A numerical study of the effect of nonisothermality on the power-law fluid flow characteristics in a sudden pipe expansi.pdf Введение Решение задач о течении жидкости в трубах, имеющих особенность в виде резкого изменения радиуса, представляет фундаментальный интерес и имеет практическое значение. В частности, такое течение часто встречается в инженерных сооружениях при транспортировке жидкой среды. При этом необходимо учитывать ряд особенностей, возникающих при перестройке потока, приводящих к дополнительным энергетическим потерям в неизотермических условиях. Область течения характеризуется резким изменением радиусов составляющих частей трубы, вызывающим разделение потока. При этом формируется следующая структура: в скачке сечения происходит отрыв потока, который на некотором расстоянии от скачка присоединяется к стенке, создавая тороидальную область с циркуляционным движением, вне этой зоны реализуется область одномерного течения вверх и вниз по потоку. Исследования движения жидкости в трубах рассматривают зависимость размеров различных областей течения от параметров задачи, изменение характеристик потока, устойчивость осесимметричного течения и т.п. Важно заметить, что большинство работ посвящено течению ньютоновской жидкости. В технических приложениях, связанных с транспортом нефти, переработкой полимерных жидкостей, пищевой промышленностью, жидкая среда проявляет неньютоновские 121 Механика / Mechanics свойства - вязкость сильно зависит от скорости деформации сдвига и температуры. Работы в этом направлении в основном направлены на изучение изотермических течений [1-16]. В работах [1-3] экспериментально исследуется стационарное ламинарное течение в трубе с расширением, переход ламинарного режима в турбулентный рассматривается в [4]. Результаты работы [3] демонстрируют увеличение длины циркуляционной зоны для жидкостей с показателем нелинейности меньше единицы в трубе с расширением 1:2. Результаты расчетов в работах [5, 6, 16] подтверждают увеличение длины циркуляционной зоны с ростом показателя нелинейности жидкости. В работе [7] численно изучается устойчивость осесимметричного течения в трубе с расширением и показано, что критическое значение числа Рейнольдса падает с уменьшением показателя нелинейности. В [9] экспериментально наблюдаются бифуркационные явления, а в [10-12] численно показан рост нестационарных возмущений, возникающих вследствие геометрической особенности трубы, где по мере продвижения вниз по потоку данные возмущения затухают. В работах [13, 14] численно исследуется осесимметричное течение в трубах с переменным радиусом. Также существуют работы, посвященные экспериментальному изучению течения жидкости в осесимметричных микроканалах [15]. Количество работ, в которых рассматривается течение с учетом вязкой диссипации и зависимости эффективной вязкости от температуры, ограничено. В работе [17] численно исследуется течение степенной жидкости в канале с прямоугольными полостями при вынужденной конвекции. Получены изолинии функции тока и распределение температуры при варьировании числа Рейнольдса, показателя нелинейности, степени расширения и сужения трубы. Способность вычислительной схемы описывать течение неньютоновской жидкости внутри плоских каналов, а также в трубах переменного радиуса, была ранее продемонстрирована в работах [18-20]. Эти результаты указывают на сильную зависимость характеристик потока от температуры. Цель данной работы состоит в анализе особенностей установившегося ламинарного течения степенной жидкости в цилиндрической трубе с резким расширением. Постановка задачи В работе исследуется движение степенной несжимаемой жидкости в трубе с резким изменением радиуса поперечного сечения в условиях неизотермического ламинарного установившегося течения. На рис. 1 представлена схема движения жидкости по трубе в цилиндрической системе координат (r, z). Математическая постановка задачи о течении жидкости описывается системой уравнений, состоящей из уравнения переноса вихря, уравнения Пуассона для функции тока и уравнения энергии, которые в безразмерном виде в переменных функция тока-вихрь-температура записываются следующим образом [20]: Ау (1) 122 2 бу --= -гю, r бг (2) Мамазова Д.