The limit distribution of the perimeter of a convex hull generated by a Poisson point process in a convex polygon.pdf Введение Настоящая работа является продолжением работы [1] на двумерный случай. Здесь исследуются различные функционалы от выпуклой оболочки, являющейся обобщением крайних элементов выборки при оценивании носителя распределения в случае, когда носителем является выпуклое ограниченное множество. Выпуклая оболочка как оценка носителя распределения в многомерном случае сохраняет многие свойства одномерных оценок, такие как состоятельность, асимптотическая несмещенность и достаточность. Работы по изучению случайных выпуклых оболочек в многоугольниках и различных функционалов от них принято относить к области стохастической геометрии. Следует отметить, что изучение свойств даже простейших функционалов от выпуклых оболочек, таких как число вершин или площадь, является совсем не простой задачей (см., напр.: [2-4]). Этим и объясняется тот факт, что до появления работы P. Groeneboom [5] основной прогресс в этой области был достигнут лишь в изучении свойств средних значений подобных функционалов. Ему удалось доказать центральную предельную теорему для числа вершин выпуклой оболочки в случае, когда носитель исходного равномерного распределения представляет собой либо выпуклый многоугольник, либо эллипс. Основное достижение P. Groeneboom состоит в том, что он догадался использовать известное свойство однородных биномиальных точеч-45 Математика / Mathematics ных процессов, состоящее в том, что вблизи границы носителя такой процесс почти неотличим от однородного пуассоновского точечного процесса. Эта идея позволила ему уменьшить количество проблем, которые он собирался решить при исследовании асимптотических свойств биномиальных точечных процессов. Дальнейшая техника была связана с применением таких мощных аналитических аппаратов, как мартингалы, сильно перемешивающиеся стационарные процессы и т.д. В работах [6-8], учитывая близость биномиальных точечных процессов к пуассоновскому, исследованы вершинные процессы выпуклой оболочки, порожденной пуассоновским точечным процессом. А именно, в работе [7] путем сочетания идеи [5, 9] и применения экспоненциального неравенства В.В. Петрова [10] для суммы случайных величин получена сходимость по вероятности разности между 2T и периметром выпуклой оболочки, находящейся внутри диска радиуса T, при T ^да в конусе к некоторой случайной величине, имеющей распределение, отличное от нормального.. В данной работе получила свое развитие идея работ [5, 7, 9]: в каждой вершине выпуклой оболочки рассматривается некоторая е-окрестность и доказывается асимптотическая независимость случайных величин, которые являются разностью между 2е и периметром выпуклой оболочки, оказавшейся внутри диска радиуса е, при n ^да . Поэтому мы считаем, что достаточно рассматривать случайные точки X, XX, заданные на одном и том же вероятностном пространстве, как реализации однородного пуассоновского точечного процесса (о.п.т.п.) Пп(•) с интенсивностью nk( •), где Х(0 - Лебегова мера на плоскости. Нетрудно заметить, что, обозначив Tt =\\fnXj, можно считать T,T,...,T,... случайными точками реализации о.п.т.