Simulation of the stress state in barriers made of anisotropic materials.pdf Введение Исследование упругопластических и прочностных свойств анизотропных материалов сопряжено с преодолением ряда сложностей. В случае исследования свойств в субмикросекундном диапазоне важную роль играют зависимости величин всех регистрируемых скоростей распространения волн (упругих, пластических) от направления [1-3]. Сложной задачей является определение связи зарегистрированных в натурных экспериментах профилей скоростей распространения волн как интегральных характеристик напряженного состояния материала преграды и механических характеристик анизотропных материалов. При распространении волн в области упругих деформаций связь скоростей распространения волн с упругими постоянными анизотропных материалов однозначна. В области 90 Кривошеина М.Н. Моделирование напряженного состояния в преградах из анизотропных материалов пластических деформаций нелинейность зависимости давления от степени сжатия, а также от направления приводит к необходимости создания новых математических моделей, позволяющих устанавливать связи механических характеристик анизотропных материалов. Создание новых математических моделей, пригодных для численного моделирования процессов деформирования материалов, характеризующихся анизотропией различных механических свойств, является актуальной задачей. Такие математические модели логично адаптировать для апробации в новых численных методиках. Для апробации таких математических моделей удобно рассматривать процессы деформирования и разрушения в монокристаллах, характеризующихся существенной анизотропией упругих, пластических и прочностных свойств, например в цинке, обладающем трансверсальной анизотропией упругих свойств и заметной анизотропией пластических и прочностных свойств, в частности откольной прочности. В натурных экспериментах, проводимых для исследования упругих, пластических и прочностных свойств монокристалла цинка, авторами серии работ [1-3] наблюдались эффекты, делающие невозможным определение динамического предела текучести независимо от скорости ударного нагружения преграды из монокристаллического цинка в направлении [0001]. В рамках математических моделей, в которых равномерной объемной деформации соответствует шаровая часть тензора напряжений (давление), эти эффекты невозможно объяснить. Но возможно объяснить при использовании математической модели, в которой объемной деформации соответствует давление, зависящее от направления. В области упругих деформаций сжатия в качестве свойства материала, характеризующего величину анизотропии возникающего напряжения, можно использовать величину, обратную линейной сжимаемости - модуль линейного сжатия. В области пластических деформаций напряжение, соответствующее объемной деформации, зависит не только от степени сжатия материала, но и от процессов, описываемых тепловой частью давления. Из-за анизотропии механических свойств монокристаллического цинка появляется необходимость учета анизотропии линейной сжимаемости и коэффициентов Грюнайзена в уравнениях состояния при определении напряжений в каждом из направлений трех расчетных осей координат. Часть давления, называемая холодной, определяется с использованием различных значений линейных характеристик сжимаемостей в зависимости от направления. По мере роста уровня напряжений возрастает роль тепловой части напряжения, определяемой с помощью коэффициентов Грюнайзена. Коэффициенты Грюнайзена также имеют некоторую анизотропию для ряда материалов. В частности, у монокристаллического цинка минимальные значения холодной и тепловой частей напряжения совпадают в направлении оси шестого порядка [4, 5]. С помощью коэффициентов Грюнайзена определяют тепловую часть давления, которое обусловлено тепловыми колебательными движениями атомов около узлов кристаллической решетки и пропорционально плотности энергии этих колебаний [6]. Особый интерес представляют функции Грюнайзена для анизотропных материалов, ауксетиков, а также материалов, имеющих в некоторых температурных диапазонах отрицательные значения модулей линейного либо всестороннего температурного расширения. С ростом температуры вклад тепловой части давления растет и может сравняться с холодной частью давления и даже превзойти ее [5]. Применение математической модели, позволяющей учитывать 91 Механика / Mechanics анизотропию холодной и тепловой частей давления для определения напряженного состояния преград, будет полезным в случаях, когда максимальные и минимальные значения коэффициентов Грюнайзена и модулей линейного сжатия совпадают по направлениям. В работе методом конечных элементов в трехмерной постановке проведены исследования напряженного состояния преграды из монокристалла цинка в условиях ударного нагружения с учетом анизотропии упругих, пластических свойств и анизотропии коэффициента Грюнайзена. Цель работы -исследование влияния учета анизотропии в холодной и тепловой частях давления на скорость тыльной поверхности преграды при численном моделировании процесса ударного нагружения преграды из анизотропного материала. Анизотропия коэффициентов Грюнайзена Величины коэффициента Г рюнайзена вдоль и перпендикулярно оси шестого порядка для материалов, характеризующихся трансверсальной изотропией упругих свойств, определяются по формулам [4, 5] Уц = --[С33ац+2С13(х±], (1) Y± = тг[(Сц +сі2)а± +Сізац], (2) где уц, у - коэффициенты Грюнайзена, осц, а - коэффициенты теплового расширения вдоль и перпендикулярно оси шестого порядка, Ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении, V - объем, Ср - коэффициенты матрицы упругих постоянных [4]. Существует зависимость величин коэффициентов Г рюнайзена от температуры. Для монокристаллического цинка при температуре ниже 120 К у < уц и а < осц, 'X при температуре 120 К у = Уц, а при температуре выше 120 К у > уц. При температуре Дебая для цинка (300 К) сохраняется значительная анизотропия значений коэффициентов теплового расширения: ос± = 13.2-10 '' град ос. = 63.5-ІО4 град4. Значения коэффициентов Грюнайзена для монокристалла цинка в этих направлениях составляют: у_|_ =2.15, уц = 1.9 [5]. Анизотропия линейной сжимаемости При моделировании процесса упругих деформаций используется обобщенный закон Гука, записанный в полных напряжениях и деформациях. При моделировании упругопластических деформаций для определения границы перехода необходимо обеспечить разложение тензора полных напряжений на части, соответствующие изменению объема и изменению формы. Тензор полных напряжений в случае упругих деформаций раскладывается на части, соответствующие девиа-торной и сферической частям тензора полных деформаций, т.е. на девиаторную часть и анизотропное давление [7]: 92 Кривошеина М.Н. Моделирование напряженного состояния в преградах из анизотропных материалов CTj = Sij - P , (3) где Sj - компоненты девиаторов напряжений; PiJ- - анизотропное давление. В области упругих деформаций Sj = Cijkieki, где i,j, k, 1 = 1, 2,3. (4) Pij = Pe^ij , (5) ^ ij = Cijkl&kl ! 3К a , (6) Кa = Cijkl&ij &kl ! 9 , (7) Pe = &yCijkl&ij&kl /3 . (8) Здесь Ка - модуль объемного сжатия; 8Н - символ Кронекера; вы - компоненты девиатора деформаций; Ci]kl - компоненты тензора упругих постоянных 4-го ранга, еу - объемные деформации. В области упругих деформаций еу =(е11 +е22 +е33). Сумма обобщенных символов Кронекера Xij- всегда равна трем, поэтому P11 + P22 + P33 = зр. Применение обобщенных символов Кронекера позволяет вычислять анизотропное давление, этот прием эквивалентен использованию в направлении каждой расчетной оси координат величину, обратную линейной сжимаемости [8, 9]. Моделирование упругих деформаций с использованием разложения тензора полных напряжений (3) эквивалентно вычислениям в полных напряжениях. В области пластических деформаций используется разложение тензора полных напряжений в виде (3). Для определения изотропной величины давления всестороннего сжатия Pe используется уравнение состояния в форме Ми- Грюнайзена, в котором суммируются холодная и тепловая части: + К0рЕ. Pe = 2 К n=1 (у ѵ V у0 1 - Ко у-1 (9) Здесь К, К2, К3 - характеристики материала, К0 - коэффициент Грюнайзена, Е - энергия упругой деформации, р - плотность, еу = \\ - -11, где V, Vo - текущий и начальный объемы. Для обеспечения непрерывности функции давления при переходе от упругих деформаций к пластическим полагалось, что анизотропия холодной части давления в области пластических деформаций совпадает с анизотропией давления в области упругих деформаций; величина тепловой части давления при переходе от упругой деформации к пластической мала и ею можно пренебречь. Учет анизотропии тепловой части давления происходит за счет замены К0 на у,, и у± . 