А., Рыльцева К.Е., Шрагер Г.Р. Численное исследование влияния неизотермичности м+ v =2 (де+2"-' Вг. A в), (3) dz dr r Pe где переменные ю - вихрь и у - функция тока определяются формулами dv du dw dw a = - , = -vr, = ur. dz dr dz dr Здесь введены следующие обозначения: u, v - аксиальная и радиальная компоненты д2 1 d d2 вектора скорости, n - показатель нелинейности жидкости, Д = -- +----1--- dr r dr dz оператор Лапласа, S - источник, A - интенсивность тензора скоростей деформаций, где d2B ( dv du Л ( d2B d2B Л ( dv du Л dB da dB da a dB S = 2drdz I dr dz ■ I - +--I + 2---+ 2---+ dr2 )\\ dz dr) dz dz dr dr r dr dz2 (du Л2 J 22 dv л ( v Л ( ' du dv 21 I + 21 + 1 + + [dz J ( 4 dr J ^ r J 1 4dr dz Г 2 2 В качестве масштабов обезразмеривания скорости, длины, вязкости и давления принимаются следующие величины соответственно: U, R1, k (U/Rj)" 1, р U 2/ 2, где U - среднерасходная скорость в трубе с радиусом Ri, Ri - радиус узкой части трубы, k = k exp [~Р2 (T -T )] - показатель консистенции при температуре Ti, Ti - размерная температура жидкости на твердой стенке, T - размерная температура жидкости в потоке, р2 - температурный коэффициент вязкости. Безразмерная температура определяется выражением Ѳ = в (T - T). Реологическое поведение жидкой среды описывается модифицированным законом Оствальда-де Ваале, при этом формула для эффективной вязкости зависит от температуры по экспоненциальному закону B = г-Ѳ A"-1. (4) 123 Механика / Mechanics Уравнения (1)-(3) содержат безразмерные параметры, определяющиеся по формулам Re = pU2- (2 R )п к, Pe = 2cpUR X Ег кЦ^ (2R fn p, r X ' где Re - число Рейнольдса, Pe - число Пекле, Br - число Бринкмана, р - плотность жидкой среды, с - теплоемкость, X - коэффициент теплопроводности. На входной границе Г і заданы профили скорости и температуры, которые соответствуют одномерному неизотермическому течению рассматриваемой жидкости. На твердой стенке Г2 используются условия прилипания и задана нулевая безразмерная температура. На выходной границе Г з реализуются мягкие граничные условия. Стоит отметить, что входная и выходная границы находятся на таком расстоянии от сечения, где происходит резкое расширение, чтобы на входе и выходе было сформировано одномерное установившееся течение. На оси симметрии Г4 применяются условия симметрии. Введем обозначение в, которое в дальнейшем будем называть степенью расширения, в равно отношению радиусов широкой и узкой частей трубы (р = R/R ). Таким образом, граничные усло вия записываются в следующем виде: Г : u = f (r), v = 0, - = J urdr, ю =--, Ө = f (r) ,0 < r < 1, z = 0; r 0 dr' 1 d2- r dr2 1 d2- r dz2 1 d2- r dr2 d- dra 5Ө Г. : V = const, ю =----, Ө = 0, r = 1,0 < z < L; 2 2 2 -- 12 1 - = const, ю =----, Ө = 0, 1 < r < p, z = l ; - = const, ю = -, ө = 0, r = p, l < z < l + l ; Г :-tL = 0,- = 0,- = 0,0 < r < P, z = L + L,; Д ^ ~ 'S ~ 'S ~ 1 2 “ dz dz dz гӨ Г : - = 0, ю = 0, - = 0, r = 0,0 < z < L + L, dr (5) (6) (7) (8) (9) (10) где f (r) и f2 (r) - распределения аксиальной скорости и температуры, соответствующие установившемуся одномерному течению жидкости в бесконечной трубе постоянного радиуса в неизотермических условиях. Методика решения Сформулированная задача решается методом установления на основе конечноразностной схемы переменных направлений. Метод прогонки используется для вычисления значений искомых функций. 