Uniqueness of recovery of the Sturm-Liouville operator with a spectral parameter quadratically entering the boundary con.pdf Введение Во многих теоретических и прикладных задачах современной теории дифференциальных операторов весьма важную роль играют исследования, связанные с краевыми задачами со спектральным параметром в граничных условиях. Применение метода Фурье к смешанным задачам для уравнений в частных производ-15 Математика / Mathematics ных, в которых дифференцирование по времени входит в граничные условия, приводит к таким задачам. Подобные задачи довольно часто возникают при построении систем защиты приборов от ударного воздействия, исследованиях колебаний струны с грузом на конце, крутильных колебаний вала с маховиком на конце, колебаний антенн, нагруженных сосредоточенными емкостями и индуктивностями и др. (см.: [1, с. 45; 2, с. 161; 3, с. 215]). Исследованию краевых задач со спектральным параметром в граничных условиях посвящено большое количество работ. Наиболее известным объектом при решении таких задач служит оператор Штурма-Лиувилля. Прямые и обратные задачи спектрального анализа для этого оператора с разделенными граничными условиями и со спектральным параметром в граничных условиях полностью решены во многих работах (см.: [4-12] и литературу в них). Задачи восстановления с неразделенными граничными условиями, зависящими от спектрального параметра, рассмотрены в [13-17], где для восстановления неизвестных коэффициентов дифференциального уравнения и граничных условий используются как минимум два спектра и некоторые дополнительные спектральные данные. В статье [18] подробно исследована задача восстановления оператора Штурма-Лиувилля с граничным условием, содержащим линейную функцию спектрального параметра. Отметим, что в работе [19] дан краткий обзор результатов по обратным спектральным задачам для дифференциальных операторов второго порядка на отрезке с неразделенными граничными условиями. Приведены основные результаты и методы, связанные с обратными задачами для операторов Штурма-Лиувилля и диффузии с неразделенными (в том числе периодическими и квазипериодическими) граничными условиями. В настоящей работе исследуется обратная спектральная задача восстановления оператора Штурма-Лиувилля с неразделенными граничными условиями, одно из которых квадратично зависит от спектрального параметра. Доказана теорема единственности, и получен алгоритм решения обратной задачи. В качестве спектральных данных берутся спектр одной краевой задачи, некоторая последовательность знаков и некоторое число. Рассмотрим краевую задачу, порожденную на отрезке [0, л] уравнением Штурма-Лиувилля -y” + q (*) y = Х у (1) и граничными условиями вида: y(0) - у(л) = 0, У'(0) -(шХ2 +аУ + р) у(л) - у'(л) = 0, ^ ^ где q(х) - вещественная функция, принадлежащая пространству L2 [0, л], У спектральный параметр, а, в, m - вещественные числа. Эту задачу будем обозначать через P. При m = а = в = 0 граничные условия (2) оказываются периодическими. Обратные спектральные задачи в этом случае (а также в случаях антипериодических и квазипериодических граничных условий) разными методами полностью решены (см.: [20-22] и литературу в них). Характеристика спектра задачи P с граничными условиями без спектрального параметра (m = а = 0) подробно исследована в работе [23] (также см.: [24]). Имеется немного работ, относящихся к краевой 16 Маммадова Л.И., Набиев И.М. Единственность восстановления оператора Штурма-Лиувилля задаче P в случае m = 0, т.е. когда граничные условия линейно зависят от спектрального параметра (см.: [13-18]). Отметим, что обратные задачи в случае m ф 0 ранее не изучались. В дальнейшем будем полагать, что та ф 0. Постановка обратной задачи. Теорема единственности Спектр задачи P совпадает с множеством нулей целой функции экспоненциального типа Д(Х) = c (л, X) + (mX2 + aX + p) 5 (л, X) + s'(л, X)-2, (3) которая называется характеристической функцией краевой задачи P. Здесь c(x, X), s(x, X) - решения уравнения (1), удовлетворяющие начальным условиям c(0, X) = s '(0, X) = 1, c '(0, X) = s(0, X) = 0. Известно [20, c. 38], что для функций c (л, X), s (л, X) и s'(л, X) справедливы следующие представления: ! 