = TeG, то мы будем говорить, что J - это инвариантная почти пара-комплексная структура на алгебре Ли g. В этом случае условие интегрируемости J также формулируется на уровне алгебры Ли: Nj(X, Y ) = [X, Y ] + [JX, JY ] - J[JX, Y ] - J[X, JY ] = 0, для любых X, Ye g. Из условия интегрируемости J следует, что собственные подпространства g+ и g-оператора J являются подалгебрами. Поэтому пара-комплексная алгебра Ли g может быть представлена в виде прямой суммы двух подалгебр: g = g+ © g-. Если на алгебре Ли g задана пара-комплексная структура J, то для элемента Z центра Z(g) вектор JZ может не быть центральным, но из условия интегрируемости сразу следует, что adJZ коммутирует с J: [JZ, JX] = JJZ, X], adJZ ■J = J ■ adJZ. Левоинвариантная симплектическая структура ю на группе Ли G задается 2-формой максимального ранга на алгебре Ли g. Замкнутость формы ю эквивалентна условию ю([X,Y], Z) - ra([X, Z], Y) + ra([Y, Z], X) = 0, VX, Y, Z e g. В этом случае алгебру Ли g будем называть симплектической. Напомним, что подпространство W с g называется ю-изотропным если и только если ю(Ш, W) = 0, и W называется ю-лагранжевым, если оно ю-изотропно и из ю^, и) = 0 следует, что u £ W. Подпространства U, V с W симплектического пространства (W, ю) будем называть ю-дуальными, если для любого вектора и £ U существует вектор v £ V такой, что ю(и, v) Ф 0, и наоборот, Vv £ V, 3u £ U, ю(и, v) Ф 0. Левоинвариантная пара-кэлерова структура на группе Ли задается парой (ю, J), состоящей из симплектической формы ю на g и согласованной с ю паракомплексной структуры J на g, т.е. такой, что ю^У, JY) = -ю(У, Y). Согласованная пара (ю, J) определяет на g пара-кэлерову псевдориманову метрику g(X, Y) = o>(X, JY). 40 Смоленцев Н.К. Левоинвариантные пара-кэлеровы структуры При этом подалгебры g+ и g- являются изотропными для метрики g и ю-лагран-жевыми. Нижний центральный ряд алгебры Ли g есть убывающая последовательность идеалов C°g, C'g, ..., определенная индуктивно: C°g = g, Ck+lg = [g, Ckg]. Алгебра Ли g называется нильпотентной, если Ckg = ° для некоторого k. Для нильпотентной алгебры Ли определена также возрастающая центральная последовательность идеалов {gk}, g° = {0} c gi c g2 с ... c g^i с g = g, где идеалы gk определены индуктивно по правилу gk = {X е g | [X, g] с gk-i}, k > 1. В частности, g1 = Z(g) - это центр алгебры Ли. Кроме того, первый производный идеал C1g входит в идеал gs-i. Для заданной почти пара-комплексной структуры J определенные выше идеалы {gt}, вообще говоря, не являются J-инвариантными. Можно определить возрастающую последовательность J-инвариантных идеалов ak(J) следующим образом: a°(J) = {0}, ak(J) = {X е g | [X, g] с ak-i(J) и [JX, g] c ak-i(J)}, k > 1. Ясно, что ak(J) c gk для k > 1. Очевидно, что идеал ai (J) лежит в центре Z(g) = gi алгебры Ли g. Определение 1. Левоинвариантная почти пара-комплексная структура J называется нильпотентной, если для последовательности идеалов {ak(J)} существует номер p такой, что ap(J) = g. Пусть