124 Мамазова Д.А., Рыльцева К.Е., Шрагер Г.Р. Численное исследование влияния неизотермичности При исследовании псевдопластичной жидкости (п < 1) на оси трубы возникает особенность в виде «бесконечной» эффективной вязкости, в связи с этим проводится регуляризация выражения для эффективной вязкости, заключающаяся во введении малого параметра регуляризации (е). Таким образом, выражение (4) можно переписать в следующем виде: B = е-ѳ (A + еУ"1. Согласно методу регуляризации, е подбирается в ходе численного эксперимента так, чтобы картина течения не испытывала значимых искажений на всем промежутке изменения значений эффективной вязкости. Для подтверждения адекватности используемой математической модели и аппроксимационной сходимости метода выполнены тестовые расчеты. В табл. 1 представлены максимальные значения и и Ѳ при Pe = 10, Br = 1, Re = 1, п = 0.8, в = 2, полученные в скачке сечения и на выходе из трубы при изменении шага квадратной сетки h. Таблица 1 Максимальные значения аксиальной скорости и температуры в скачке сечения и на выходе из трубы при различных значениях шага сетки h Umax (скачок) 0max (скачок) Umax (выход) 0max (выход) 1/10 1.8778280 0.5393691 0.4774394 0.0604494 1/20 1.9017048 0.5618190 0.4779066 0.0609200 1/40 1.9114402 0.5693235 0.4778725 0.0610123 1/80 1.9158958 0.5720442 0.4778485 0.0610303 Результаты расчетов Параметрические расчеты выполнены при изменении числа Рейнольдса (1 < Re < 20), числа Пекле (1 < Pe < 100) и показателя нелинейности жидкости (0.6 < n < 1.4) при фиксированном числе Бринкмана (Br = 1). На рис. 2 продемонстрированы линии тока для дилатантной и псевдопластичной жидкостей, которые характеризуют структуру потока. Для обоих классов жидкостей в окрестности внутреннего угла формируется циркуляционная зона, а на некотором удалении от скачка сечения - зоны одномерного движения жидкости. По данному распределению видно, что размер циркуляционной зоны в случае неизотермического течения увеличивается с ростом показателя нелинейности жидкости п, что аналогично результатам, полученным для изотермического случая [21]. Рис. 2. Структура потока при Pe = 100, Re = 1, Br = 1, в = 2: п = 1.2 (а), п = 0.8 (b) Fig. 2. Flow structure at Pe = 100, Re = 1, Br = 1, в = 2: п = (а) 1.2 and (b) 0.8 125 Механика / Mechanics На рис. 3 и 4 представлены изолинии температуры и эффективной вязкости с изменением числа Пекле. Распределения показывают, что увеличение данного параметра приводит к росту температуры в узкой части трубы и распространению прогретой зоны к выходному сечению. Анализ полей вязкости показывает, что большие значения наблюдаются в случае псевдопластичной жидкости в зоне циркуляционного движения и в окрестности угловой точки, тогда как для дилатантной жидкости максимальные значения вязкости сосредоточены в угловой точке. Значения вязкости уменьшаются с ростом температуры. Подобное поведение можно объяснить одновременным влиянием реологии жидкости, диссипативного эффекта и зависимости вязкости от температуры, что согласуется с более интенсивной диссипацией в узкой части и доминированием конвективного переноса тепла с ростом Pe. Рис. 3. Распределения температуры (а-c) и эффективной вязкости (d-f) при Re = 1, Бг = 1, n = 1.2, в = 2: а, d - Pe = 1; b, e - Pe = 10; c,f- Pe = 100 Fig. 3. Distributions of (а-c) temperature and (d-f) apparent viscosity at Re = 1, Br = 1, n = 1.2, в = 2: Pe = (a, d) 1; (b, e) 10; and (c, f) 100 Рис. 4. Распределения температуры (а-с) и эффективной вязкости (d-f) при Re = 1, Br = 1, n = 0.8, в = 2: а, d - Pe = 1; b, e - Pe = 10; c,f- Pe = 100 Fig. 4. Distributions of (а-c) temperature and (d-f) apparent viscosity at Re = 1, Br = 1, n = 0.8, в = 2: Pe = (а, d) 1; (b, e) 10; and (c, f) 100 126 Мамазова Д.