2 .sin Xл f (X) c (л, X) = cos Xл + A--1--, X X (4) / „ч sin Xл .cos Xл f2 (X) v ’ X X2 X2 (5) л\\ л .sin Xл f (X) s (л, X) = cos Xл+ A--+ v , X X (6) (x)dx, f (X) - четная, а f (X), f (X) - нечетные целые функции 1л где А = - J q 2 0 экспоненциального типа не выше п, суммируемые с квадратом на вещественной оси. Учитывая эти представления и используя теорему Пели-Винера [25, с. 47], из (3) получаем Д^) = mX sin Xл+ (2-mA) cos Xл+ а sin Xл + f (X) - 2 , (7) 7t где /(X) = J 7 (t)ea,dt, /(/) e L2 [-л, л] . -л С помощью представления (7) и теоремы Руше легко устанавливается, что краевая задача P имеет счетное множество собственных значений цк (к = + 0, +1, + 2,...). Для этих собственных значений при \\к\\ имеет место следующая асимптотическая формула (см.: [26]): 2 Г(--)к --] + mA %к Цк = к + л mk к К }6 l2 (8) Обозначим ал = sign[l -Is'(л,X„)|], и = ±- + 2,..., (9) где Х„ - нули функции s(л, X), квадраты которых есть собственные значения краевой задачи, порожденной уравнением (1) и граничными условиями Дирихле X (0)= X (л) = 0 . (10) 17 Математика / Mathematics Обратная задача ставится следующим образом: Обратная задача. Зная последовательности {цk}, {an} и число в, восстановить краевую задачу P. Справедлива следующая теорема единственности: Теорема. Краевая задача P однозначно восстанавливается, если известны ее спектр {цk}, число в и последовательность знаков {an}. Доказательство. Из асимптотической формулы (8) следует, что ц2к = 2k + т -+ -^, 2 п к 2 к Ц2к+1 = 2^ + 1 + ' mA - 4 ■ = 2 к mA 4 т| к к к к + 1 +-+ - , к к к2 . ->_и к 1к} 2 (2к + 1)п m 2к +1 2 п тк к Отсюда параметр m можно определить по формуле 2,- 1 т = - lim - (11) П кк (к -Ц2к+1 + 1)' Зная спектр {ц4} и параметр m характеристическую функцию A(X) как целую функцию экспоненциального типа можно восстановить в виде бесконечного произведения следующим образом (см.: [26]): A(X) = тп(ц-0 -Х)(ц+0 -X) П к=-« к *0 Цк-X к (12) Из представления (7) при X = 2к + - получаем а| 2к + Ц = [ 2к + Цт + a + f | 2к +1 |- 2 . Поэтому параметр а определяется по формуле a = lim к А| 2к +1 |-І 2к +1 |т + 2 1 (13) так как в силу леммы Римана-Лебега lim f ^ 2к + - J = 0. Поскольку функции c (п, X), 5 (п, X) и s'(п,X) являются четными, то, используя соотношение (3), функцию s(п, X) можно определить следующим образом: A(X)-A(-X) s (п, X) = ■ 2aX (14) Отсюда находим нули Xn, n = ±1, ±2,..., функции s(п,X). Из четности функции (14) следует, что X и = -XB. Рассмотрим функции и+ (X) = c(п, X) + s'(п, X), (15) и_ (X) = c (п, X)-s’(п, X). (16) 18 Маммадова Л.И., Набиев И.М. Единственность восстановления оператора Штурма-Лиувилля Ввиду (3) функция и+ (А) восстанавливается по формуле и+ (А) = А (А)-(тА2 + аА + р) s (л, А) + 2. (17) Покажем теперь, что кроме спектра {ц4} и числа в (по которым, как было показано выше, однозначно восстанавливаются и+ (А), s (л, А), т, а) достаточно задать еще последовательность {сти} для того, чтобы восстановить функцию и (А), а значит, и функцию s'(л,А) = 1 [и+ (А)-и_ (А)]. (18) Действительно, так как Ап, п = ±1, ± 2,..., являются нулями функции s(л, А), то из тождества с (л, А) s' (л, А) - с' (л, А) s (л, А) = 1 следует, что с (л, Ап ) s'(л Ап ) =1 . (19) Возведя в квадрат обе части каждого из соотношений (15) и (16) и вычитая полученные равенства, имеем и2 (А) - и2 (А) = -4с (л, А) s' (л, А). Полагая в этом равенстве А = Ап и учитывая соотношение (19), получим и-2 (Ап)- и2 (Ап) = -4 . Поэтому и- (Ап) = signM- (Ап ь/и+ (Ап)- 4 . (20) Принимая во внимание перемежаемость нулей функций s (л, А) и s'(л, А) и представление (6) функции s'(л, А), имеем sigm'^ Ап ) = (-1)п. Тогда согласно (9), (16) и (19) sign и- (Ап ) = sign [с ([ Ап ) ■- s’ (л, Ап )] = . 1 -[s (л, Ап )] = Sign ,( .4 ] s (л, Ап) - s'(^ Ап ) 1 = Sign ?'(лЛ) . 1 - Is' (з Ап )\\ , іЛп = Sign-- =(-1) СТп . Подставляя это в (20), получаем (21) и- (Ап ) = (-1 )п Пп4112 (Ап )- 4 . Из представлений (4)-(6) видно, что функции и- (А) и s(л, А) являются четными целыми функциями экспоненциального типа не выше п и Аи- (А) = Л (А) - /з (А) 6 L2 (^

Скачать электронную версию публикации