V - связность Леви-Чивита, соответствующая псевдоримановой метрике g. Она определяется из шестичленной формулы [10], которая для левоинвариантных векторных полей X, Y, Z на группе Ли принимает вид: 2g(VxY,Z) = g([X Y],Z) + g([Z,X], Y) + g([Z, Y],X). Напомним, что тензор кривизны R(X, Y) определяются формулой R(X, Y) = [Vx, Vy ] - V[x,y ], а тензор Риччи Ric - это свертка тенора кривизны по первому нижнему и верхнему индексам, Ricjk = R‘jk. Метрика g называется Риччи-плоской, если Ric = 0. 1 Левоинвариантные симплектические и пара-кэлеровы структуры на алгебрах Ли Пусть g - алгебра Ли, на которой заданы симплектическая форма ю, почти пара-комплексная структура J, согласованная с ю, и псевдориманова метрика g(X, Y) = ю(Х, JY). Приведем несколько простых фактов относительно первого производного идеала C'(g), центра Z(g) алгебры Ли g и идеалов {gk} и {ak(J)}. Предложение 1. Для любой симплектической формы ю на g выполняется равенство ю(С^), Z(g)) = 0. Доказательство. Сразу следует из формулы ёю(Х, Y, Z) = ю([Х, Y], Z) -- ю([Х, Z], Y) + ю([Ү, Z], X) = ю([Х, Y], Z) = 0, VX, Y, Z е g. Предложение 2. Для любой симплектической формы ю на g и согласованной с ней почти пара-комплексной структуры J выполняется равенство ю(С^ 0 J(C'g), ai(J)) = 0. Доказательство. Поскольку ai(J) лежит в центре Z(g), то ю(C1(g), ai(J)) = 0. Равенство ю(ДС^), ai(J)) = 0 следует из J-инвариантности ai(J) и формулы ю(/Х, JY) = -ю(Х, Y). 41 Математика / Mathematics Следствие 1. Для любой почти пара-кэлеровой структуры (g, т, g, J) идеал ai(J) с gi ортогонален подпространству Clg ® J(Clg): g(Clg ® J(C'g), ai(J)) = 0. Предложение 3. Для любой нильпотентной почти пара-кэлеровой структуры J идеал ap-1(J) содержит C1g ® J(C1g). Доказательство. Поскольку gp = {X £ g | [X, g] £ ap-1(J) и [JX, g] £ ap-1(J)} = g, то C'g c ap-1(J). Поэтому J(Clg) c J(ap-1(J)) = ap-1(J). Предложение 4. Для любой левоинвариантной (псевдо)римановой структуры g на алгебре Ли g имеют место следующие свойства: 1. Если вектор Xлежит в центре алгебры Ли, то VXY = VYX, VY £ g. 2. Если векторы Xи Yлежат в центре алгебры Ли, то VXY = 0. Доказательство. Следует из формулы 2g(VXY, Z) = g([X, Y], Z) + g([Z, X], Y) + + g(X, [Z, Y) для ковариантной производной V на группе Ли. Действительно, если вектор X лежит в центре алгебры Ли, то 2g(VXY, Z) = g(X, [Z, Y]) и 2g(VYX, Z) = = g([Y, X], Z) + g([Z, Y], X ) + g(Y, [Z, X]) = g([Z, Y], X), V Z £ g. Следствие 2. Если векторы X, Y и Z лежат в центре алгебры Ли, то R(X, Y)Z = 0. Пусть J - нильпотентная почти пара-комплексная структура на нильпотентной алгебре Ли g, и ao = {0} с a1(J) с ... с ap-1(J) с ap(J) = g - соответствующая последовательность идеалов. Заметим, что хотя идеалы ak(J) являются J-инвариантными, они не обязаны быть четномерными. Предложение 5. Если вектор Xлежит в идеале a1(J) с Z(g) алгебры Ли, то VxY = VyX = 0, VY £ g. Доказательство. Пусть X £ a1(J) с g1 = Z(g) и Z, Y £ g. Тогда из формулы ковариантной производной и из