п. П(•) в ^fnA с интенсивностью Х(0, где A - носитель распределения. Рассмотрим Сп - выпуклую оболочку, натянутую на X,X,...,X,... В этой работе мы исследуем предельное поведение периметра выпуклой оболочки в многоугольнике A при n ^ да, и нас будет интересовать совместное предельное распределение следующих функционалов от Си: общего числа вершин vn, площади sn и периметра /и. Прежде чем сформулировать основные результаты, введем необходимые обозначения. Пусть /0 и s0 - периметр и площадь многоугольника A соответственно. Положим ln = l0 _ ln , sn = s0 _ sn . (1) Справедлива следующая основная Теорема 1. Если Cn - выпуклая оболочка, порожденная реализацией пуассоновского точечного процесса в выпуклом г-угольнике A с интенсивностью nk(, то случайная величина оС при n ^ да асимптотически независима от (ѵи, ). Более того, она сходится по вероятности к случайной величине, представимой в виде суммы независимых случайных величин, ^ = и0(ст( + и'(ст', где ст, ст' определяются далее равенством (43), а о0, и «0,. - равенством (45). 46 Хамдамов И.М., Чай З.С., Шарипова Л.Д. Предельное распределение периметра выпуклой оболочки При доказательстве настоящей теоремы нет особой нужды в использовании мартингалов, сильно перемешивающихся стационарных процессов и т.п. Вполне достаточно аналитических и прямых вероятностных приемов. 1. Вспомогательные результаты Пусть К - конус, образованный двумя лучами Cf = (z : z = tej,t >0), = 1,2, где e и e2 - единичные векторы. Обозначим через а угол между e и e и положим e0 = (ei + e2 )/2 . (2) Ясно, что (z, e) > 0 для всех z еК . Пусть далее П(-) - о.п.т.п. с интенсивностью Х(-). Обозначим через П(К) сужение этого процесса на K. Рассмотрим выпуклую оболочку C', порожденную П(К), и множество ее вершин Z. Обозначим через z0 е Z ту из вершин, для которой (e0, z - z0) > 0 для всех z е Z . Очевидно, что z0 определена однозначно почти наверное. При этом прямая (^z - zo ) = 0 (3) является опорной для C'. Рассмотрим треугольник, образованный лучами l, i = 1,2, и опорной прямой (3). Множество внутренних точек этого треугольника обозначим через 5о, а его площадь - через ^о (рис. 1). Рис. 1. Вершина zo, соответствующая опорной прямой (ео, z - го) = 0 Fig. 1. The vertex zo corresponding to the support line (ео, z - zo) = 0 47 Математика / Mathematics Из рис. 1 видно, что / x + у tg V а 2 А2 . sin а, (4) где у - ордината zo. Положим (5) У sin а| x + у tg I а где х - абсцисса точки z0. Пронумеруем теперь вершины C', обходя границу против часовой стрелки. Поскольку z уже определена, то тем самым каждая из вершин получает свой номер j, - со< j < со. Выберем на луче \\ последовательность точек у = хе,. j > 1, лежащих на пересечении и прямых, проходящих соответственно через вершины z ._j и z}. Точки у = у , j > 1, получаются аналогичным образом в результате пересечения /2 и прямых, проходящих соответственно через вершины zj и zj+і. Пусть 8. , j Ф 0, - множество внутренних точек треугольника с вершинами z ._^ уу1 , у2, если j > 1, и вершинами z .+j, у .+j, у2 , если j 1, или до луча /2, если j < -1. Тогда (7) о j -1(xj- xj -1V2, если j >1, оj+■ 1(yj- yj+іѴ2, если j (1 -оjlOj-1 )2, если j > 1, л, = < j ! \\2 ,(1 -Ojf Oj+1) ’ если j t), Ѳ T = inf {-j: yj > t), (9) s =j£l + Ъ2 + ■■■ + Ъп если « > 1 s< П-1 +Ъ-2 + - + Ъ-И,если n> 1 [ 0, если n = 0, [ 0, если и = 0. Положим 2 10 a(T) = - logT, p2(T) = - logT. (10) Справедлива следующая лемма (см. [6]): Лемма 3 (Форманов-Хамдамов). В наших условиях при T - ж (P(T))-1 (Ѳ -a(T),ST -a(T)) ^ N(0,B). d - Здесь ^ означает слабую сходимость, N(0, B) - нормально распределенный случайный вектор с нулевым вектором средних значений и ковариационной мат- (1 1 рицей B = 1 ғ ^1 14/5 Обозначим через /ти длину участка границы C между точками z_m и zn . Положим d = 1 --+ ctg a sin a (11) Справедлива следующая Лемма 4. Если min {m, n) - ж, то случайная величина t'm + tB - /^ сходится почти наверное к случайной величине Z, представимой в виде: С = ч ст+и0ст', где а и а' одинаково распределены и условно независимы при заданных u0 и U, причем a = £(d + Pj ^/i + pj)-(1 -Tj)Птк . (12) j=1 ' ' к=1 Лемма 4 доказывается аналогично теореме 1 из [7]. 