93 Механика / Mechanics Постановка задачи ударного нагружения преграды из анизотропного материала На рис. 1 представлена постановка задачи для численного моделирования ударного нагружения изотропным алюминиевым ударником D\\ преграды из монокристалла цинка D2, которая соответствует граничным условиям в натурных экспериментах [3]. Дискретизация объемных конфигураций ударника (D\\) и преграды (D2) выполнена с помощью тетраэдров, количество тетраэдров в ударнике 25 920, в преграде - 227 430. Рис. 1. Начальная конфигурация ударника и преграды Fig. 1. Initial configuration of the impactor and barrier При численном моделировании процесса ударного нагружения преграды используются компоненты матрицы упругих постоянных монокристалла цинка из [10]. Их значения: Сп = 61 042 МПа, С22 = С33 = 161 018 МПа, С\\2 = 49 988 МПа, С23 = 34 129 МПа, С6в = 38 292 МПа. Для моделирования процессов деформации в анизотропных материалах используется система уравнений, описывающая нестационарные адиабатные движения сжимаемой анизотропной среды: уравнение неразрывности, уравнения движения сплошной среды и уравнение энергии [11]. Цинк характеризуется минимальными значениями коэффициента Грюнайзена и величины, обратной линейной сжимаемости в направлении оси шестого порядка, а в плоскости изотропии - максимальными. В области пластических деформаций значения тепловой части давления определяются отдельно с учетом анизотропии коэффициентов Грюнайзена. Величина анизотропного давления вдоль каждой расчетной оси состоит из суммы холодной и тепловой частей давления. Анизотропия девиатора напряжений в области пластических деформаций моделируется с использованием функции пластичности Мизеса-Хилла 1948 г. После выполнения условия выхода на эллипсоид текучести компоненты девиатора полных напряжений вычисляются по теории пластического течения с изотропным упрочнением [11]. Моделируется процесс упругопластического деформирования и разрушения [12]. Упругопластическое деформирование изотропного материала ударника проводилось с использованием модели Прандтля-Рейсса [12]. Напряжения, определенные в конечных элементах ударника или преграды, жестко повернутых в пространстве, пересчитываются с помощью производной Яуманна [12, 13]. В расче-94 Кривошеина М.Н. Моделирование напряженного состояния в преградах из анизотропных материалов тах, как и в натурных экспериментах, начальная скорость алюминиевого ударника составляет 650 м/с, толщина ударника - 0.85 мм, толщина преграды из монокристалла цинка - 1.7 мм [1]. Результаты Использование изотропного давления, вычисленного с помощью величины модуля объемного сжатия, приводит к отсутствию анизотропии в величинах скоростей распространения пластических волн в анизотропных материалах в любых направлениях. Вычисление анизотропного давления на основе модулей линейного сжатия позволяет получить различные скорости распространения объемных волн в зависимости от направления благодаря замене в формуле для определения скорости распространения волны величины модуля объемного сжатия на величину, обратную линейной сжимаемости в направлении оси симметрии цинка. Использование анизотропного давления позволило вычислить близкие значения скоростей распространения продольной и объемной волн в направлении [0001] - 2 742 и 2 923 м/с. В натурных экспериментах столь близкие значения не позволяют выявить отличия во времени выхода упругой и пластической волн сжатия на тыльную поверхность преграды [1-3]. На рис. 2 показаны полученные в натурных экспериментах профили скоростей волн сжатия, вышедших на тыльные поверхности преграды, для случаев нагружения, совпадающих с направлениями [0001] или [1010] монокристалла цинка. Регистрация скоростей распространения волн начинается с момента их выхода на тыльную поверхность преграды. В направлении [0001] скорость распространения упругой продольной волны выше скорости распространения объемной волны сжатия на 181 м/с, и столь малое отличие не позволяет наблюдать выход упругого предвестника отдельно от пластической волны сжатия. В направлении [1010] скорость распространения упругой продольной волны превышает скорость распространения