следствия 1 вытекает, что 2g(VXY, Z) = g(X, [Z, Y]) = 0. Следствие 3. Если вектор X лежит в идеале a1(J) с g1 алгебры Ли, то R(X, Y)Z = R(Z, YX = 0, VY, Z £ g. Доказательство. Следует из VxY = VyX = 0, VY £ g и формул R(X, Y)Z = = Vx(VyZ) - Vy(VxZ) - V[x,y]Z и R(Z, Y)X = Vz(VyX) - Vy(VzX) - V[z,y]X. 2. Левоинвариантные пара-кэлеровы структуры на шестимерных нильпотентных алгебрах Ли Классификационный список шестимерных симплектических нильпотентных алгебр Ли представлен в работе [11]. Многие алгебры Ли данного списка имеют возрастающую последовательность идеалов Z(g) = g1 с g2 с g3 = g размерностей 2, 4 и 6 (будем говорить, что такая алгебра Ли имеет тип (2, 4, 6)). Выберем дополнение A к g2 и дополнение B к Z(g) в g2. Тогда такую алгебру Ли можно представить в виде прямой суммы двумерных подпространств: g = A 0 B 0 Z(g). Из определения идеалов g3 = {X £ g | [X, g] £ g2} = g и g2 = {X £ g | [X, g] £ Z(g)} сразу следует, что дополнительные подпространства A и B обладают свойствами: [A, A] с g2 = B 0 Z(g), [A, B] с Z(g). Например, для алгебры G21 списка работы [11] со скобками Ли [в1, в2] = е4, [в1, в4] = вб, [e2, ез] = еб мы имеем: Z(g) = R{es, еб}, g2 = R{e3, е4, e5, вб}, g3 = g. Тогда в качестве подпространств A и B можно выбрать: B = R{e3, е4} и A = R{e1, е2}. Симплектические структуры классификационного списка работы [11] показывают, что для алгебр типа (2, 4, 6) дополнительные подпространств A и B можно выбрать так, что на подпространстве B симплектическая форма ю невырожде-42 Смоленцев Н.К. Левоинвариантные пара-кэлеровы структуры на, а подпространства A и Z(g) являются ю-изотропными и ю-дуальными. Для алгебр Ли других типов вместо Z(g) необходимо выбрать двумерное подпространство C с Z(g). Теорема 1. Пусть шестимерная симплектическая алгебра Ли (g, ю) имеет разложение в виде прямой суммы двумерных подпространств g = A 0 B 0 C, где C с Z(g), [A, A] с B 0 C и [A, B] с C. Предположим, что B 0 C является абелевой подалгеброй, подпространства A и C - ю-изотропны и ю-дуальны, на подпространстве B форма ю невырождена и a(B 0 C, C) = 0. Тогда для любой согласованной с ю нильпотентной почти пара-комплексной структуры J, для которой подпространства B и C инвариантны, для связности Леви-Чивита V соответствующей псевдоримановой метрики gJ имеют место свойства: 1. VxY 6 B 0 C, VX, Y 6 g, 2. VxY, VyX 6 C, VX 6 g, VY 6 B 0 C, 3. VxY = 0, VX, Y 6 B 0 C. Доказательство. Свойство 1. Пусть X, Y 6 g. Тогда [X, Y] 6 B 0 C. Предположим, что VXY не лежит в B 0 C, т.е. имеет ненулевую компоненту из A. Тогда существует вектор Z 6 C с Z(g), такой что ю(ЧхҮ, JZ) Ф 0. В то же время 2ю(VxY, JZ) = 2g(VxY, Z) = g([X, Y], Z) + g([Z, X], Y) + g([Z, Y], X) = g([X, Y], Z) = = ю([Х, Y], JZ) = 0. Последнее равенство следует из свойства ю^ 0 C, C) = 0. Свойство 2. Пусть теперь X 6 g и Y 6 B 0 C. Тогда VxY лежит в B 0 C. Предположим, что VXY не лежит в C, т.