2. Разбиение границы выпуклой оболочки на условно независимые части В отличие от [5], мы приведем подробное доказательство теоремы, которое в силу словесного описания геометрических объектов несколько усложняет изложение, но устраняет некоторые неясности, имеющиеся в указанной работе. 49 Математика / Mathematics В соответствии с замечанием во введении нам достаточно получить предельное распределение для периметра l'n и его связи с числом вершин ѵ'п и площадью s'n выпуклой оболочки Cn, порожденной точками T,T,...,T,••• реализации о.п.т.п. П(•) на множестве yfnA . Поясним схему дальнейших рассуждений. Сначала мы разобьем границу C[ на 2r условно независимых частей таким образом, что каждому из r углов многоугольника A будет соответствовать два элемента этого разбиения. Тем самым каждый из интересующих нас функционалов ѵП и s’n будет представлен в виде суммы 2r случайных величин. Затем воспользуемся результатами [6] (см. лемму 3), где установлена асимптотическая независимость и нормальность этих случайных величин в конусе. Таким образом, общие принципы исследования проблемы у нас такие же, что и в работе [5], хотя их реализация совсем иная. Обозначим через а(і), i = 1,2,...,г , вершины r-угольника A - носителя исходного равномерного распределения. Пусть при некотором е > О В. =nf|5'(a('),s), (13) где S(z, е) - круг радиуса е с центром в точке z. Пусть далее Пиі - сужение Пп (•> в конусе К,- с вершиной а(і) и образующими лучами Д и Д, проходящими через а(+1) и а(і-1) соответственно, где і = 1,2,...,г . Понятно, что а(-1) = а(>, а(r+1) = а(1) . Пусть воі играет по отношению к К, ту же роль, что играл вектор е0 по отношению к К в разд. 1. Напомним, что е0 определяется равенством (2), точнее e0i = 2 а(і+1) - а(і) а(і-1) - а(і) \\\\а(і+1) - а(і) \\\\а(і-1) - а(і) Обозначим через Cni выпуклую оболочку, порожденную Пяі. Условимся обозначать через Zni множество вершин Cra.. Далее, если множество вершин C'n обозначим через WJ, то выделим в Zni и WJ элементы z0l и w0l., обладающие тем свойством, что прямые (e0j., w - z0i) = 0 и (e0l., w - w0l.) = 0 являются опорными для Cni и Cn соответственно. Положим X ={n: z0/ = w0, і = 1,2,...r} (14) и X ={л :z0,. eД, і = 1,2,...r}, (15) где п - реализация Пп, а Д определяется равенством (13). Тогда при n да P(X) ^ 1, і = 1,2. (16) Из (14)-(16) следует, что с вероятностью, близкой к 1, граница каждой оболочки Cm имеет непустое пересечение с CП. Заметим, что точки w0l, г = 1,2,...,г, делят границу C[ на r частей. Каждую из них нам остается разбить еще на две 50 Хамдамов И.М., Чай З.С., Шарипова Л.Д. Предельное распределение периметра выпуклой оболочки части. Пусть w(,) - та из вершин W с С'п, для которой прямая (p., w - w(i)) = 0, где p ± (a(i+1) - a(i)), является опорной к СП, т.е. w(i) есть ближайшая из вершин W к лучу Іл. Более того, с ростом n вершина w(r) неограниченно сближается с этим лучом, т.