А., Рыльцева К.Е., Шрагер Г.Р. Численное исследование влияния неизотермичности На рис. 5 и 6 показаны распределения аксиальной и радиальной составляющих скорости для дилатантной и псевдопластичной жидкостей. По распределению скоростей для двух рассматриваемых типов жидкостей при прочих равных условиях течения существенных различий не наблюдается: максимальные значения радиальной скорости реализуются в окрестности скачка сечения; в случае дилатантной жидкости достигаются более высокие аксиальные скорости. Рис. 5. Распределения аксиальной скорости (a-c) и радиальной скорости (d-f) при Re = 1, Br = 1, n = 1.2, в = 2: a, d - Pe = 1; b, e - Pe = 10; c,f- Pe = 100 Fig. 5. Distributions of (a-c) axial velocity and (d-f) radial velocity at Re = 1, Br = 1, n = 1.2, в = 2: Pe = (a, d) 1; (b, e) 10; and (c, f) 100 Рис. 6. Распределения аксиальной скорости (a-c) и радиальной скорости (d-f) при Re = 1, Br = 1, n = 0.8, в = 2: a, d - Pe = 1; b, e - Pe = 10; c,f- Pe = 100 Fig. 6. Distributions of (a-c) axial velocity and (d-f) radial velocity at Re = 1, Br = 1, n = 0.8, and в = 2: Pe = (a, d) 1; (b, e) 10; and (c, f) 100 На последующих рисунках представлены распределения температуры и эффективной вязкости с увеличением числа Рейнольдса. Можно заметить, что данный параметр также влияет на характер течения в трубе: с ростом Re наблюдает-127 Механика / Mechanics ся изменение зон двумерного течения за скачком сечения, а также зоны циркуляционного движения. Рис. 7. Распределения температуры (а-c) и эффективной вязкости (d-f) при Pe = 100, Бг = 1, n = 1.2, в = 2: а, d - Re = 1; b, e - Re = 10; c,f- Re = 20 Fig. 7. Distributions of (а-c) temperature and (d-f) apparent viscosity at Pe = 100, Br = 1, n = 1.2, в = 2: Re = (a, d) 1; (b, e) 10; and (c, f) 20 Рис. 8. Распределения температуры (а-с) и эффективной вязкости (d-f) при Pe = 100, Br = 1, n = 0.8, в = 2: а, d - Re = 1; b, e - Re = 10; c, f - Re = 20 Fig. 8. Distributions of (а-c) temperature and (d-f) apparent viscosity at Pe = 100, Br = 1, n = 0.8, в = 2: Re = (а, d) 1; (b, e) 10; and (c, f) 20 Как было отмечено ранее, структура потока при движении жидкости в трубе с резким расширением состоит из областей одномерного и двумерного течения. Одномерные зоны течения наблюдаются вверх и вниз по потоку на некотором удалении от скачка сечения. Согласно схеме течения, изображенной на рис. 2, 128 Мамазова Д.А., Рыльцева К.Е., Шрагер Г.Р. Численное исследование влияния неизотермичности в этих зонах линии тока параллельны оси трубы. На расстоянии l1 вверх по потоку от скачка появляется радиальная составляющая скорости и реализуется двумерное течение. Сразу после резкого расширения в углу формируется область циркуляционного течения длиной L. Двумерная зона течения простирается вниз по потоку от скачка сечения на расстояние l2. В табл. 2 представлены значения длин геометрических характеристик для изотермического и неизотермического случаев при Pe = 10 и Pe = 100 с разными значениями n. Сравнение характеристик показало, что во всех трех случаях увеличение п приводит к уменьшению li и увеличению длины циркуляционной зоны L. С увеличением показателя нелинейности жидкости l2 падает в изотермическом случае, а в неизотермическом наблюдается рост l2; при этом чем выше Pe, тем больше значение длины зоны двумерного течения за скачком трубы. Т аблица 2 Значения для длин зон двумерного течения при варьировании n (Br = 1, Re = 1, р = 2) Длина зоны Неизотермическое течение(Pe =10) Неизотермическое течение (Pe = 100) Изотермическое течение n = 0.8 n = 1.0 