е. имеет ненулевую компоненту из B. Тогда из условия невырожденности формы ю на B и равенства ю^ 0 C, C) = 0 следует, что существует вектор Z 6 B, такой что JZ 6 B и ю^хҮ, JZ) Ф 0. В то же время, учитывая коммутативность B 0 C и включение [A, B] с C с ai(J) с Z(g), имеем: 2ю(VxY, JZ) = 2g(VxY, Z) = g([X, Y], Z) + g([Z, X], Y) + g([Z,Y], X) = g(X, Y], Z) + + g([Z, X], Y) = ю([Х, Y], JZ) + ю([Z, X], JY) = 0. Последнее равенство следует из того, что JY, JZ 6 B 0 C, [X, Y], [Z, X] 6 C и ю^ 0 C, C) = 0. Таким образом, VxY 6 C. Включение VyX 6 C следует из формулы VxY - VyX = [X, Y]. Свойство 3. Пусть X, Ү 6 B 0 C. Тогда для любого Z 6 g совершенно аналогично выполняется: 2g(VXY, Z) = g([X, Y], Z) + g([Z, X], Y) + g([Z, Y], X) = + a([Z, X], JY)+a([Z, Y], JX) = 0. Следствие 4. В предположениях теоремы 1 если вектор X лежит в подпространстве B 0 C, то имеют место следующие равенства: R(X, Y)Z = R(Y, X)Z = = R(Z, Y)X = 0 для любых Y, Z 6 g. Доказательство. Пусть X 6 B 0 C и пусть Y, Z 6 g. В формуле R(X, Y)Z = = VXVYZ - VYVXZ - V[XyZ мы имеем [X, Y] 6 C с a1(J), поэтому по предложению 5 V[x,y]Z = 0. Далее, VyZ 6 B 0 C, поэтому VxVyZ = 0 - по свойству 3 теоремы. По свойству 2 теоремы имеем: VXZ 6 C с ai(J) с Z(g). Тогда VyVxZ = 0 по предложению 5. Пусть X 6 B 0 C и R(Z, Y)X = VzVyX - VyVzX - ViZyX- Мы имеем [Z, Y] 6 B 0 C, поэтому V[z,yX = 0. Поскольку VyX 6 C с ai(J) с Z(g), то VZVyX = 0 по предложению 5. Аналогично VyVzX = 0. Поэтому R(Z, Y)X = 0. Выберем базис {ei, в2, ез, в4, es, ев) алгебры Ли g, адаптированные к разложению g = A 0 B 0 C, т.е. такой, что A = R{ei, е2), B = R{e3, e4 и C = R{es, ев). 43 Математика / Mathematics Следствие 5. В предположениях теоремы 1 для любыхX,, Y, Z £ g выполняется включение R(X,, Y)Z £ C с Z(g). В адаптированном к разложению g = A ® B ® C базисе тензор кривизны может иметь с точностью до симметрий только четыре ненулевые компоненты: Я*2 г, Rг, R52 2, R2. В частности, тензор Риччи равен нулю. Доказательство. Пусть X, Y, Z £ g. В формуле R(X, Y)Z = VxVyZ - VyVxZ - V\\x,y]Z мы имеем [X, Y] £ B ® C, поэтому V\\x,y]Z £ C. Далее, VyZ £ B ф C, поэтому VxVyZ £ C. Аналогично VyVzX £ C. Таким образом, R(X, Y)Z £ C. Утверждение о ненулевых компонентах вытекает из следствия 4. Рассмотрим вопрос о том, какие из алгебр Ли классификационного списка работы [11] допускают согласованные пара-комплексные структуры (ю, J). Результаты представлены в таблице приведенной ниже теоремы 2. У каждой алгебры Ли таблицы указан ее номер из списка симплектических алгебр Ли работы [11]. Для каждой симплектической алгебры Ли (g, ю) этой таблицы существуют многопараметрические семейства пара-комплексных структур J, согласованных с ю. В таблице теоремы 2 приведена одна из них, наиболее простая J, которая представлена в блочном виде в базисе {в\\, e2, e3, e4, e5, e6} алгебры Ли и в соответствии с разложением g = R{ei, e2} ф R{e3, e4} ф R{es, ee}. Символом R обозначен тензор Римана. Дуальный базис обозначен символами {e1, ..., e6}. Теорема 2. Шестимерная нильпотентная некоммутативная алгебра Ли допускает