Exact solution of the fundamental equation of acoustics for a pressure wave developing in two directions.pdf Введение В настоящее время фиксируется большой интерес к разработке теории прохождения звуковых волн через многослойные акустические системы. В [1] исследовано распространение звука по каналу с двойными стенками в случае неоднородности импеданса стенки. Проанализировано влияние внешнего радиуса воздуховода и контраста импедансов футеровки, среднего расхода и 6 Бородин В.И., Лун-Фу А.В., Бубенчиков М.А. и др. Точное решение основного уравнения акустики центральной перфорированной трубы. Учет облицовки стен потребовал факторизации матрицы Винера-Хопфа 3 х 3. В [2] исследован звук из полубесконечного канала, содержащего внутренний канал. Условие Робина на одной из внутренних стен имитирует наличие второго акустического слоя. Все остальные поверхности используют условия Неймана. Представление решения краевой задачи через интегралы Фурье приводит к матричному уравнению Винера-Хопфа. Последнее уравнение сводится к форме, для которой применяются методы слабой факторизации. В результате были получены данные о выходе звука из раздвоенного круглого волновода. Акустические модели сложной конструкции выхлопной трубы, содержащей звукопоглощающие вставки, обычно приводят к матричным уравнениям Винера-Хопфа, для которых авторами разрабатываются оригинальные методы численной факторизации [3, 4]. Однако есть и подходы, не относящиеся к этому методу. В работе [5] описан метод согласования режимов колебаний. Численные результаты демонстрируют влияние радиуса волновода, длины части оболочки и свойств звукопоглощающей оболочки на распространение звуковых волн в бесконечно круглой цилиндрической трубе с вставленным перфорированным экраном. Исследования распространения звуковых волн в волноводах с композитными стенками или перфорированными вставками приводят к связанным матричным уравнениям, для которых все еще необходимо найти подходящие методы факторизации. В случае распространения монохроматической волны или выделения собственных мод колебаний задачи решить проще. В этом случае можно добиться вполне приличного согласия с результатами по методу Винера-Хопфа. В работе [6] мы предлагаем новый подход, который позволяет аналитически оценить звукоизоляцию в результате отражения звуковых волн определенной частоты от многослойной стены. Подход основан на представлении решения уравнения для амплитуды монохроматической волны через базисные функции и нахождении всех коэффициентов линейных представлений в отдельных зонах композитной стенки из условий «сшивки» решения на границах отдельных слоев. Выполнение даных условий приводит к линейной системе алгебраических соотношений для коэффициентов представлений решений. Решая эту систему, мы находим коэффициенты отражения и пропускания через многослойную стенку, соответствующие заданной частоте. Анализ волновой динамики внутри многослойной структуры завершается перебором по всем частотам рассматриваемого спектра. Такой подход расширяет возможности всех имеющихся теоретических работ, проводимых в этом направлении. Кроме того, он позволяет детально описать характер распространения звуковых волн в направлении нормали к выбранным акустическим слоям и является альтернативой уже существующим подходам [3-5]. Цель настоящей работы - построение точного аналитического распределения для апериодической звуковой волны, которое в дальнейшем используется для тестирования алгоритмов разложения на монохроматические волны, используемые в анализе многослойных осесимметричных конструкций. Осесимметричное распределение для непериодической звуковой волны Непериодические решения волнового уравнения обычно появляются под влиянием начальных условий. Пусть, например, избыточное звуковое давление 7 Математика / Mathematics P(r, z, t) удовлетворяет волновому дифференциальному уравнению с осевой симметрией 1 д2 P д2 P 1 дР д2 P -г +----1--т дг2 r дг д z2 с2 д t2 = 0. (1) Будем искать решение дифференциального уравнения (1) в форме интегрального преобразования Фурье по переменной z: P(r, z, t) = -1J e-zX J ex\\f(£)d% G(X, t, r)d X. (2) Если в формуле (2) множитель G(X, t, r) положить равным единице, то эта формула превращается в тождество Фурье, т.е. функция f (z) = p(0, z,0) является распределением давления вдоль оси газовой трубы. Далее, для того чтобы давление P(r, z, t) удовлетворяло дифференциальному уравнению (1), множитель G(X, t, r) должен удовлетворять дифференциальному уравнению в частных про изводных следующего вида: д2 G 2 +1 - -X2G - -I дЩ = 0. 2 ~ я~ с2 д t2 (3) дr2 r дr с2 д t2 Применяя к уравнению (3) операционное исчисление по времени t, обозначим через G(X, p,r) изображение по Лапласу для функции G(X, t, r), т.е. положим (4) G(X, p, r) = p J e p tG(X, t, r) dt. 0 Из равенств (3) и (4) следует, что изображение G(X, p, r) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению dG + 1 ^-I X2 + р IG = 0. dr2 r dr ^ с2 1 ^ Одним из решений дифференциального уравнения (5), как известно из теории функций Бесселя [7], является функция Макдональда К0 (rj X2 + pV с2) , поэтому изображение по Лапласу для множителя G(X,t, r) можно записать в виде: G(X, p, r) = pK (,jaIp2 + P2 ), где a = -, P = Xa (6) Дальнейший успех при применении операционного исчисления, как обычно, зависит от того, сможем ли мы в справочных таблицах найти оригинал для изображения вида (6). В справочнике В.