е. (pt, w(‘) - a(‘)) ^ 0 . Поскольку условное распределение w(i) на отрезке опорной прямой (pt, w -w(i)) = 0, лежащем в A, при условии, что (pt, w(,) - a(,)) = t, равномерно, то limliminf P s^0 п^х „(0 j=1 = 1. (17) Отсюда следует, что и limliminf P s^0 п^х ■V\\Bj 7=1 = 1. (18) где wt - основание перпендикуляра, опущенного из wt на la. Рассмотрим £3 = |л \\Wi е Q_Sy, i = 1,2,...гI. Из (17) и (18) следует, что для любого s > 0 можно найти N > 0 такое, что при всех достаточно больших п > N будет выполняться неравенство P(X) ^ 1 - s . В дальнейшем, не оговаривая специально, мы будем рассматривать только те 3 реализации Пв, которые содержатся в Р|Д( . Для таких реализаций и1"'. 7=1 i = 1,2,...,г , лежат между w0i и w0(i.+1}. Таким образом, граница С'п поделена на 2r частей. При этом, согласно определению, эти части при заданных w0i, w(i), i = 1,2,..., r , условно независимы. Теперь выбираем аппроксимирующие функционалы. Займемся участком границы СП между вершинами w01 и w(1). Участок между w(r) и w01 исследуется вполне аналогично. Пронумеруем вершины СП, обходя границу против часовой стрелки, начиная с w01. В результате на рассматриваемом участке границы получим w., j = 0,1,2,...,|г, где w0 = w0i, = w(1). Аналогичную операцию продела ем и с вершинами z е Св1, получив в результате Zj, j = 0,1,2,..., где, согласно (14) и (16), Z0 = w0i = w0 . Для того чтобы использовать свойства о.п.т.п., описанные в разд. 1, нам необходимо перейти от П(•) к Пи (•). При таком переходе линейные характеристики _1 _1 _1 _1 х., у., u., о., р. перейдут в хП = п 2Xj, уП = п 2у, иП = п 2у. , оП = п 2 Vj соответственно, тогда как площадь ^ треугольника 8 . перейдет в = п_1^j. Без-51 Математика / Mathematics размерные величины q , т., р. при таком переходе останутся без изменения. Образы Zj при таком преобразовании мы будем обозначать как z' . Пусть T = e^/n, T = hjn , где h - длина стороны A, соединяющей вершины а(1> и а(2>. В соответствии с (9) положим ѳ = ѳт, х = ѲГі• (19) Тогда а X = inf {j: x'j > h} . Ө = inf {j: x' >e} , Напомним, что x} и x' строятся по вершинам Zj_j, z} и z'j_i, z' соответственно. Также отметим, что w. = z', по крайней мере при 0 - j - х-1. Пусть далее Р =^1+^2 + ••• + ^Ѳ , (20) а ?=^+гц+•••+£,;. (21) Положим где ѳ* = Ѳ-а Рі Р np -а (22) а = - log n, Р. '5log n 27 Р2 14log n 27 Из (20), (21) и леммы 3 следует что (Ѳ*, p) ^ ю , (23) (24) где ю из леммы 3. Положим теперь X =х-а q =nq - а рі р2 Согласно следствию 3 из [6], учитывая (21) и (23), имеем (25) ѳ-хд0 n(р-q> Р. , Р. 0. (26) Из (22)-(26) следует, что (х*, q* > . (27) Характеристики (Ѳ', р'), аналогичные (х', q'), построенные по участку границы C' между вершинами w(r) и w01 = w, также обладают свойствами (24) и (27). При этом важно, что они асимптотически независимы от Ѳ, х, Р и q. Не менее важно то, что Ѳ, Ѳ', p ир’ полностью определяются по сужению Пп на Б1. Отсюда следует, что аналогичные характеристики Ѳ , Ө', pt, р' независимы в совокупности для участков границы, отвечающих углам с вершинами a(,), i = і, 2, •••, r. Аналогично (22) и (25) имеем 52 Хамдамов И.М., Чай З.С., Шарипова Л.Д. Предельное распределение периметра выпуклой оболочки (28) Ѳ - 2га „ _ nP - 2га Р^/2т р 2Ѵ27 где Ѳ = Х^ +ѳ;), P = £(Pi + p'i) . (29) /=1 /=1 В силу независимости слагаемых в (Ѳ, +Ѳ',p. + p'j), i, j = 1,2,...,г , из (24) по лучаем (Ѳ, P) . Наконец, по аналогии с (28) введем [-2га О-2га X* =■ Q* =■ Р2\\/2г (30) где х = Z (X/ + х'Х Q = Xto +

Скачать электронную версию публикации