n = 1.2 n = 0.8 n = 1.0 n = 1.2 n = 0.8 n = 1.0 n = 1.2 l1 0.777 0.659 0.581 0.719 0.601 0.535 0.605 0.552 0.526 і2 6.029 6.083 6.231 35.897 39.602 42.880 3.656 2.932 2.415 L 0.372 0.431 0.482 0.391 0.450 0.495 0.453 0.559 0.647 На рис. 9 представлен график зависимости l2(n). Он демонстрирует уменьшение значения длины зоны двумерного течения за скачком сечения с ростом п для случая изотермического течения; для случая неизотермического течения при Pe = 100 длина данной характерной структуры потока увеличивается, а при Pe = 10 - остается почти неизменной. Рис. 9. Зависимость длины зоны двумерного течения после скачка сечения от показателя нелинейности жидкости для Re = 1: 1 - изотермический случай, 2 - неизотермический случай (Pe = 10), 3 - неизотермический случай (Pe = 100) Fig. 9. The length of a two-dimensional flow zone after sudden expansion as a function of power-law index for Re = 1: 1, isothermal case; 2, non-isothermal case (Pe = 10); and 3, non-isothermal case (Pe = 100) 129 Механика / Mechanics Рис. 10. Зависимость длины зоны двумерного течения за скачком сечения от Re (a) и Pe (для Re = 1) (b): 1 - изотермический случай, 2 - неизотермический случай (Pe = 10), 3 - неизотермический случай (Pe = 100); n = 1.2 (сплошная линия), n = 0.8 (пунктир) Fig. 10. The length of a two-dimensional flow zone after sudden expansion as a function of (a) Re and (b) Pe (at Re = 1): 1, isothermal case; 2, non-isothermal case (Pe = 10); and 3, non-isothermal case (Pe = 100); n = 1.2 (the solid line) and n = 0.8 (the dashed line) Из рис. 10, a видно, что с увеличением числа Re повышаются значения l2. На рис. 10, b изображен график зависимости l2 от числа Pe. Значительное влияние этот параметр оказывает на l2, а именно способствует увеличению данной характеристики, что связано с преобладанием конвективного переноса тепла над кон-дуктивным, из-за чего происходит увеличение участка стабилизации течения после прохождения скачка сечения. При этом изменения l1 и L в зависимости от числа Re незначительны. Заключение В ходе работы численно исследовано стационарное течение степенной жидкости в трубе с резким расширением в неизотермических условиях. Показано, что течение в трубах переменного радиуса формирует структуру потока, включающую в себя зоны одномерного течения, зону циркуляционного движения и зоны двумерного течения. Проведен анализ изменения зон двумерного течения в зависимости от числа Пекле, числа Рейнольдса и показателя нелинейности жидкости. Установлено, что увеличение показателя нелинейности приводит к уменьшению длины зоны двумерного течения перед скачком сечения и увеличению длины циркуляционной зоны и длины зоны двумерного течения за скачком сечения, причем более выраженный рост наблюдается при больших значениях числа Пекле. Влияние вязкой диссипации на кинематику течения оценивалось путем сравнения неизотермического течения степенной жидкости с изотермическим течением. Для двух рассматриваемых случаев поведение зон двумерного течения при варьировании показателя нелинейности жидкости оказалось прямо противоположным. На основании полученных данных показано влияние механизмов переноса тепла и реологии жидкости на распределения температуры и эффективной 130 Мамазова Д.А., Рыльцева К.Е., Шрагер Г.Р. Численное исследование влияния неизотермичности вязкости в окрестности расширения области течения. Вязкая диссипация способствует более интенсивному прогреву жидкости в узкой части трубы, а увеличение числа Pe обеспечивает рост и смещение прогретой области к выходной границе. Исходя из этого, чтобы обеспечить одномерное установившееся течение вниз по потоку, необходимо удлинение широкой части трубы.

Скачать электронную версию публикации