А Диткина и А.П. Прудникова [8, с. 346] мы находим более общее операционное соответствие между оригиналом и изображением, чем это нужно для формулы (6): 8 pK.+r- (о/p'' +Р’) (t-a )J 2a Vt2 -a2 aP V J. (pVt2 - a2 ) t < a, t > a. (7) Бородин В.И., Лун-Фу А.В., Бубенчиков М.А. и др. Точное решение основного уравнения акустики Оригинал здесь представляется в виде разрывной функции от времени t. Подставляя сюда ѵ = -1/2, получим О t a. (8) f2a У Vt2 -a Функция Бесселя с полуцелым индексом, согласно справочнику [7], равна J-i/2(z) =\\/~ \\ nz Таким образом, после подстановки (9) в (8) и последующих сокращений получим простое выражение для множителя G(X, t, r), входящего в решение (2): 0 ct < r, G(X, t, r) = | CTT л ГГ-2-П (10) -cos (ХуІc t - r ) ct > r. Само решение задачи об апериодической звуковой волне будет представляться теперь формулой - cos z. (9) 1 м м I P(r, z,t) = - J e-zX J e,K f(?)d? JC- cos Ыc2t2 - r2 ) dX. 2n -м -м ’ c^ + r (11) Если рассматривать важный частный случай начального распределения давления вдоль оси трубы в виде импульса Гаусса, то интегралы в формуле (11) возьмутся в явном виде, и в таком же явном виде получится и поле звукового давления P(r, z, t). Возьмем, например, функцию начального распределения давления вдоль оси трубы в виде: f (?) = Р0е-Ъ ?2. (12) Здесь Ро - амплитуда, а параметр 5 определяет размер начального импульса по оси z. Тогда для интеграла в квадратных скобках формулы (11), имеем м м I X2 J eiX\\f (?)d? = 2Р0 Jе-5 ?2 cosX?d? = pjП е~48. (13) -м 0 * Аналогично можно вычислить и интеграл по переменной X в формуле (11). В результате получим выражение для поля звукового давления: -8 (z Gc2t2 - P(r, z, t) = p lct - r 1 °V ct + r 2 + e -4ё2іг- (14) Полагая в этом решении r = 0, находим, что давление вдоль оси трубы меняется по закону Р(0, z, t) = Ро -8 (z+ct) . -8 (z-ct) е '■ ' + е ' ' (15) Когда время t = 0, формула (15) дает начальное распределение давления (12), но благодаря наличию члена ct поле давления состоит из двух импульсов Гаусса, которые движутся в противоположные стороны. Аналогичным свойством обладает и полное решение (14), но здесь скорость движения импульсов Гаусса зависит от радиуса г. 9 Математика / Mathematics Исходное уравнение (1) является однородным, поэтому оно будет справедливо для любой линейно преобразованной величины давления. Однако при этом начальный импульс давления Р0 должен быть представлен в соответствующем виде. Если же пространство заполнено воздухом при давлении 1 атм, то избыточное давление Р0 не должно превышать 5-6 атм. В противном случае в реальности возмущение давления будет распространяться не в виде звуковой, а в виде ударной волны. В результате мы получим другой режим движения среды, который описывается несколько иными уравнениями. Нами проведены расчеты при Р0 = 0,5 атм и 5 = 2 м (рис. 1, 2). На рис. 1 показаны линии постоянного давления (изобары), которые вычислены по формуле (14) в такой момент времени после начала движения акустической волны, когда расстояние ct равняется 10 м. 10 8 6 4 2 0 15 10 -5 0 5 10 15 20 0.4 0.3 0.2 0.1 0 z 0.5 0-- 10 9 10 20 8 7 6 5 4' 0 3 2 -20 1 0 -20 Z r Рис. 1. Линии постоянного звукового давления вне газовой трубы, вычисленные по формуле (14). Момент времени таков, что ct = 10 м Fig. 1. Lines of constant acoustic pressure calculated by formula (14) beyond the gas pipe. The time instant is such that ct = 10 m В нижней части рис. 1 интенсивность давления показана графически как поверхность вида P = P (r, z) в плоскости (r, z) при фиксированном значении расстояния ct. На рис. 2 представлено распределение звукового давления вокруг газовой трубы при нескольких значениях расстояния ct, пройденного акустическим возмущением. 10 -20 20 - 10 0 Бородин В.И., Лун-Фу А.В., Бубенчиков М.А. и др. Точное решение основного уравнения акустики -15 -10 -30 -20 -10 0 10 20 30 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -60 -40 -20 0 20 40 60 100 - 50 0 .4 .2 z Рис. 2. Линии постоянного звукового давления в расширяющейся звуковой волне при различных значениях параметра ct: ct = 10, 20, 30, 50, 100 м Fig. 2. Lines of constant acoustic pressure in an expanding acoustic wave at different values of the parameter ct: ct = 10, 20, 30, 50, and 100 m Как видим, звуковая волна от местного локального возмущения внутри газовой трубы уходит в бесконечность, расширяясь одновременно как в радиальном, так и в осевом направлении. Заключение Основным результатом работы является построенное точное аналитическое решение задачи о распространении осесимметричного акустического возмущения в безграничном пространстве. Согласно этому решению форма апериодической звуковой волны в автомодельных переменных ct - r и ct + r остается одинаковой во все время распространения начального возмущения fz). Таким образом, построенное решение справедливо лишь для однородной акустической среды. Тем не менее полученное распределение оказывается чрезвычайно полезным при тестировании алгоритмов разложения апериодического сигнала на монохроматические волны и соединении этих волн после прохождения многослойных акустических конструкций.

Скачать электронную версию публикации