упругой объемной волны на 1 367 м/с. На кривой (1010) отчетливо виден выход упругого предвестника и более поздний выход пластической волны сжатия со скоростью объемной волны. Рис. 2. Профили скоростей свободных поверхностей образцов монокристаллов цинка при нагружении в направлении [0001] и [1010] ударом алюминиевых пластин с начальной скоростью удара 650 м/с [2] Fig. 2. Velocity profiles for free surfaces of single crystals of zinc samples under loading in the direction of [0001] and [1010 ] by an impact of aluminum plates with an initial impact velocity of 650 m/s [2] 95 Механика / Mechanics На рис. 3 представлены аналогичные профили скоростей тыльных поверхностей преград, полученные численно в трехмерной постановке методом конечных элементов [14] с использованием предложенной математической модели. При ударном нагружении в направлении [0001] откольное разрушение преграды моделировалось как хрупкое по достижении предельных значений напряжений. Предельные значения напряжений вдоль оси шестого порядка (9 ГПа) и в плоскости изотропии (15 ГПа) подбирались численно из условия соответствия экспериментальному профилю скорости волны сжатия. При ударном нагружении в направлении [1010] откольное разрушение преграды моделировалось как вязкое на основе подхода [12, 15] по достижении пористости материала преграды предельного значения. Моделирование процесса вязкого разрушения отражает процесс накопления микропор в волнах растяжения, их слияния, объединения в единую магистральную трещину. Процесс накопления пористости в анизотропном материале преграды зависит от величин анизотропного давления, соответствующих различным направлениям осей координат [12]. Для монокристаллического цинка Хц = 0.742 (вдоль оси шестого порядка), X22 = Х33 = 1.13 (перпендикулярно оси шестого порядка), т.е. анизотропия холодной части давления в области упругих и начальных пластических деформаций, определяемая согласно уравнению (5), составляет 1.5. На рис. 3 отличия времен выходов волн сжатия на тыльную поверхность преград определяются различиями величин скоростей распространения упругих продольных волн в направлениях [0001] и [1010]. В случае ударного нагружения вдоль направления [1010] характерно наличие полочки упругого предвестника (показано стрелкой), которое наблюдается в натурных экспериментах при исследовании свойств в абсолютном большинстве изотропных и анизотропных материалов из-за превышения скоростью распространения продольной волны скорости распространения пластической волны сжатия в рассматриваемом направлении. Рис. 3. Вычисленные профили скоростей свободных поверхностей преград из монокристаллов цинка при ударном нагружении алюминиевой пластиной с начальной скоростью 650 м/с: в направлении [0001] и в направлении [1010] Fig. 3. Calculated velocity profiles for free surfaces of the barriers made of zinc single crystals under impact loading by an aluminum plate with an initial velocity of 650 m/s in the direction of [0001] and [1010] 96 Кривошеина М.Н. Моделирование напряженного состояния в преградах из анизотропных материалов Обсуждение Получены результаты расчетов ударного нагружения преград из монокристаллического цинка с использованием математической модели, включающей в себя анизотропное давление, состоящее из двух частей с учетом анизотропии каждой части. Постановка задачи с ударным нагружением преграды из исследуемого материала с помощью сравнения результатов натурных и численных экспериментов позволяет отрабатывать математические модели для моделирования высокоэнергетических воздействий на новые материалы, в том числе на ауксети-ки. Это особенно важно из-за повышения роли тепловой части давления по мере роста степени сжатия материала при высокоэнергетических нагрузках. Заключение Учет анизотропии давления при моделировании упругопластических деформаций анизотропных материалов включает учет анизотропии холодной и тепловой частей давления отдельно. Анизотропия холодной части давления определяется заменой в уравнении состояния величины модуля объемного сжатия величиной, обратной линейной сжимаемости в направлении осей симметрии материала, тепловой части - использованием различных значений коэффициентов Грюнайзена в зависимости от направления.

Скачать электронную версию публикации