пара-кэлерову структуру (J, ю) тогда и только тогда, когда она сим-плекто-изоморфна одной из алгебр представленной ниже таблицы. Допустимые пара-комплексные структуры J являются нильпотентными, а соответствующие псевдоримановы метрики Риччи - плоскими. Пара-кэлеровы шестимерные нильпотентные алгебры Ли Алгебра Ли Симплектическая форма Пара-комплексная структура G6 \\ei, e2] = e3, \\ei, вз] = e4, \\ei, e4] = e5, \\e2, e3] = e6 e1Ae6 + e2Ae4 + + e2Ae5 - e3Ae4 j ■( 0 -.)•[:; i-i; > ■ • G10 \\ei, e2] = e4, \\ei, e4] = e5, \\ei, e3] = e6, \\e2, e4] = e6 e1Ae6 + e2Ae5 - - e3Ae4 - e2Ae6 J =(1 -“)• ' -. • I (1 -a- 2 a a(a +2) x xl i , R ■ • V 2(a +1) 1 [ 1 при a ■ 0 G11 \\ei, e2] = e4, \\ei, e4] = e5, \\e2, e3] = e6, \\e2, e4] = e6 e1Ae6 + e2Ae5 - - e3Ae4 + Xe2Ae6 (-1 -2XI (1 a I (-1 • I J ■ 1 Ixl 1 x i i,R ■ • при 1 • l 1 [• -l) 1 • l1 a ■ 1 G12 \\ei, e2] = e4, \\ei, e4] = e5, \\e2, e3] = -e5 \\ei, e3] = e6, \\e2, e4] = e6 -e1Ae5 + Xe2Ae6 + + (X - 1)e3Ae4 ( • Xa J =-1 • [Xa ( 1 2 1 a • Xa 1 x a(X+1) a(X +1) „ [ Xa -1 ) ■ • fo 1 x a , R [ a • ) 44 G13 Gl4 Gl5 Gi6 G17 Gi8 Gl9 G21 Смоленцев Н.К. Левоинвариантные пара-кэлеровы структуры Продолжение таблицы Алгебра Ли [ei, e2] = e4, [ei, ез] = e5, [ei, e4] = ee, [e2, e3] = ee [ei, e2] = e4, [ei, e3] = e5, [ei, e4] = e6 [ei, e2] = e4, [e2, e3] = e5, [ei, e4] = e6 [ei, e2] = e5, [e3, e4] = -e5, [ei, e3] = e6, [e2, e4] = e6 [ei, e3] = e5, [ei, e4] = e6, [e2, e3] = e6 [ei, e2] = e4, [ei, e3] = e5, [e2, e3] = e6 [ei, e2] = e4, [ei, e4] = e5, [ei, e5] = e6 [ei, e2] = e4, [ei, e4] = e6, [e2, e3] = e6 Симплектическая форма e1Ae6 + Xe2Ae5 + + (X - 1) e3Ae4, Xф 0 и 1 e1Ae6 + e2Ae4 + + % e2Ae5 - % e3Ae4 e iAe6 + e2Ae5 + e3Ae 4 Пара-комплексная структура У 1-f1 0 |xf 1 0 W 1 0 1 V a -1) f-a(X +1) -1j ^-Xa -1 Ri = 0, r 1 0 01 f-1 0 01 J2 = 0 -1 0 X 4 1 0 , R 2 ф 0 V0 0 1 j V0 0 -1) f a b | f a -b'] f a -bл 2 1 a -1 2 a -1 2 a -1 -eiAe5 + eiAe6 + + e2Ae5 + eiAe6 + e2Ae3 - e4Ae5 eiAe6 + e2Ae5 + e3Ae4 юі = eiAe6 + Xe2Ae5 + + (X-i) e3Ae4, Хф 0 и i Ю2 = eiAe5 + XeiAe6 -- Xe2Ae5 + e2Ae6 --2Xe3Ae4, X ф 0 юз =-eiAe6 + e2Ae5 + + 2e3Ae4 + e3Ae5 e lAe3 + e2Ae6 - e4Ae5 eiAe6 + e2Ae5 - e3Ae 4 J =-\\l 0 ,x a -1 1 a(a - 2) 10 X| 2-а -1І , a ^0 J - e1 ® e1 - e2 ® e2 + e3 ® e3 - e4 ® e4 + e5 ® e5 f. 4 - a2 313 -e6 ® e +--e2 ® e + ae4 ® e + ae6 ® e , 2a R ф 0 f 1 0 | J a -1 -1 j X V b 1 - a2 R = 0 a -1 -1 J1 = r1 01 Xf 01 xf -1 0) V 0 1 j a 1 j 0 -1J f 1 0 0 | f 1 0 01 3 = 0 1 2 X 0 -1 0 V 0 0 -1) V 0 0 -1) J 2 = J1 , R = 0 j-f 0 -1W: -°1>r 10), r ф 0 a b a -b a -b a2 -1 -a j X a2 -1 -a j X a2 -1 -a j V b V b V b R ф 0 45 Математика / Mathematics Окончание таблицы G23 G24 G25 Алгебра Ли [еі, в2] = es, [еі, вз] = ев, [в2, вз] = въ, [ві, в4] = вв [ві, в2] = вв Симплектическая форма юі = в1лвв + + в2лв5 + в3лв4 Ю2 = в1Лв4 + + в2Лвв + в3Лв5 юз = в1лв4 + + в2лв5 - в3лвв в1лв6 + в2лв5 + в3лв4 в1лв6 + в2лв5 + в3лв4 Пара-комплексная структура 3 ( -: о) 1 (: о) (-: 0) 1: = 1 1 Х І 1, 1 а :) 1 [ь -:J [-а :) I л о' ) (: 0 ) (-: 0) J2 = І Х 1, 1 -:) 1 1° -:) [ о : J ( д 0' ) I М о) (: о) 1 = І ІХІ Х , * = 0 1 0 -: ) 1 , о -:) [ о :, j=[о -“И: а::2Ио:), * * ° 1 =(: -:>(Ь Ж -:'• * = » Доказательство. Левоинвариантная пара-кэлерова структура - это пара (ю, J), состоящая из симплектической формы ю и согласованной с ю интегрируемой почти пара-комплексной структуры J на алгебре Ли g. Поскольку симплектическая форма является заданной, то оператор J должен обладать следующими свойствами: J2 = Id, ®(JX, JY) = -ю(Х, Y) и [X, Y] + [JX, JY] - J[JX, Y] - J[X, JY] = 0. Условие согласованности ю(JX, JY) = -ю(Х, Y) запишем в виде ю(Ж, Y) + ю(Х, JY) = 0. Пусть в базисе {в\\, ..., вв} алгебры Ли симплектическая форма ю и оператор J имеют матрицы ю,у и Jj, J = J,jei ® eJ. Тогда система уравнений для нахождения пара-кэлеровой структуры (ю, J) состоит из следующих уравнений на переменные Jj : JJ = 8j . < ak'Ji + &ikjkj = 0 = т7 Tk l Tk/ k jJmct - ист - JlJkcm + ck = о 1 i1 j clm 1 i1 mclj j1 mcil ij где 5y - единичная матрица, Cl - структурные константы алгебры Ли и индексы меняются от 1 до 6. Эта система решается при помощи СКМ Maple. Для всех алгебр Ли списка работы [11], которые не вошли в таблицу теоремы 2, указанная система уравнений не имеет действительных решений. Для алгебр Ли из таблицы теоремы 2 легко видеть, что приведенные почти пара-комплексные структуры J согласованы с симплектическими формами ю. Интегрируемость J сразу следует из того, что собственные подпространства g+ и g- являются подалгебрами. Для всех алгебр Ли данного списка, за исключением G6, выполняются условия теоремы 1. Поэтому соответствующие пара-кэлеровы метрики для них являются Риччи-плоскими. Рассмотрим более подробно алгебру Ли G6 с симплектической формой ю = в1лв6 + e2лe4 + e2лe5 - в3лв4. Для почти пара-комплексной структуры 46 Смоленцев Н.К. Левоинвариантные пара-кэлеровы структуры J = 1 0 0 -1 х -1 0 X 10 0 -1 имеем такую последовательность идеалов: aJ = Z(g)} = {es, eej, ai(J) = {e4, es, eej, a3(J) = {e3, e4, es, e6}, a4(J) = g. Поэтому J является нильпотентной. Собственные подпространства g+ и g- образованы векторами {ei, e4, es} и {e2, e3, ee}. Легко видеть, что они являются подалгебрами. Следовательно, почти пара-комплексная структура J интегрируема. Условие согласованности o>(JX, JY) = -ra(X, Y) очевидно выполняется. В системе Maple легко вычисляется тензор кривизны. Он имеет следующие ненулевые компоненты: R42 1 = 1, R62 2 = 1 , Rf2 з = -1, R^3 1 =-1, R\\32 = -1 • Поэтому пара-кэлерова метрика также является Риччи-плоской. Отметим, что наиболее общая пара-кэлерова структура для данной алгебры Ли G6 зависит от пяти параметров J/ и имеет вид: J = 1 0 J3 Ji Jз4 0 -1 0 4 J 0 0 -1 4 0 0 0 2 2 J 100 j1 (J2 + J34) J 5 2 J6 J 3 J 4 J1 J 2 - J24 - J34 J3 J 34 010 2 2 J3 0 -1 J J6 J3 J 4 J1 J2 J3 J 4 J1J 3 \\ 2 2 J3 0 -1 J 3 J 4 J1 J 2 2 J 2 + J 2 - J 4 1 1 0 gJ = J 3 J 4 J1 J 3 2 V J13 0 -1 - J 4 - J2 1 1 0 - J-4 -10 0 -1 0 0 J

Скачать электронную версию публикации